Partie I - Angles d'Euler

MPSI B DM 16 29 juin 2019

Problème I.

Dans la première partie, on introduit des angles d'Euler pour repérer les rotations d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Dans la suite on introduit les quaternions de Hamilton comme des matrices 2 × 2 à coe- cients complexes et diverses structures sur cet espace. On dénit en particulier un R-espace vectoriel euclidien de dimension 3 formé de quaternions dits purs. Bien que, de nature matricielle par dénition, les quaternions purs seront regardés le plus souvent comme des vecteurs. On retrouve à la n les angles d'Euler en termes de quaternions.

Partie I - Angles d'Euler

Soit ( − → i , − →

j , − → k ) et ( − →

i 1 , − → j 1 , − →

k 1 ) deux bases orthonormées directes. On suppose que ( − → k , − →

k 1 ) est libre. Il existe alors une unique rotation r telle que

r( − → i ) = − →

i ₁ , r( − → j ) = − →

j ₁ , r( − → k ) = − →

k ₁

On se propose de dénir les trois angles d'Euler θ, ϕ, ψ qui permettent de repérer ( − → i 1 , − →

j 1 , − → k 1 ) et de décomposer r en trois rotations d'angles θ, ϕ, ψ autour d'axes orientés s'exprimant très simplement avec ( − →

i , − → j , − →

k ) . Soit θ l'écart angulaire entre − →

k et − →

k 1 . Il existe un unique vecteur unitaire − → u orthogonal à − →

k et − →

k 1 tel que − →

k 1 = r ^{− →} _{u ,θ} ( − →

k ) . On notera r ₁ = r → − u ,θ

Soit ϕ l'unique réel dans [0, 2π[ tel que − → u = r ^{− →} _{k ,ϕ} ( − →

i ) . On notera r 2 = r ^{→ −} _{k ,ϕ}

Soit ψ l'unique réel dans [0, 2π[ tel que − → i 1 = r − →

k

,ψ ( − → u ) . On notera r ₃ = r − →

k

,ψ

1. Calculer r 3 ◦ r 1 ◦ r 2 ( − →

i ) et r 3 ◦ r 1 ◦ r 2 ( − →

k ) . En déduire que r 3 ◦ r 1 ◦ r 2 = r . 2. Soit − → w un vecteur non nul, α un réel quelconque et f une rotation. Montrer que

f ◦ r ^{− →} _{w ,α} ◦ f ⁻¹ = r _f( ^{→ −} _w),α

−

→ i − →

j

−

→ k

− ψ

→ k

−

→ j

−

→ u

ϕ

−

→ i

θ

Fig. 1: Angles d'Euler

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

MPSI B DM 16 29 juin 2019

3. On adopte les notations suivantes :

r ϕ = r 2 = r ^{− →} _{k ,ϕ} , r ψ = r ^{− →} _{k ,ψ} , R θ = r ^{− →} _{i ,θ} Que valent r ϕ ( − →

i ) et r 1 ( − →

k ) ? Exprimer r 1 à l'aide de r ϕ et R θ . En déduire r = r _ϕ ◦ R _θ ◦ r _ψ

Écrire sous la forme d'un produit, la matrice de r dans la base ( − → i , − →

j , → − k ) .

Partie II - Quaternions.

On appelle quaternion toute matrice complexe q =

a −b

b a

avec (a, b) ∈ C ²

On note H l'ensemble des quaternions et on adopte les conventions suivantes : q =

a b

−b a

N (q) = det(q) = |a| ² + |b| ² Un quaternion q est dit vectoriel ou pur si et seulement si q = −q .

On note E l'ensemble des quaternions purs, ils seront écrits généralement avec une èche.

On pose en particulier 1 _H =

1 0 0 1

, − → i =

0 i i 0

, − →

j =

0 −1 1 0

, − →

k = i 0

0 −i

1. Montrer que H est un sous-espace vectoriel du R espace vectoriel M 2,2 ( C ) , stable pour la multiplication matricielle. Vérier que (1 _H , − →

i , − → j , − →

k ) est une base de H et que ( − →

i , − → j , − →

k ) est une base de E .

Dans la suite, E est orientée par cette base, c'est à dire que ( − → i , − →

j , − →

k ) est directe.

2. Vérier que qq = N(q)1 _H . Montrer que si q 6= 0 _H , la matrice q est inversible avec q ⁻¹ = 1

N (q) q En déduire que q ⁻¹ ∈ H.

