Énoncé Dans la première partie, on introduit des

Énoncé

Dans la première partie, on introduit des angles d'Euler pour repérer les rotations d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Dans la suite on introduit les quaternions de Hamilton comme des matrices 2 × 2 à coe- cients complexes et diverses structures sur cet espace. On dénit en particulier un R-espace vectoriel euclidien de dimension 3 formé de quaternions dits purs. Bien que, de nature matricielle par dénition, les quaternions purs seront regardés le plus souvent comme des vecteurs. On retrouve à la n les angles d'Euler en termes de quaternions.

Partie I - Angles d'Euler

Soit ( − → i , − →

j , − → k ) et ( − →

i ₁ , − → j ₁ , − →

k ₁ ) deux bases orthonormées directes. On suppose que ( − → k , − →

k ₁ ) est libre. Il existe alors une unique rotation r telle que

r( − → i ) = − →

i ₁ , r( − → j ) = − →

j ₁ , r( − → k ) = − →

k ₁

On se propose de dénir les trois angles d'Euler θ, ϕ, ψ qui permettent de repérer ( − → i 1 , − →

j 1 , − → k 1 ) et de décomposer r en trois rotations d'angles θ, ϕ, ψ autour d'axes orientés s'exprimant très simplement avec ( − →

i , − → j , − →

k ) . Soit θ l'écart angulaire entre − →

k et − →

k 1 . Il existe un unique vecteur unitaire − → u orthogonal à − →

k et − →

k 1 tel que − →

k 1 = r ^{− →} _{u ,θ} ( − →

k ) . On notera r ₁ = r → − u ,θ

Soit ϕ l'unique réel dans [0, 2π[ tel que − → u = r − → k ,ϕ ( − →

i ) . On notera r 2 = r ^{→ −} _{k ,ϕ}

Soit ψ l'unique réel dans [0, 2π[ tel que − → i ₁ = r − →

k

1

,ψ ( − → u ) . On notera r 3 = r ^{− →} _k

1

,ψ

1. Calculer r ₃ ◦ r ₁ ◦ r ₂ ( − →

i ) et r ₃ ◦ r ₁ ◦ r ₂ ( − →

k ) . En déduire que r ₃ ◦ r ₁ ◦ r ₂ = r . 2. Soit − → w un vecteur non nul, α un réel quelconque et f une rotation. Montrer que

f ◦ r ^{− →} _{w ,α} ◦ f ⁻¹ = r _f( ^{→ −} _w),α

−

→ i − →

j

−

→ k

− ψ

→ k

1

−

→ j

1

−

→ u

ϕ

−

→ i

1

θ

Fig. 1: Angles d'Euler

3. On adopte les notations suivantes :

r ϕ = r 2 = r ^{− →} _{k ,ϕ} , r ψ = r ^{− →} _{k ,ψ} , R θ = r ^{− →} _{i ,θ} Que valent r ϕ ( − →

i ) et r 1 ( − →

k ) ? Exprimer r 1 à l'aide de r ϕ et R θ . En déduire r = r _ϕ ◦ R _θ ◦ r _ψ

Écrire sous la forme d'un produit, la matrice de r dans la base ( − → i , − →

j , → − k ) .

Partie II - Quaternions.

On appelle quaternion toute matrice complexe q =

a −b b a

avec (a, b) ∈ C ²

On note H l'ensemble des quaternions et on adopte les conventions suivantes : q =

a b

−b a

N (q) = det(q) = |a| ² + |b| ² Un quaternion q est dit vectoriel ou pur si et seulement si q = −q .

On note E l'ensemble des quaternions purs, ils seront écrits généralement avec une èche.

On pose en particulier 1

_H

=

1 0 0 1

, − → i =

0 i i 0

, − →

j =

0 −1 1 0

, − →

k = i 0

0 −i

1. Montrer que H est un sous-espace vectoriel du R espace vectoriel M 2,2 ( C ) , stable pour la multiplication matricielle. Vérier que (1

_H

, − →

i , − → j , − →

k ) est une base de H et que ( − →

i , − → j , − →

k ) est une base de E .

Dans la suite, E est orientée par cette base, c'est à dire que ( − → i , − →

j , − →

k ) est directe.

2. Vérier que qq = N(q)1

_H

. Montrer que si q 6= 0

_H

, la matrice q est inversible avec q ⁻¹ = 1

N (q) q En déduire que q ⁻¹ ∈ H.

