Partie I - Étude dans euclidien orienté de dimension 3

(1)

MATHÉMATIQUES II

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor- phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels et sont munis de leur produit scalaire canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par ou le produit scalaire de deux vecteurs d’un espace vectoriel euclidien, par la norme associée,

• on désigne par le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels sont notés en colonnes, mais on leur préférera la notation , transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande taille.

Partie I - Étude dans euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et la base canonique orthonormale directe. Si est dans on définit , endomorphisme de , par sa restriction à :

I.A - Dans cette question on considère les endomorphismes , de matrices respectives et dans la base :

Déterminer et , matrices respectives dans la base de et . IR³,IR⁴ IR⁶

x y,

〈 〉 x y⋅ x y,

.

∧

IRⁿ

…

t( )

E

E = IR³

B

= (^e₁,^e₂, e₃) u

L

^{( )}^E

^~

^u ^E

B

~

u e₁

( ) = u e( )₂ ∧u e( )₃

u e( )₂

~

= u e( )₃ ∧u e( )₁

~

u e₃

( ) = u e( )₁ ∧u e( )₂











u₁, u₂∈

L

( )E

U₁ U₂

B

U₁

0 0–1 1 0–3 0 1–3

 

 

 

= U₂

0 1 1 0 1–1 0 1 1

 

 

 

=

U

~

1 U

~

2

B

^u

^~

₁ ^u

^~

₂

(2)

Filière PC

I.B - Soit . Montrer que , . Montrer

que si dans vérifie , , alors

I.C - Déterminer .

Si et sont dans , montrer que

Si est inversible, en conclure que est inversible et en exprimer l’inverse.

I.D - Si appartient à et a comme matrice dans la base , exprimer la matrice de dans la base en fonction de , comatrice de la matrice .

Montrer que où désigne l’adjoint de . Montrer que et commutent.

Montrer que

I.E - On considère toujours dans .

I.E.1) Dans le cas où est inversible, déterminer une expression de en fonction de et de en fonction de et de .

I.E.2) Dans le cas où n’est pas inversible, déterminer puis .

I.F - Préciser le rang de selon la valeur de celui de . L’application de dans lui-même qui à associe est-elle : linéaire ? injective ? surjective ?

Partie II - Recherche des plans stables par endomorphisme de

On conserve dans cette partie les notations de la précédente.

II.A - Soit dans et un plan stable par .

Montrer que est vecteur propre de ; exprimer la valeur propre associée à à l’aide de .

II.B - Inversement, soit un vecteur propre de norme 1 de .

Montrer qu’il existe famille orthonormale dans telle que . u∈

L

^{( )}^E ∀( , )x y ∈E²

~

u

x∧y

( ) = u x( )∧u y( ) v

L

( )E ∀( , )x y ∈E² v x( ∧y) = u x( )∧u y( ) v

~

u

.

= I

~

d_E

u v

L

( )E u

~

_o_v ₌

^~

_u_o

^~

_v_.

u

~

u

L

^{( )}^E ^U

B

U

~

u

B

^com( )^U

U u*

~

u

o = det( )u Id_E u* u

~

u u*

u*

~ ( ~

u

)

_{* .}

=

u

L

( )E

u det

( ~

u

)

det( )u ,

( ~

u

)

^–¹ _u*

det( )u

u Ker

( ~

u

)

det

( ~

u

)

~

u

L

( )E

u

~

u

u E

u

L

( )E P=Vect( , )x y u

x∧y

~

u

x∧y u

P

z

~

u

x y

( , ) E x∧y = z

(3)

Si la valeur propre associée à est non nulle, montrer que est stable par . On pourra remarquer que est une base orthonormale directe de et effectuer des calculs dans cette base.

II.C - Soit dans . Montrer que est valeur propre de si, et seulement si, est valeur propre de . Montrer que, pour tout réel , les plans stables par sont les plans stables par . En déduire un moyen pour obtenir les plans stables par dans n’ayant pas comme valeur propre, puis par quelconque dans .

