Devoir maison n°5 : Fibonnacci et compagnie (approche) 2/2

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Devoir maison n°5 : Fibonnacci et compagnie (approche) 2/2

Soit la suite définie par u

= µ, u

= µ, et, pour tout entier n : u

= µu

+ u

. On reprend le devoir n°3. Le but est de calculer u

directement en fonction de n.

1. Déterminer la matrice A telle que ( ^{u u}

) ^{= A} ( ^{u u}

)

2. Calculer les racines du polynome P(x) = x

– a

x – 1 où a

est le coefficient a

de la matrice A. On appelle 

et 

ces deux racines.

3. On appelle P la matrice ( ^{λ 1}

^{λ 1}

) ^{et  =}

^{– }

. Démontrer que la matrice P' définie par P'= 1

λ

−λ

( ^{−1 1 −λ λ}

) est l'inverse de P, c'est à dire que P×P'=I

. 4. Démontrer que A=P×D×P', où D= ( ^{λ 0}

^{λ 0}

) ^.

5. En déduire l'expression de u

en fonction de n.

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