3. Montrer que pour tout couple (q, q ⁰ ) de quaternions, qq ⁰ = q ⁰ q 4. Soit q ∈ H, montrer ¹ ₂ (q − q) ∈ E . On posera

−

→ V q = 1 2 (q − q) On dit que − →

V q est la partie vectorielle de q . Vérier que q = 1

2 tr(q)1

_H

+ − → V q

Partie III - Multiplications

On dénit une application S de H dans H par :

∀q ∈ H : S(q) = q Soit q ∈ H, on dénit des applications g q et d q par :

∀q ∈ H : g q (q ⁰ ) = qq ⁰ , d q (q ⁰ ) = q ⁰ q Soit q ∈ H non nul, on dénit une application C q par :

∀q ∈ H : C _q (q ⁰ ) = qq ⁰ q ⁻¹

1. Vérier que S , g q , d q , C q sont des endomorphismes de H. Lorsque q est un quaternion non nul, exprimer d _q

−1

puis C q à l'aide du réel N (q) et des applications S et g q . 2. a. Calculer la matrice de g q dans la base (1

_H

, − →

i , − → j , − →

k ) en fonction de α, β, γ, δ lorsque

q =

a −b

b a

avec a = α + iβ, b = γ + iδ.

b. Calculer det g q . 3. Calculer det C _q .

Partie IV - Produit scalaire

Pour tout couple ( − → u , − → v ) de quaternions purs, on pose ( − → u / − → v ) = − 1

2 tr( − → u − → v )

1. Vérier que la formule du dessus dénit un produit scalaire sur E et que ( − → i , − →

j , − → k ) est une base orthonormée.

2. L'espace vectoriel euclidien de dimension 3 E est orienté en décrétant que ( − → i , − →

j , − → k ) est directe. Le produit vectoriel dans cet espace est noté ∧ . Montrer que

−

→ u ∧ − → v = − →

V ^{− →} _u ^{− →} _v = 1

2 ( − → u − → v − − → v − → u ) , − → u − → v = −( − → u / − → v )1

_H

+ − → u ∧ − → v Bien prendre garde à ne pas confondre

le produit matriciel − → u − → v .

le produit vectoriel − → u ∧ − → v qui s'écrit aussi ¹ ₂ ( − → u − → v − − → v − → u ) à l'aide d'opérations ma- tricielles.

le produit scalaire ( − → u / − → v ) qui s'écrit − ¹ ₂ tr( − → u − → v ) à l'aide d'opérations matricielles.

Parties V - Rotations

Dans cette partie, q désigne un quaternion non nul avec q =

a −b b a

et a = α + iβ, b = γ + iδ.

L'application C q est dénie dans la partie III.

1. a. Montrer que E est stable par C q .

On notera c q l'application de E dans E qui coincide avec C q . b. Montrer que det c _q = 1 .

c. Montrer que c q est une rotation.

2. a. Calculer (c q ( − → i )/ − →

i ) , (c q ( − → j )/ − →

j ) , (c q ( − → k )/ − →

k ) en fonction de α, β, γ, δ . b. En déduire tr c q . Dans quel cas a-t-on tr c q = 3 ?

On suppose dans toute la suite que q 6∈ Vect 1

_H

c'est à dire que − → V q 6= −→

O E . 3. Montrer que c q n'est pas l'identité et que c q ( − →

V q ) = − → V q . 4. Montrer que pour tout − → u ∈ E :

(c _q − c _q ⁻¹ )( − → u ) = 4α N (q)

−

→ V _q ∧ − → u

En déduire que c q est un demi tour si et seulement si q ∈ E . Quel est alors son axe ? On suppose dans la suite que q 6∈ Vect 1

_H

et q 6∈ E . Il existe alors un unique θ ∈] −π, π[

tel que c q = r _θ, ^{→ −} _V

q

.

5. a. Quelle est la matrice de c q (en fonction de θ ) dans une base orthonormée directe de la forme ( − → a , − →

b , ¹

N ( − → V

q

)

−

→ V _q ) ? b. Montrer que

cos θ = α ² − k − → V q k ²

N(q) , sin θ = 2αk − → V q k N (q) c. En déduire l'expression de tan ^θ ₂ en fonction de α et de k − →

V _q k . Cette expression détermine-t-elle un unique θ dans ] − π, π[ ?

