Enoncé H152 (Diophante) Signatures sur un polyèdre
Zig et Puce ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois arêtes partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, Zig pour commencer puis Puce apposent en alternance leur signature sur l’une quelconque des faces vierges.
Le gagnant est celui qui parvient à obtenir sa signature sur trois faces partageant le même sommet.
En supposant que les deux joueurs adoptent l’un et l’autre des stratégies optimales, déterminer le joueur qui a une stratégie ga- gnante.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
C’est Zig, joueur en premier, qui a une stratégie gagnante.
Il signe d’abord sur une face (A) non triangulaire. Quelle que soit la face choisie par Puce pour sa première signature, il reste 3 faces libres adjecentes à A selon 3 côtés consécutifs, soit B,C,D. Zig met sa deuxième signature sur la face C. Quoi que fasse Puce, Zig pourra gagner au tour suivant en signant sur celle des faces B ou D laissée libre par Puce.
L’existence d’une face non triangulaire résulte de la relation de DescartesS+F −A= 2. Chaque arête a 2 bouts, et on trouve 3 bouts d’arête en chaque sommet, d’où 2A= 3S, puis
F =A+ 2−2A/3 = 2 +A/3, etA= 3F−6.
Chaque arête forme les côtés de 2 faces, d’où 2A comme nombre total de côtés desF faces, et 2A/F = 6−12/F nombre moyen de côtés par face.
Si F > 4, comme le stipule l’énoncé, ce nombre est > 3 et, que la moyenne soit entière ou non, il existe une face avec plus de 3 côtés dont Zig peut tirer parti. Le seul polyèdre sans gagnant est le tétraèdre.