II.D - Appliquer cette méthode à la recherche des plans respectivement stables par les deux endomorphismes et de définis à la question I.A.

Certaines démonstrations dans les parties qui suivent sont analogues à celles demandées dans les deux précédentes et, de ce fait, certains résultats seront admis.

Partie III - Définition et étude d’un produit vectoriel de dans

On munit et de leurs structures euclidiennes canoniques et on les oriente grâce à leurs bases canoniques.

À un vecteur

de , on associe et ,

de sorte que l’on écrira, par blocs, .

On définit alors, pour et dans comme suit :

si et , où et , alors est le

vecteur de défini par les blocs , avec et , ce dernier produit vectoriel étant le produit vectoriel canonique de .

On admettra sans démonstration que est une application bilinéaire antisy- métrique de dans .

z P=Vect( , )x y

u (x y, , )z

E

u

L

( )E 0 u

0

~

u _λ

u u–λId_E

u

L

( )E 0

u

L

( )E

u₁ u₂ IR³

IR

⁴××××

IR

⁴

IR

⁶

IR³ IR⁴

X x₁

M x₄

 

 

 

= IR⁴ l X( ) = x₁ L X( ) x₂

M x₄

 

 

 

=

X l X( ) L X( )

 

 

 

=

X Y IR⁴, X×Y

X a

ξ

 

 

 

= Y a′

ξ′

 

 

 

= a a', ∈IR ξ ξ, '∈IR³ X×Y

IR⁶ A

 B

 

 

A = aξ′–a′ξ B = ξ ξ′∧ IR³

× IR⁴×IR⁴ IR⁶

(4)

III.A - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur et dans pour que .

Soient et les applications linéaires de dans qui à

associent respectivement

et .

III.B - Soit dans , de la forme , où et sont dans ; montrer que

III.C - Soit, inversement, dans vérifiant ; on pose et .

III.C.1) Si et si dans vérifient , trouver tous les

dans tels que et .

III.C.2) Exemple : si et , déterminer tous les

correspondants.

III.C.3) Si , décrire tous les dans tels que .

III.C.4) Enfin, si , décrire tous les dans tels que . Si et , donner une description simple de à l’aide notamment de .

III.D - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur , pour que la famille définie par

soit orthonormale dans . Dans ce cas, exprimer et en fonction de seulement. En déduire que .

III.E - Soit dans tels que . Simplifier l’expression .

X Y IR⁴

X×Y = 0

p p′ IR⁶ IR³

Σ ξ₁

M ξ₆

 

 

 

=

p( )Σ ξ₁

M ξ₃

 

 

 

= p′ Σ( ) ξ₄

M ξ₆

 

 

 

=

Σ IR⁶ X×Y X Y IR⁴

p( )Σ , p′ Σ( )

〈 〉 = 0 ( )

C

Σ IR⁶ ( )

C

A = p( )Σ

B = p′ Σ( )

B≠0 C IR³\ 0{ } C B⋅ = 0 X Y,

IR⁴ X×Y = Σ L X( ) = C

Σ = ^t(2 2 4 4 0 2– ) C 0 1

 0

 

 

= X Y,

B≠0 X Y, IR⁴ X×Y = Σ

B = 0 X Y, IR⁴ X×Y = Σ

Σ≠0,B=0 X×Y = Σ Vect(X Y, )

A

a a′ ξ ξ′, , , X Y,

( )

X a

ξ

 

 

 

= , Y a′

ξ′

 

 

 

=

IR⁴ aξ′–a′ξ² ξ ξ′∧ ²

a a′,

( ) X×Y ² = 1

X Y Z T, , , IR⁴ X T⋅ = Y T⋅ = 0 X×Y

( )⋅(Z×T)

(5)

On pourra utiliser la formule suivante, valable pour vecteurs dans ,

III.F - En déduire que si est une base orthonormale de , alors est une base orthonormale de . Déterminer lors- que est la base canonique de .

Partie IV - Endomorphisme de associé à un endomorphisme de et détermination des plans stables

par

Si est dans , on admet qu’il existe un unique dans tel que l’on ait

,

On admet également que pour et dans .