Partie VI - Quaternions et angles d'Euler

1. Soit ω ∈]0, π[ , préciser les éléments géométriques de c q pour les deux q suivants : q =

e ^iω 0 0 e ^−iω

, q =

cos ω i sin ω i sin ω cos ω

2. Soit θ , ϕ , ψ trois nombres réels, calculer le produit matriciel e ⁱ

^φ2

0

0 e ⁻ⁱ

^φ2

!

cos ^θ ₂ i sin ^θ ₂ i sin ^θ ₂ cos ^θ ₂

e ⁱ

^ψ2

0 0 e ⁻ⁱ

^ψ2

!

3. Soit q un quaternion de norme 1 qui n'est ni réel ni vectoriel (pur), expliquer comment

se calculent les angles d'Euler θ , ϕ , ψ qui permettent de décomposer la rotation c q .

Corrigé

Partie I - Angles d'Euler

1. Par dénition des rotations :

r ₂ ( − →

i ) = − → u , r ₁ ( − → u ) = − → u , r ₃ ( − → u ) = − → i ₁

⇒ r ₃ ◦ r ₂ ◦ r ₁ ( − → i ) = − →

i De même

r ₂ ( − → k ) = − →

k , r ₁ ( − → k ) = − →

k ₁ , r ₃ ( − → k ₁ ) = − →

k ₁

⇒ r ₃ ◦ r ₂ ◦ r ₁ ( − → k ) = − →

k ₁ . La rotation composée transforme la base orthonormée directe ( − →

i , − → j , − →

k ) en une base orthonormée directe ( − →

i 1 , − → w , − →

k 1 ) . La seule base orthonormée directe dont le premier et le troisième vecteur sont − →

i 1 et − → k 1 est ( − →

i 1 , − → j 1 , − →

k 1 ) . On en déduit r ₃ ◦ r ₂ ◦ r ₁ = r

2. La fonction R = f ◦ r ^{− →} _{w ,α} ◦ f ⁻¹ est une rotation car elle est composée de plusieurs rotations (les rotations forment un groupe pour la composition). On va montrer que c'est une rotation d'angle α autour de l'axe f ( − → w ) .

On vérie facilement que R(f ( − → w )) = f ( − → w ) . Pour montrer que l'angle est α , on utilise la formule de changement de base.

Soit U = ( − → u , − → v , − → w ) une base orthonormée directe et V = (f ( − → u ), f( − → v ), f( − → w )) . La famille V est également orthonormée directe car f est une rotation. Alors :

Mat _U r ^{− →} _{w ,α} =





cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1





On peut alors regarder la matrice de f comme une matrice de passage entre deux bases (elle exprime les vecteurs de V en fonction de ceux de U ) puis utiliser la formule de changement de base.

Mat _U f = P _VU ⇒ Mat _V R = P _{U V} Mat _U R P _VU

= P _{U V} Mat _U f Mat _U r − → w ,α Mat _U f ⁻¹ P _VU

= (P _{U V} P _VU ) Mat _U r − → w ,α (P _{U V} P _VU ) = Mat _U r − → w ,α

La forme de cette matrice montre que R est la rotation d'angle α autour de f ( − → w ) .

3. On remarque que r ϕ et r ψ sont des rotations de même axe. Elles vont donc commuter.

Comme r 1 et R θ sont des rotations d'angle θ mais respectivement autour de − → u et − → i avec − → u = r _ϕ ( − →

i ) , la question précédente montre que r 1 = r ϕ ◦ R θ ◦ r ⁻¹ _ϕ De même, comme r 1 ( − →

k ) = − → k 1 :

r ₃ = r − →

k

1

,ϕ = r ₁ ◦ r _ϕ ◦ r ₁ ⁻¹ On en déduit :

r = r ₃ ◦ r ₁ ◦ r ₂ = r ₁ ◦ r _ψ ◦ r ⁻¹ ₁ ◦ r ₁ ◦ r ₂ = r ₁ ◦ r _ψ ◦ r ₂

= r _ϕ ◦ R _θ ◦ r _ϕ ⁻¹ ◦ r _ψ ◦ rϕ = r _ϕ ◦ R _θ ◦ r _ψ car r ϕ et r ψ commutent. Le point intéressant dans cette décomposition est que les axes des trois rotations soient dirigés par les vecteurs − →

i et − →

k de la base de départ.

Partie II - Quaternions

Les questions de cette partie se traitent par de simples vérications. Leur correction ne sera pas détaillée.

