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Ev euclidien orienté de dimension 3

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Ev euclidien orienté de dimension 3

Exercice 1. Propriétés du produit vectoriel

Soient u, v, w, tquatre vecteurs d’un ev euclidien orienté de dimension 3. Démontrer : (u∧v)|(w∧t) = (u|w)(v|t)−(u|t)(v|w)

(u∧v)∧(w∧t) =−[u, v, w]t+ [u, v, t]w [t, v, w]u+ [u, t, w]v+ [u, v, t]w= [u, v, w]t.

Exercice 2. Division vectorielle

SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3 eta, b deux vecteurs donnés, a6= 0. Étudier l’équation : ax=b. On cherchera une solution particulière de la formex=ay.

Exercice 3. ab,bc,cadonnés

SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3.

Trouvera, b, cconnaissant u=ab,v=bcet w=ca(calculeruv).

Exercice 4. f(u)∧v+uf(v) =g(uv)

SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3 etf ∈ L(E).

1) Prouver que : [f(u), v, w] + [u, f(v), w] + [u, v, f(w)] = [u, v, w] tr(f).

2) Montrer qu’il existeg∈ L(E) telle que : ∀u, v, on af(u)∧v+uf(v) =g(uv).

3) Dans une base orthonormale directe, exprimer la matrice degen fonction de celle def. Exercice 5. Applications bilinéaires antisymétriques

SoitEun ev euclidien orienté de dimension 3 etϕ:E×E→Rune application bilinéaire antisymétrique.

Montrer qu’il existefE unique telle que : ∀x, y, ϕ(x, y) =f(x∧y).

Exercice 6. Volume d’un parallélépipède

Soient u, v, wtrois vecteurs d’un ev euclidien orienté de dimension 3.

On donnekuk=a, kvk=b,kwk=c, (u, v)α, (v, w)β, (w, u)γ.

Quel est le volume du parallélépipède construit suru, v, w ? Exercice 7. Applications conservant le produit vectoriel

SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applicationsf ∈ L(E) vérifiant : 1)u, v,f(u∧v) =f(u)∧f(v).

2)u, v,f(u∧v) =−f(u)∧f(v).

Exercice 8. Expression d’une rotation

SoitEun ev euclidien orienté de dimension 3,uE unitaire,α∈Retf la rotation autour deud’angle de mesureα.

1) Exprimerf(x) en fonction deu,xetα.

2) On donne les coordonnées deudans une base orthonormée : a, b, c. Calculer la matrice de f dans cette base.

Exercice 9. Conjuguée d’une rotation

Soitρune rotation d’un ev euclidien orienté de dimension 3, etf ∈ O(E). Reconnaîtrefρf−1. Application : Déterminer le centre deO+(E).

Exercice 10. Conjugaison dansO(R3)

Soient f, g∈ O(R3) ayant même polynôme caractéristique.

Montrer qu’il existeh∈ O(R3) tel quef =h−1gh.

Si f etg sont positifs, a-t-onhpositif ?

(2)

Exercice 11. Décomposition des rotations

Soit (i, j, k) une base orthonormée directe d’un ev euclidien orienté de dimension 3E, etf ∈ O+(E).

1) On supposef(j)⊥i. Montrer qu’il exister, r0 rotations autour de j etitelles quer0r=f. 2) En déduire que toutf ∈ O+(E) se décompose de deux manières sous la forme : f =r00r0rr, r00

sont des rotations autour dej etr0 est une rotation autour dei.

3) Décomposer (x, y, z)7→(y, x, z) et (x, y, z)7→(xcosαysinα, xsinα+ycosα, z).

Exercice 12. Sous-groupes finis deO+(3)

Déterminer les sous-groupes deO+(3) de cardinal 2,3, ou 4.

Exercice 13. Applications antisymétriques

SoitE un ev euclidien etf ∈ L(E) antisymétrique.

1) Montrer que idE+f ∈GL(E).

2) Montrer queg= (id−f)◦(id +f)−1∈ O+(E) et id +gest inversible.

3) Réciproquement, soit h∈ O+(E) tq id +hsoit inversible. Montrer qu’il existef antisymétrique tel queh= (id−f)◦(id +f)−1.

Exercice 14. Applications antisymétriques

Soit E un ev euclidien orienté de dimension 3, B une base orthonormée directe de E et f ∈ L(E) de matrice dansB: M =

0 −γ β

γ 0 −α

−β α 0

! . 1) Reconaîtref.

2) Montrer que idE+f est une bijection et calculer la bijection réciproque.

3) Montrer queg= (id−f)◦(id +f)−1est une rotation et préciser son axe et son angle.

Exercice 15. Exponentielle d’une application antisymétrique

SoitE un ev euclidien orienté de dimension 3 etaE\ {0}. On noteα=kak. Soit f l’endomorphisme deE défini par : f(x) =ax.

1) Vérifier quef3=−α2f. 2) On poseg(x) =P

k=0

fk(x)

k! . Simplifierg(x) et en déduire queg est une rotation.

Exercice 16. Matrice à trou 1) Compléter la matriceA=17

6 3 .

−2 6 . 3 . .

!

en une matrice orthogonale positive.

2) Reconnaître l’application de matriceAdans la base canonique deR3. Exercice 17. Matrice circulante

SoitM =

a b c c a b b c a

!

