Problème G262 – Solution de Jean Drabbe
Soit n un naturel. Nous dirons qu'une matrice k x 3 (k lignes, 3 colonnes) est n-convenable lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- la somme des éléments de chacune de ses lignes est n
- les éléments de chacune de ses colonnes sont deux-à-deux distincts.
Nous noterons g(n) le nombre maximum de lignes d'une matrice n-convenable.
Proposition 1 - Pour tout m , g(3 • m) = 2m + 1 .
Démonstration : Il est trivial que la somme des éléments d'une matrice 3 • m-convenable à k lignes est k • 3 • m . Par
conséquent, il existe (au moins) une de ses colonnes dont la somme des éléments est ≤ k • m .
Lorsque k = 2 • m + 2 , la somme des éléments de chacune des
colonnes est supérieure ou égale à (2 • m + 1) • (m + 1) (il est possible qu'un des éléments soit nul).
Il faudrait alors vérifier la relation :
2 • m^2 + 3 •m + 1 ≤ 2 • m^2 + 2 • m !!!
Il reste à montrer que la valeur k = 2 • m + 1 est possible.
Voici une des possibilités :
0 m + 1 2 • m – 1 . . .
. . . m – 2 2 • m – 1 3 m – 1 2m 1 m 0 2 • m . . . . . . 2m - 2 m – 2 4 2m – 1 m - 1 2 2m m 0
Il résulte de la proposition précédente que
S = 3 • (2011-1) / 2 = 3015 répond aux conditions de l'énoncé.
Il reste à vérifier que 3015 est la seule valeur possible pour S . Ceci résulte de la proposition suivante.
Proposition 2 - Pour tout m , g(3 • m + 1) = 2 • m + 1 ,
g(3 • m + 2) = 3 • m + 2 . Démonstration : Adaptation simple de la démonstration de la proposition 1 .
Notons que les propositions 1 et 2 peuvent être réunies dans le théorème :
Théorème - Pour tout n , g(n) = 1 + [(2 • n) / 3] .
Remarque - La page A004396 du site OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences) est consacrée à la suite des valeurs de g(n). Parmi les liens mentionnés apparaît l'URL Ordered Triple Choosing où figure une note de Joel Brewster Lewis. Son argumentation ne m'a pas paru convaincante.