Partie III - Multiplications

1. La vérication de ce que S , g q , d q , C q sont des endomorphismes ne pose pas de diculté.

Bien remarquer qu'il s'agit d'une structure de R-espace vectoriel.

Soit q ⁰ un quaternion quelconque, on peut écrire : d _q

−1

(q ⁰ ) = q ⁰ q ⁻¹ = 1

N (q) q ⁰ q = 1 N (q) qq ⁰ donc

d _q

−1

= 1

N (q) S ◦ g _q ◦ S De même :

C q = g q ◦ d q

⁻¹

= 1

N(q) g q ◦ S ◦ g q ◦ S

2. a. Pour former la matrice de g q , on exprime les images des vecteurs de base en fonction de (1

_H

, − →

i , − → j , − →

k ) . On peut se permettre de ne pas écrire complètement certaines matrices car on sait qu'il s'agit de quaternions.

g q (1) = α1

_H

+ δ − → i + γ − →

j + β − → k

g q ( − → i ) =

a −b b a

0 i i 0

=

−ib . ia .

=

−iγ − δ . iα + β .

= −δ1

_H

+ α − → i + β − →

j − γ − → k

g q ( − → j ) =

a −b b a

0 −1 1 0

= −b .

a .

=

−γ + iδ . α − iβ .

= −γ1

_H

− β − → i + α − →

j + δ − → k

g q ( − → k ) =

a −b b a

i 0 0 −i

= ia .

ib .

=

iα − β . iγ − δ .

= −β 1

_H

+ γ − → i − δ − →

j + α − → k On en déduit :

Mat B g q =









α −δ −γ −β

δ α −β γ

γ β α −δ

β −γ δ α









b. La matrice précédente s'écrit avec des blocs 2 × 2 A , B : det g _q =

A −B

B A

Ce déterminant n'est pas modié par des opérations élémentaires sur les blocs : det g q =

A −B + iA B A + iB

=

A i(A + iB) B A + iB

=

A − iB 0 B A + iB

= | det(A + iB)| ² =

α + iγ −δ + iβ δ + iβ α − iγ

2

= |(α + iγ)(α − iγ) − (δ − iβ)(δ + iβ)| ² = (α ² + β ² + γ ² + δ ² ) ² = N(q) ²

On en déduit :

det g q = N(q) ² 3. L'égalité entre applications linéaires

C q = 1

N(q) g q ◦ S ◦ g q ◦ S

se traduit par l'égalité suivante entre les déterminants (attention, l'espace est de di- mension 4 ) :

det C _q = 1

N(q) ⁴ (det g _q ) ² (det S) ² Or (det S) ² = 1 car S ◦ S est l'identité. On en déduit :

det C q = 1

Partie IV - Produit scalaire

Dans cette partie − → u et − → v sont deux quaternions purs respectivement de coordonnées (γ, δ, β) et (γ ⁰ , δ ⁰ , β ⁰ ) dans la base ( − →

i , − → j , − →

k ) .

−

→ u =γ − → i + δ − →

j + β − → k =

iβ −γ + iδ γ + iδ −iβ

−

→ v =γ ⁰ − → i + δ ⁰ − →

j + β ⁰ − → k =

iβ ⁰ −γ ⁰ + iδ ⁰ γ ⁰ + iδ ⁰ −iβ ⁰

1. Pour vérier que (./.) dénit un produit scalaire, formons le produit matriciel des quaternions.

−

→ u − → u ⁰ =

−ββ ⁰ − γγ ⁰ − δδ ⁰ + i(δγ ⁰ − γδ ⁰ ) .

−δβ ⁰ + βδ ⁰ + i(γβ ⁰ − γ ⁰ β) .

On en déduit l'expression du produit scalaire ( − → u / − → v ) = 1

2 tr( − → u − → v ) = ββ ⁰ + γγ ⁰ + δδ ⁰ Ceci montre en même temps que ( − →

i , − → j , − →

k ) est une base orthonormée. Elle est directe

par dénition de l'orientation de l'espace E des quaternions purs.

2. Dans l'espace vectoriel euclidien oriené E , le calcul en coordonnées (dans une base orthonormée directe) du produit vectoriel − → u − → v donne



 δ γ β



 ∧



 δ ⁰ γ ⁰ β ⁰



 =





γβ ⁰ − γ ⁰ β βδ ⁰ − β ⁰ δ δγ ⁰ − δ ⁰ γ





On retrouve des expressions gurant dans le produit matriciel calculé plus haut, on en déduit :

−

→ u − → v = −( − → u / − → v )1

_H

+ − → u ∧ − → v

Les autres expressions demandées par l'énoncé en découlent immédiatement.

