Ev euclidien orienté de dimension 3
Exercice 1. Propriétés du produit vectoriel
Soient u, v, w, tquatre vecteurs d’un ev euclidien orienté de dimension 3. Démontrer : (u∧v)|(w∧t) = (u|w)(v|t)−(u|t)(v|w)
(u∧v)∧(w∧t) =−[u, v, w]t+ [u, v, t]w [t, v, w]u+ [u, t, w]v+ [u, v, t]w= [u, v, w]t.
Exercice 2. Division vectorielle
SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3 eta, b deux vecteurs donnés, a6= 0. Étudier l’équation : a∧x=b. On cherchera une solution particulière de la formex=a∧y.
Exercice 3. a∧b,b∧c,c∧adonnés
SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3.
Trouvera, b, cconnaissant u=a∧b,v=b∧cet w=c∧a(calculeru∧v).
Exercice 4. f(u)∧v+u∧f(v) =g(u∧v)
SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3 etf ∈ L(E).
1) Prouver que : [f(u), v, w] + [u, f(v), w] + [u, v, f(w)] = [u, v, w] tr(f).
2) Montrer qu’il existeg∈ L(E) telle que : ∀u, v, on af(u)∧v+u∧f(v) =g(u∧v).
3) Dans une base orthonormale directe, exprimer la matrice degen fonction de celle def. Exercice 5. Applications bilinéaires antisymétriques
SoitEun ev euclidien orienté de dimension 3 etϕ:E×E→Rune application bilinéaire antisymétrique.
Montrer qu’il existef ∈E∗ unique telle que : ∀x, y, ϕ(x, y) =f(x∧y).
Exercice 6. Volume d’un parallélépipède
Soient u, v, wtrois vecteurs d’un ev euclidien orienté de dimension 3.
On donnekuk=a, kvk=b,kwk=c, (u, v)≡α, (v, w)≡β, (w, u)≡γ.
Quel est le volume du parallélépipède construit suru, v, w ? Exercice 7. Applications conservant le produit vectoriel
SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applicationsf ∈ L(E) vérifiant : 1) ∀u, v,f(u∧v) =f(u)∧f(v).
2) ∀u, v,f(u∧v) =−f(u)∧f(v).
Exercice 8. Expression d’une rotation
SoitEun ev euclidien orienté de dimension 3,u∈E unitaire,α∈Retf la rotation autour deud’angle de mesureα.
1) Exprimerf(x) en fonction deu,xetα.
2) On donne les coordonnées deudans une base orthonormée : a, b, c. Calculer la matrice de f dans cette base.
Exercice 9. Conjuguée d’une rotation
Soitρune rotation d’un ev euclidien orienté de dimension 3, etf ∈ O(E). Reconnaîtref◦ρ◦f−1. Application : Déterminer le centre deO+(E).
Exercice 10. Conjugaison dansO(R3)
Soient f, g∈ O(R3) ayant même polynôme caractéristique.
Montrer qu’il existeh∈ O(R3) tel quef =h−1◦g◦h.
Si f etg sont positifs, a-t-onhpositif ?
Exercice 11. Décomposition des rotations
Soit (i, j, k) une base orthonormée directe d’un ev euclidien orienté de dimension 3E, etf ∈ O+(E).
1) On supposef(j)⊥i. Montrer qu’il exister, r0 rotations autour de j etitelles quer0◦r=f. 2) En déduire que toutf ∈ O+(E) se décompose de deux manières sous la forme : f =r00◦r0◦roùr, r00
sont des rotations autour dej etr0 est une rotation autour dei.
3) Décomposer (x, y, z)7→(y, x, z) et (x, y, z)7→(xcosα−ysinα, xsinα+ycosα, z).
Exercice 12. Sous-groupes finis deO+(3)
Déterminer les sous-groupes deO+(3) de cardinal 2,3, ou 4.
Exercice 13. Applications antisymétriques
SoitE un ev euclidien etf ∈ L(E) antisymétrique.
1) Montrer que idE+f ∈GL(E).
2) Montrer queg= (id−f)◦(id +f)−1∈ O+(E) et id +gest inversible.
3) Réciproquement, soit h∈ O+(E) tq id +hsoit inversible. Montrer qu’il existef antisymétrique tel queh= (id−f)◦(id +f)−1.
Exercice 14. Applications antisymétriques
Soit E un ev euclidien orienté de dimension 3, B une base orthonormée directe de E et f ∈ L(E) de matrice dansB: M =
0 −γ β
γ 0 −α
−β α 0
! . 1) Reconaîtref.
2) Montrer que idE+f est une bijection et calculer la bijection réciproque.
3) Montrer queg= (id−f)◦(id +f)−1est une rotation et préciser son axe et son angle.
Exercice 15. Exponentielle d’une application antisymétrique
SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3 eta∈E\ {0}. On noteα=kak. Soit f l’endomorphisme deE défini par : f(x) =a∧x.
1) Vérifier quef3=−α2f. 2) On poseg(x) =P∞
k=0
fk(x)
k! . Simplifierg(x) et en déduire queg est une rotation.
Exercice 16. Matrice à trou 1) Compléter la matriceA=17
6 3 .
−2 6 . 3 . .
!
en une matrice orthogonale positive.
2) Reconnaître l’application de matriceAdans la base canonique deR3. Exercice 17. Matrice circulante
SoitM =
a b c c a b b c a
!
