´Equivalent en 0 de (cosx

MPSI B DS 4. Calculs rapides 16 novembre 2001

1. Soitx∈

−π,−^π₂

, simplifier arcsin(sinx).

2. ´Equivalent en 0 de (cosx)

√

cosx+(sin(xlnx))²

3. Transformer 1 + cosθ+ cos 2θ+· · ·+ cosnθ

4. Exprimer en fonction dethla d´eriv´ee deth

5. D´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0 de _2−x¹ .

6. ´Equivalent simple en 0 de ln(1 +e^x).

7. Quelle est la limite de la suite ((1 +_n¹)ⁿ)_n∈N^∗?

8. La fonction (1 +xlnx)^x12 admet elle une limite `a droite en 0 ?

9. D´eveloppements limit´es des fonctions aux ordres in- diqu´es

1

coshxen 0ordre 4

tanhxen 0 ordre 3

p1 +x²en 1 ordre 1

10. ´Equivalent simple en 0 de ln(1 +e^x).

11. Lin´eariser sin⁴x.

12. ´Equivalent en +∞de√

tanhx−1.

13. ´Equivalent en 0 de (coshx)

√

cosx−(sin(xlnx))²

(cosx)^1/x−1

14. ´Equivalent en +∞de

e^{(lnx)2 +ln2+lnx x}

15. Donner un ´equivalent simple en 0 de ln(1 + cosx).

16. Calculer la d´eriv´ee d’ordrende (x²+x+ 1)e^x.

17. Exprimer la d´eriv´ee d’ordrendu produitf g avec la formule de Leibniz.

18. Lin´eariser cos²xsiny

19. A partir des fonctions suivantes, former des groupes de fonctions ´equivalentes entre elles en 0 cosx,sinx,lnx,sinhx,coshx,tanx, e^x,lnx + cosx,lnx+x

20. D´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 en 0 de ln(1 +x+1

2x²+ 1 3!x³+1

4x⁴)

21. D´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 en 0 de ln(_coshx^cosx)

22. ´Equivalent en 0 de ln(1 + cosx).

23. Quelle est la limite de la suite ((1 +_lnⁿ_n)^lnnn)_n∈N^∗?

1 R0104E

MPSI B DS 4. Calculs rapides 16 novembre 2001

24. Exprimer _1+cos¹ _x en fonction de tan^x₂

25. D´evelopper _x2+x+1¹ en +∞suivant les puissances de

1 x

26. ´Equivalent en 0 de 1−cosh(1−cosx) 27. D´eveloppement en 0 `a l’ordre 4 de arccos

28. En +∞,x+_ln^x_x+_ln^x_2x etx+_ln^x_x−_ln^x2x sont elles

´equivalentes ?

29. Calculer la valeur en 0 de la d´eriv´ee troisi`eme de e^(1−cosx)2

30. ´Equivalent en 0 de cos(ln(arccos(x)))−cos(ln(^π₂))

2 R0104E