DEVOIR A LA MAISON N°1 2

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DEVOIR A LA MAISON N°1 2

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6.

Pour le jeudi 14 septembre 2017.

I. x est un nombre. Développer si nécessaire et simplifier l écriture : A 3 x ( 2 x 1)

B ( 2x ) ( 3x ) 2x ( 4 ) C (2x 3) (3 x 1 )

D (x 2)(2x 1 ) E (x 1 )x ( x 2 )x

II. La famille Dupuis décide d acquérir un terrain de forme carrée pour faire construire sa maison. Celle- ci sera rectangulaire et de dimensions 12,5 m sur8 m. Pour des raisons financières, le terrain ne doit pas excéder 900m². On note x la longueur d un côté du terrain.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

On note f (x ) l aire de la pelouse dont disposera la famille une fois la maison construite.

2. Justifier que f( x) x² 100.

3. Déterminer l image de 12 par f. Interpréter dans le contexte de l exercice.

4. Est-il possible que l aire de la pelouse soit de 384m² ? Justifier.

5. On donne au dos la courbe de la fonction f : a. Déterminer graphiquement l image de 15 par f.

b. Déterminer graphiquement le ou les antécédents de 700 par f. Interpréter dans le contexte de l exercice.

III. Soit x un nombre positif compris entre 0 et 10.

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

1. Dans cette question x 4. Le triangle ABC est-il rectangle ? 2. Développer ( x 7)² et (x 8)².

Rappel : (x 7)² (x 7)(x 7).

3. Résoudre l équation x² 14x 74 x ² 16x 64

4. Déterminer la ou les valeurs de x pour laquelle (ou lesquelles) le triangle ABC est rectangle.

IV. Facultatif. Pour chercher.

Déterminer toutes les valeurs possibles de d (avec 0 d 9) pour que le nombre dont l’écriture est 47d 5

soit la somme de trois entiers naturels consécutifs.

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CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1 2

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I. x est un nombre.

A 3 x ( 2 x 1) 3 x 2x 1 5 x 1

B ( 2x ) ( 3x ) 2x ( 4 ) 6x ² 2 x 4 C (2x 3) (3 x 1 ) 6x 3 x 1 9 x 1 D (x 2)(2x 1 ) 2 x² 4x x 2 2 x² 3x 2

E (x 1 )x ( x 2 )x x² x (x ² 2 x) x² x x² 2x x II.

1. x est une longueur donc x 0.

La maison a pour longueur 12,5m donc x 12,5.

Le terrain ne doit pas excéder 900m² donc x² 900 donc x 30.

Ainsi, x peut prendre toutes les valeurs de l intervalle [12,5 30].

2. La maison a pour aire 12,5 8 100 et le terrain a pour aire x² donc f( x) x ² 100.

3. f(12) 12² 100 44. L image de 12 par f est 44.

4. x² 100 384  x ² 484  x=22 ou x 22. L aire de la pelouse est de 384m² si le côté du terrain est 22 m (car x ne peut pas être négatif).

5. a. Graphiquement, l image de 15 par f semble être 125.

b. Graphiquement l antécédent de 700 par f semble être environ 28,3. L aire de la pelouse est de 700m² si le côté du terrain est environ 28,3 m (car x ne peut pas être négatif).

III. 1. Si x 4, AC 11 et AB 12. Le plus grand côté du triangle est [ AB ].

AB² 12² 144 et AC² BC ² 11² 5² 146.

AB² AC ²+BC ² donc l e triangl e ABC n est pas rectangle d après la contraposée du th de Pythagore.

2. (x 7)² x ² 14x 49 et ( x 8)² x ² 16x 64

3. x² 14x 74 x² 16 x 64  14x 74 16x 64  2x 10  x 5. La solution de l équation est 5.

4. Le plus grand côté du triangle est [ AB ].

ABC est rectangle ssi AB² AC ² BC ² ssi (x 8)² (x 7)² 5²

ssi x ² 16x 64 x² 14x 49 25 ssi x ² 16x 64 x² 14x 74 ssi x 5 d après la question 3.

Il existe une unique valeur de x pour laquelle le triangle ABC est rectangle. Cette valeur est x 5.

IV. Facultatif. Pour chercher.

Le nombre dont l’écriture est 47 d5 est égal à 4700 10 d 5.

Soit x le plus petit des entiers consécutifs cherchés. Les autres sont alors x 1 et x 2.

On cherche alors les valeurs de d (avec d entier compris entre 0 et 9) telles qu il existe un entier x tel que 4705 10 d x x 1 x 2.

4705 10 d x x 1 x 2  4705 10 d 3x 3

 3x 4702 10 d

 x 4702 10 d

3 4702 10 d doit donc être un multiple de 3.

On essaie avec toutes les valeurs de d comprises entre 0 et 9 :

d 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4702+10d 4702 4712 4722 4732 4742 4752 4762 4772 4782 4792 multiple de 3 ? non non oui non non oui non non oui non

valeur de x 1574 1584 1594

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Les seules valeurs possibles pour d sont alors 2 ; 5 et 8.

Vérification :

Pour d 2 : 4725 1574 1575 1576 Pour d 5 : 4755 1584 1585 1586 Pour d 8 : 4785 1594 1595 1596

Le nombre dont l’écriture est 47 d5 est la somme de trois entiers naturels consécutifs ssi d 2 ou d 5

ou d 8.