IV.A - Si est un endomorphisme orthogonal de , montrer que est un endomorphisme orthogonal de ; on pourra utiliser III.F.

IV.B - Si est un endomorphisme autoadjoint de , justifier l’existence d’une base orthonormale directe formée de vecteurs propres de associés à des valeurs propres notées ; exprimer alors la matrice de dans la base et en déduire que est autoadjoint.

On admet que, pour tout endomorphisme de , il existe et , endomorphis- mes de respectivement autoadjoint et orthogonal et tels que . IV.C - Montrer que, pour tout dans ,

IV.D - Soit dans et un plan vectoriel stable par ; montrer que est un vecteur propre de .

IV.E - Exemple : on donne dans défini par

IV.E.1) Déterminer ; a-t-il des vecteurs propres ?

ξ ξ′ ξ′′ ξ′′′, , , IR³

ξ ξ′∧

( ) ξ′′ ξ⋅( ∧ ′′′) = (ξ ξ′′⋅ ) (ξ′ ξ′′′⋅ )–(ξ ξ′′′⋅ ) ξ′ ξ′′( ⋅ ) e₁, ,… e₄

( ) IR⁴

B ~

e_i×e_j

( )₁_≤_i_<_j_≤₄

= IR⁶

B ~

B

IR⁴

u ~

IR

⁶

u IR

⁴

u

L

(IR⁴)

~

u

L

(IR⁶) X Y

( , )∈(IR⁴)²

∀

~

u X( ×Y)

u X( )×u( )Y

=

u

~

_o_v ₌

^~

_u_o

^~

_v_, _u _v

L

⁽^IR⁴⁾

u IR⁴

~

u

IR⁶

u IR⁴

B

= (e₁, , ,e₂ e₃ e₄) u

λ₁, , ,λ₂ λ₃ λ₄

( )

~

u

B ~

~

u

u IR⁴ s w

IR⁴ u = sow

u

L

(IR⁴) u

~

*

( ~

u

)

_{* .}

=

u

L

(IR⁴) P = Vect(X Y, ) u

X×Y

~

u

L

(IR⁴) X

0–10 0 1 0 0 0 0 0 0–1 0 0 1 0

 

 

 

a X

u² u

(6)

IV.E.2) Soit un vecteur non nul de . Montrer que est un plan stable par . Montrer qu’inversement tout plan stable par est de cette forme.

IV.E.3) Si est non nul dans , déterminer par ses composan- tes dans la base canonique le vecteur propre de ainsi obtenu.

IV.E.4) Montrer que et vérifier que deux vecteurs de la base canonique de sont des vecteurs propres de .

IV.E.5) Déterminer la matrice de relativement à la base canonique de

; on pourra exprimer pour et quel-

conques dans .

IV.E.6) La matrice est-elle diagonalisable ? IV.E.7) Déterminer les ensembles

et .

En déduire les valeurs propres de ainsi que leurs ordres de multiplicité.

IV.E.8) Vérifier que, dans , seul le vecteur nul satisfait à .

IV.E.9) Vérifier que, dans , le vecteur satisfait à si, et seulement si,

il est de la forme , où .

IV.E.10) Vérifier que tous les vecteurs de la forme obtenus en IV.E.3 sont bien de cette forme.

••• FIN •••

X IR⁴ P = Vect(X u X, ( ))

u u

X = ^t(x y z t, , , ) IR⁴

ϕ( )X = X×u( )X

~

u

( ~

u

)

²

IdIR⁶

=

IR⁶

~

u

M

~

u

IR⁶

~

u

X×Y

( ) X = ^t(x y z t, , , ) Y = ^t(x′, , ,y′ z′ t′) IR⁴

M

~

E₊₁ Σ IR⁶ M

~

Σ ,

∈ =Σ

 

 

 

= E_–₁ Σ IR⁶ M

~

Σ ,

∈ =–Σ

 

 

 

=

M

~

E_–₁ ( )

C

E₊₁ Σ ( )

C

a b c d, , , ,–b,–c

( )

t ad = b²+c²

ϕ( )X