. Montrer queM est une matrice de rotation si et seulement sia, b, csont les racines d’un polynôme de la formeP =X3−X2+λavecλ∈[0,274].
euclid3.tex – page 2
Exercice 18. Expressions analytiques
Reconnaître les endomorphismes deR3 définis par les expressions analytiques dans la base canonique : 1)
3x0 = 2x+ 2y+z 3y0=−2x+y+ 2z 3z0 =x−2y+ 2z
2)
9x0= 8x+y−4z 9y0=−4x+ 4y−7z 9z0=x+ 8y+ 4z
3)
3x0 =−2x+ 2y−z 3y0= 2x+y−2z 3z0=−x−2y−2z
4)
4x0 =−2x−y√ 6 +z√
6 4y0=x√
6 +y+ 3z 4z0 =−x√
6 + 3y+z 5)
x0 =√x 3+√y
2 −√z 6 y0=√x
3 + 2√z 6 z0 =√x
3−√y 2 −√z
6 6)
3x0 =x+ 2y+ 2z 3y0= 2x+y−2z 3z0 = 2x−2y+z
7)
7x0 =−2x+ 6y−3z 7y0= 6x+ 3y+ 2z 7z0 =−3x+ 2y+ 6z
8)
3x0= 2x−2y+z 3y0=−2x−y+ 2z 3z0=x+ 2y+ 2z
9)
3x0= 2x+y+ 2z 3y0 = 2x−2y−z 3z0 =−x−2y+ 2z 10)
4x0=−x+ 3y−z√ 6 4y0 = 3x−y−z√
6 4z0=x√
6 +y√ 6 + 2z
11)
15x0= 5x−10z 15y0=−8x+ 5y+ 6z 15z0= 6x−10y+ 8z
(étudierf|Imf).
Exercice 19. Expression analytique
Déterminer la matrice de la rotationRdeR3dans une base orthonormée (i, j, k) telle queR(u) =uavec u= (√1
3,√−1
3,√1
3) etR(i) =k. Donner son angle de rotation.
solutions
Exercice 2.
x=−a∧b kak2 +λa.
Exercice 3.
p= [a, b, c]⇒u∧v=pb,v∧w=pc,w∧u=paet [u, v, w] =p2. si [u, v, w]<0 : pas de solutions.
si [u, v, w] = 0 et rg(u, v, w)>1 : pas de solutions.
si [u, v, w] = 0 et rg(u, v, w)61 : une infinité de solutions.
si [u, v, w]>0 : deux solutions.
Exercice 4.
3) G= tr(F)I−tF. Exercice 6.
abcp
1−cos2α−cos2β−cos2γ+ 2 cosαcosβcosγ=abcp
(cosγ−cos(α+β))(cos(α−β)−cosγ).
Exercice 8.
1) f(x) = (x|u)u+ cosα(u∧x)∧u+ sinα(u∧x).
2) M = (cosα)I+ (1−cosα)
a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2
! + sinα
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
! .
Exercice 10.
Pourf, g∈ O+(R3),fetgont la même matrice réduite dans une base orthonormée convenable, donc sont conjugués dansO(R3). hn’est pas toujours positif car les bases peuvent ne pas avoir même orientation (ex : deux rotations inverses). Pourf, g∈ O−(R3), considérer−f,−g.
Exercice 11.
3) π/2, π/2, π et−π/2, α, π/2.
Exercice 13.
2) matrice dans une BOND.
3) f = 2(h+ id)−1−id.
Exercice 14.
1) f(x) =u∧xavecu= (α, β, γ).
2) y=x+ (u|x)u−u∧x 1 +kuk2 .
3) axe dirigé paru, cosθ= 1− kuk2
1 +kuk2, sinθ= −2kuk 1 +kuk2. Exercice 15.
2) g(x) = (cosα)x+ (1−cosα)(a|x)a
α2 +sinα(a∧x)
α .
Exercice 16.
1) 17
6 3 −2
−2 6 3
3 −2 6
! .
2) rotation autour de (1,1,1) d’angle arccos(1114).
Exercice 17.
Les conditionstM M=Iet det(M) = 1 équivalent à :a+b+c= 1 etab+ac+bc= 0 d’où le polynômeP. P a trois racines réelles si et seulement si 06λ6274 (étude de la fonction associée).
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Exercice 18.
1) rotation autour de (1,0,1) d’angle−arccos(1/3).
2) rotation autour de (−3,1,1) d’angle−arccos(7/18).
3) demi-tour autour de (−1,−2,1).
4) rotation autour de (0,1,1) d’angle 2π/3.
5) rotation autour de (−2−√
3,1 +√ 2,√
2−√
3) d’angle arccos(
√6−√ 2 + 1 2√
6 ).
6) symétrie par rapport àx=y+z.
7) symétrie par rapport à 3x= 2y−z.
8) symétrie par rapport àx+ 2y−z= 0.
9) symétrie-rotation autour de (1,−3,1) d’angle−arccos(5/6).
10) symétrie-rotation autour de (1,−1,0) d’angleπ/3.
11) projection sur 2x+ 2y+z= 0 puis rotation d’angle arccos(3/5).
Exercice 19.
M =
0 −1 0
0 0 −1
1 0 0
!
, θ= 2π3 .