Parties V - Rotations

1. a. On doit montrer que l'image par l'application C q d'un quaternion pur − → u est encore un quaternion pur. On utilise la conjugaison (un quaternion est pur lorsqu'il est égal à l'opposé de son conjugué).

C q ( − → u ) = 1 N(q) q − → u q C q ( − → u ) = 1

N(q) q − → u q = 1

N (q) q(−− → u )q = −C q ( − → u ) On en déduit que C q ( − → u ) est un quaternion pur.

b. On note c q la restriction de C q à E . Comme C q (1

_H

) = 1

_H

, la matrice de C q ) dans la base (1

_H

, − →

i , − → j , − →

k ) est de la forme









1 0 0 0

0 0 0

Mat ₍ − → i , → −

j , − → k ) c q









D'après la dénition du déterminant d'une matrice (ou en développant suivant la première colonne), on obtient

det c _q = det C _q = 1

c. Comme c q est de déterminant 1, pour montrer que c'est une rotation, il sut de montrer qu'il conserve le produit scalaire.

(c _q ( − → u )/c _q ( − → v )) = − 1

2 tr(c _q ( − → u )c _q ( − → v )) = − 1

2 tr(q − → u q ⁻¹ q − → v q ⁻¹ )

= − 1

2 tr(q − → u − → v q ⁻¹ ) = − 1

2 tr( − → u − → v q ⁻¹ q) = − 1

2 tr( − → u − → v ) = ( − → u / − → v ) en utilisant le fait que la trace d'un produit de deux matrices ne change pas si on les permute

2. a. Rappelons que q =

a −b b a

, q =

a b

−b a

c _q ( − → i ) = 1

N (q) q 0 i

i 0

q = 1 N (q) q

−ib ia ia ib

= 1 N(q)

. .

−ib ² + ia ² 0

(c q ( − → i )/ − →

i ) = Im(−ib ² + ia ² )

N (q) = α ² − β ² − γ ² + δ ² N(q) c q ( − →

j ) = 1 N(q) q

0 −1 1 0

q = 1 N (q) q

b −a

a b

= 1 N (q)

. . b ² + a ² 0

(c _q ( − → j )/ − →

j ) = Re(b ² + a ² )

N (q) = γ ² − δ ² + α ² − β ² N(q)

c q ( − → k ) = 1

N (q) q i 0

0 −i

q = 1 N (q) q

ia ib ib −ia

= 1 N (q)

i|a| ² − i|b| ² .

. .

(c q ( − → k )/ − →

k ) = Im(i|a| ² − i|b| ² )

N (q) = α ² + β ² − γ ² − δ ² N (q) b. On déduit de la question précédente que

tr c q = 3α ² − β ² − γ ² − δ ² α ² + β ² + γ ² + δ ² Cette trace est égale à 3 si et seulement si

3α ² − β ² − γ ² − δ ² = 3(α ² + β ² + γ ² + δ ² )

c'est à dire lorsque β ² + γ ² + δ ² = 0 ou encore que q ∈ Vect(1

_H

) .

3. Lorsque q 6∈ Vect(1

_H

) , c q n'est pas l'identité car la trace de c q n'est pas égale à la trace de l'identité (qui est 3). De plus :

C q (q) =qqq ⁻¹ = q C q (q) = 1

N (q) qq ⁻¹ q ⁻¹ = 1

N(q) q ⁻¹ = q c q ( − →

V q ) = 1

2 C q (q − q) = 1

2 (q − q) = − → V q

4. En utilisant les calculs de la partie IV et les décompositions q = α1

_H

+ − →

V q , q = α1

_H

− − →

V q

on obtient

q − → u q =α ² − → u + 2α − →

V q ∧ − → u − ( − →

V q ∧ − → u ) ∧ − → V q

q − → u q =α ² − → u − 2α − →

V q ∧ − → u − ( − →

V q ∧ − → u ) ∧ − → V q

(c q − c ⁻¹ _q )( − → u ) = 4α N(q)

−

→ V q ∧ − → u

On sait déjà que c q est une rotation, cette rotation est un demi-tour lorsque c q ◦ c q est l'identité c'est à dire lorsque c q = c ⁻¹ _q . Comme − →

V q n'est pas nul, ceci se produit si et seulement si α = 0 c'est à dire lorsque q ∈ E ( q est un quaternion pur).

