Devoir maison n°3 : Fibonnacci et compagnie (approche) 1/2

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Devoir maison n°3 : Fibonnacci et compagnie (approche) 1/2

Soit la suite définie par u

= µ, u

= µ, et, pour tout entier n : u

= µu

+ u

. 1. Déterminer la matrice A telle que ( ^{u u}

) ^{= A} ( ^{u u}

) (1) (Indice : a

= #3) 2. Exprimer u

en fonction de u

et u

, et en déduire B la matrice telle que

( ^{u u}

) ^=B ( ^{u u}

) ^.

3. On définit entre deux matrices A et B carrées d'ordre 2, de coefficients respectifs a

et b

, l'opération « × » suivante :

A×B = ( ^{a a}

^{a a}

) ^× ( ^{b b}

^{b b}

) ⁼ ( ^{a a}

^{×b ×b}

^{+ + a a}

^{×b ×b}

^{a a}

^{×b ×b}

^{+a +a}

^{×b × b}

)

a. Sur les matrices A et B définies aux questions 1 et 2, a-t-on A×B =B×A ? b. En utilisant la matrice A trouvée à la question 1, calculer A

.

c. Vérifier, en utilisant les valeurs de A

et B des questions 2 et 3b, que A

=B . Pourquoi est-ce le cas ?

5. Calculer A

. En déduire une relation entre u

, u

, u

et u

.

6. En utilisant la relation (1), exprimer ( ^{u u}

) en fonction de A, de n, et de ( ^{u u}

)

(on ne demande pas explicitement les coefficients de la matrice).

7. En utilisant votre calculatrice, et, notamment, les puissances d'une matrice (voir sur internet pour la manipulation), déterminer si la suite (u

) est

convergente ou non.

Remarque : Le calcul à la main des puissances de A n'est pas facile (et celui à la calculatrice finit par être erroné, les erreurs d'arrondi s'accumulant). Pourtant, le calcul à la main permettrait de calculer directement et exactement, pour tout entier n, la valeur de u

en fonction de u

et u

. Dans un autre devoir, on utilisera une méthode qui contourne cette difficulté.

.

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