. Montrer queM est une matrice de rotation si et seulement sia, b, csont les racines d’un polynôme de la formeP =X3X2+λavecλ∈[0,274].

euclid3.tex – page 2

(3)

Exercice 18. Expressions analytiques

Reconnaître les endomorphismes deR3 définis par les expressions analytiques dans la base canonique : 1)

3x0 = 2x+ 2y+z 3y0=−2x+y+ 2z 3z0 =x−2y+ 2z

2)

9x0= 8x+y−4z 9y0=−4x+ 4y−7z 9z0=x+ 8y+ 4z

3)

3x0 =−2x+ 2y−z 3y0= 2x+y−2z 3z0=−x−2y−2z

4)

4x0 =−2x−y√ 6 +z

6 4y0=x

6 +y+ 3z 4z0 =−x√

6 + 3y+z 5)









x0 =√x 3+√y

2 −√z 6 y0=√x

3 + 2√z 6 z0 =√x

3−√y 2 −√z

6 6)

3x0 =x+ 2y+ 2z 3y0= 2x+y−2z 3z0 = 2x−2y+z

7)

7x0 =−2x+ 6y−3z 7y0= 6x+ 3y+ 2z 7z0 =−3x+ 2y+ 6z

8)

3x0= 2x−2y+z 3y0=−2x−y+ 2z 3z0=x+ 2y+ 2z

9)

3x0= 2x+y+ 2z 3y0 = 2x−2y−z 3z0 =−x−2y+ 2z 10)

4x0=−x+ 3y−z√ 6 4y0 = 3x−yz

6 4z0=x

6 +y√ 6 + 2z

11)

15x0= 5x−10z 15y0=−8x+ 5y+ 6z 15z0= 6x−10y+ 8z

(étudierf|Imf).

Exercice 19. Expression analytique

Déterminer la matrice de la rotationRdeR3dans une base orthonormée (i, j, k) telle queR(u) =uavec u= (1

3,−1

3,1

3) etR(i) =k. Donner son angle de rotation.

(4)

solutions

Exercice 2.

x=−ab kak2 +λa.

Exercice 3.

p= [a, b, c]⇒uv=pb,vw=pc,wu=paet [u, v, w] =p2. si [u, v, w]<0 : pas de solutions.

si [u, v, w] = 0 et rg(u, v, w)>1 : pas de solutions.

si [u, v, w] = 0 et rg(u, v, w)61 : une infinité de solutions.

si [u, v, w]>0 : deux solutions.

Exercice 4.

3) G= tr(F)I−tF. Exercice 6.

abcp

1−cos2α−cos2β−cos2γ+ 2 cosαcosβcosγ=abcp

(cosγ−cos(α+β))(cos(αβ)−cosγ).

Exercice 8.

1) f(x) = (x|u)u+ cosα(ux)u+ sinα(ux).

2) M = (cosα)I+ (1−cosα)

a2 ab ac ab b2 bc ac bc c2

! + sinα

0 −c b

c 0 −a

−b a 0

! .

Exercice 10.

Pourf, g∈ O+(R3),fetgont la même matrice réduite dans une base orthonormée convenable, donc sont conjugués dansO(R3). hn’est pas toujours positif car les bases peuvent ne pas avoir même orientation (ex : deux rotations inverses). Pourf, g∈ O(R3), considérer−f,−g.

Exercice 11.

3) π/2, π/2, π et−π/2, α, π/2.

Exercice 13.

2) matrice dans une BOND.

3) f = 2(h+ id)−1−id.

Exercice 14.

1) f(x) =uxavecu= (α, β, γ).

2) y=x+ (u|x)uux 1 +kuk2 .

3) axe dirigé paru, cosθ= 1− kuk2

1 +kuk2, sinθ= −2kuk 1 +kuk2. Exercice 15.

2) g(x) = (cosα)x+ (1−cosα)(a|x)a

α2 +sinα(ax)

α .

Exercice 16.

1) 17

6 3 −2

−2 6 3

3 −2 6

! .

2) rotation autour de (1,1,1) d’angle arccos(1114).

Exercice 17.

Les conditionstM M=Iet det(M) = 1 équivalent à :a+b+c= 1 etab+ac+bc= 0 d’où le polynômeP. P a trois racines réelles si et seulement si 06λ6274 (étude de la fonction associée).

euclid3.tex – page 4

(5)

Exercice 18.

1) rotation autour de (1,0,1) d’angle−arccos(1/3).

2) rotation autour de (−3,1,1) d’angle−arccos(7/18).

3) demi-tour autour de (−1,−2,1).

4) rotation autour de (0,1,1) d’angle 2π/3.

5) rotation autour de (−2−√

3,1 +√ 2,√

2−√

3) d’angle arccos(

√6−√ 2 + 1 2√

6 ).

6) symétrie par rapport àx=y+z.

7) symétrie par rapport à 3x= 2y−z.

8) symétrie par rapport àx+ 2y−z= 0.

9) symétrie-rotation autour de (1,−3,1) d’angle−arccos(5/6).

10) symétrie-rotation autour de (1,−1,0) d’angleπ/3.

11) projection sur 2x+ 2y+z= 0 puis rotation d’angle arccos(3/5).

Exercice 19.

M =

0 −1 0

0 0 −1

1 0 0

!

, θ= 3 .

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