On suppose dans toute la suite que q 6∈ Vect 1

_H

et q 6∈ E . Il existe alors un unique θ ∈] − π, π[ tel que c _q = r _θ, − →

V

_q

car c _q est une rotation qui n'est pas un demi-tour.

5. a. Lorsque c q = r _θ, ^{− →} _V

q

la matrice de c q dans une base orthonormée directe de la forme U = ( − → a , − →

b , ¹

N ( → − V

_q

)

−

→ V q ) est

Mat U c q





cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0

0 0 1





b. On déduit de la matrice précédente et du calcul de la trace de c q (V.2) que : tr c q =2 cos θ + 1 = 3α ² − k − →

V q k ² α ² + k − →

V q k ² cos θ = α ² − k − →

V q k ² α ² + k − →

V _q k ² = α ² − k − → V q k ² N (q)

Dans la base U , la matrice de − → u → − →

V _q ∧ − → u se calcule avec l' expression usuelle du produit vectoriel :



 0 0 k − →

V q k



 ∧



 x y z



 =







−k − → V _q ky k − →

V _q kx 0







la matrice cherchée est donc :







0 −k − → V q k 0 k − →

V q k 0 0

0 0 0







En identiant les expressions des matrices de c q − c ⁻¹ _q dans U obtenues à partir de a. et de V.4., on obtient

sin θ = 2αk − → V q k N(q) c. On utilise

tan θ

2 = sin θ 1 + cos θ On en déduit

tan θ

2 = 2αk − → V _q k N (q) + α ² − k − →

V q k

= k − → V _q k

α

Cette expression détermine un unique ^θ ₂ dans ] − ^π ₂ , ^π ₂ [ donc un unique θ dans ] − π, π[ .

Partie VI - Quaternions et angles d'Euler

1. Lorsque q est de la forme q =

e ^iω 0 0 e ^−iω

= cos ω1

_H

+ sin ω − → k c q est une rotation d'axe − →

k (car sin θ > ) et d'angle θ ∈] − π, π[ déni par : tan θ

2 = sin ω

cos ω = tan ω

Lorsque cos ω 6= ^π ₂ .

si ω ∈]0, ^π ₂ [ : c q = r ^{− →} _{k ,2ω} .

si ω = ^π ₂ : c q est le demi-tour d'axe Vect − → k . si ω ∈] ^π ₂ , π[ : c q = r ^{→ −}

k ,2ω−2π = r ^{− →} _{k ,2ω} Lorsque q est de la forme

q =

cos ω i sin ω i sin ω cos ω

= cos ω1

_H

+ sin ω − → i si ω = ^π ₂ : c q est le demi-tour d'axe Vect − →

i . si ω ∈]0, π[−{ ^π ₂ } , sin ω > 0 : c q = r ^{− →} _{i ,2ω}

2. Eectuons le calcul matriciel qui donne la matrice d'une rotation en fonction de ses angles d'Euler :

e ⁱ

^ϕ2

0 0 e ⁻ⁱ

^ϕ2

cos ^θ ₂ i sin ^θ ₂ i sin ^θ ₂ cos ^θ ₂

"

e ⁱ

^ψ2

0 0 e ⁻ⁱ

^ψ2

#

=

e ⁱ

^ϕ2

0 0 e ⁻ⁱ

^ϕ2

"

cos ^θ ₂ e ⁱ

^ψ2

i sin ^θ ₂ e ⁻ⁱ

^ψ2

i sin ^θ ₂ e ⁱ

^ψ2

cos ^θ ₂ e ⁻ⁱ

^ψ2

#

=

"

cos ^θ ₂ e ⁱ

^ϕ+ψ2

. sin ^θ ₂ e ⁱ

^ψ−ϕ2

.

#

3. Comme q est un quaternion de norme 1 : |a| ² + |b| ² = 1 , il existe donc un réel λ ∈]0, ^π ₂ [ qui permet d`'exprimer les modules sous forme trigonométrique.

|a| = cos λ, |b| = sin λ Introduisons des arguments µ et ν dans [0, 2π] :

a = cos λe ^iµ , |b| = sin λe ^iν Il ne reste plus qu'à identier les deux matrices :

θ

2 = λ, ϕ + ψ

2 = µ, ψ − ϕ

2 = ν

θ = 2λ, ψ = µ + ν, ϕ = µ − ν