Devoir maison n°3 : Fibonnacci et compagnie (approche) 1/2

(1)

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Devoir maison n°3 : Fibonnacci et compagnie (approche) 1/2

Soit la suite définie par u

0

= µ, u

1

= µ, et, pour tout entier n : u

n+2

= µu

n+1

+ u

n

. 1. Déterminer la matrice A telle que ( ^u ^u

ⁿⁿ⁺²⁺¹

) ^{= A} ( ^u ^u

ⁿ⁺ⁿ¹

) ⁽¹⁾

2. Exprimer u

n+3

en fonction de u

n+1

et u

n

, et en déduire B la matrice telle que

( ^u ^u

ⁿ⁺³ⁿ⁺²

) ^=B ( ^u ^u

ⁿ⁺ⁿ¹

) ^.

4. On définit l'opération suivante :

A×B = ( ^a ^a

¹¹²¹

^a ^a

¹²²²

) ^× ( ^b ^b

¹¹²¹

^b ^b

¹²²²

) ⁼ ( ^a ^a

¹¹²¹

^×b ^×b

¹¹¹¹

⁺ ⁺ ^a ^a

¹²²²

^×b ^×b

²¹²¹

^a ^a

¹¹²¹

^×b ^×b

¹²¹²

^+a ^+a

¹²²²

^×b ^× ^b

²²²²

)

a. A-t-on A×B =B×A

b. Vérifier, en utilisant les valeurs de A et B des questions 1 et 2, que A

²

=B c. Pourquoi est-ce le cas ?

5. Calculer A

³

. Et en déduire une relation entre u

n+4

, u

n+3

, u

n+1

et u

n

.

6. En utilisant la relation (1), exprimer ( ^u ^u

ⁿⁿ⁺¹⁺²

) en fonction de A, de n, et de ( ^u ^u

¹⁰

)

Remarque : Le calcul des puissances de A n'est pas facile. Pourtant, il permettrait de calculer directement, pour tout entier n, la valeur de u

n

en fonction de u

1

et u

0

. Dans un autre devoir, on utilisera une méthode qui contourne cette difficulté.

.

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