3. Montrer que pour tout couple (q, q ⁰ ) de quaternions, qq ⁰ = q ⁰ q 4. Soit q ∈ H, montrer ¹ ₂ (q − q) ∈ E . On posera

−

→ V q = 1 2 (q − q) On dit que − →

V q est la partie vectorielle de q . Vérier que q = 1

2 tr(q)1 _H + − → V q

Partie III - Multiplications

On dénit une application S de H dans H par :

∀q ∈ H : S(q) = q Soit q ∈ H, on dénit des applications g q et d q par :

∀q ∈ H : g q (q ⁰ ) = qq ⁰ , d q (q ⁰ ) = q ⁰ q Soit q ∈ H non nul, on dénit une application C q par :

∀q ∈ H : C _q (q ⁰ ) = qq ⁰ q ⁻¹

1. Vérier que S , g q , d q , C q sont des endomorphismes de H. Lorsque q est un quaternion non nul, exprimer d _q

puis C q à l'aide du réel N (q) et des applications S et g q . 2. a. Calculer la matrice de g q dans la base (1 _H , − →

i , − → j , − →

k ) en fonction de α, β, γ, δ lorsque

q =

a −b

b a

avec a = α + iβ, b = γ + iδ.

b. Calculer det g q . 3. Calculer det C _q .

Partie IV - Produit scalaire

Pour tout couple ( − → u , − → v ) de quaternions purs, on pose ( − → u / − → v ) = − 1

2 tr( − → u − → v )

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

MPSI B DM 16 29 juin 2019 1. Vérier que la formule du dessus dénit un produit scalaire sur E et que ( − →

i , − → j , − →

k ) est une base orthonormée.

2. L'espace vectoriel euclidien de dimension 3 E est orienté en décrétant que ( − → i , − →

j , − → k ) est directe. Le produit vectoriel dans cet espace est noté ∧ . Montrer que

−

→ u ∧ − → v = − →

V ^{− →} _u ^{− →} _v = 1

2 ( − → u − → v − − → v − → u ) , − → u − → v = −( − → u / − → v )1 _H + − → u ∧ − → v Bien prendre garde à ne pas confondre

le produit matriciel − → u − → v .

le produit vectoriel − → u ∧ − → v qui s'écrit aussi ¹ ₂ ( − → u − → v − − → v − → u ) à l'aide d'opérations ma- tricielles.

le produit scalaire ( − → u / − → v ) qui s'écrit − ¹ ₂ tr( − → u − → v ) à l'aide d'opérations matricielles.

Parties V - Rotations

Dans cette partie, q désigne un quaternion non nul avec q =

a −b

b a

et a = α + iβ, b = γ + iδ.

L'application C q est dénie dans la partie III.

1. a. Montrer que E est stable par C q .

On notera c q l'application de E dans E qui coincide avec C q . b. Montrer que det c _q = 1 .

c. Montrer que c q est une rotation.

2. a. Calculer (c q ( − → i )/ − →

i ) , (c q ( − → j )/ − →

j ) , (c q ( − → k )/ − →

k ) en fonction de α, β, γ, δ . b. En déduire tr c q . Dans quel cas a-t-on tr c q = 3 ?

On suppose dans toute la suite que q 6∈ Vect 1 _H c'est à dire que − → V q 6= −→

O E . 3. Montrer que c q n'est pas l'identité et que c q ( − →

V q ) = − → V q . 4. Montrer que pour tout − → u ∈ E :

(c _q − c _q ⁻¹ )( − → u ) = 4α N (q)

−

→ V _q ∧ − → u

En déduire que c q est un demi tour si et seulement si q ∈ E . Quel est alors son axe ? On suppose dans la suite que q 6∈ Vect 1 _H et q 6∈ E . Il existe alors un unique θ ∈] −π, π[

tel que c q = r _θ, ^{→ −} _V

q

.

5. a. Quelle est la matrice de c q (en fonction de θ ) dans une base orthonormée directe de la forme ( − → a , − →

b , ¹

N ( − → V

)

−

→ V _q ) ?

b. Montrer que

cos θ = α ² − k − → V q k ²

N(q) , sin θ = 2αk − → V q k N (q) c. En déduire l'expression de tan ^θ ₂ en fonction de α et de k − →

V _q k . Cette expression détermine-t-elle un unique θ dans ] − π, π[ ?

Partie VI - Quaternions et angles d'Euler

1. Soit ω ∈]0, π[ , préciser les éléments géométriques de c q pour les deux q suivants : q =

e ^iω 0 0 e ^−iω

, q =

cos ω i sin ω i sin ω cos ω

2. Soit θ , ϕ , ψ trois nombres réels, calculer le produit matriciel

e ⁱ

0 0 e ⁻ⁱ

!

cos ^θ ₂ i sin ^θ ₂ i sin ^θ ₂ cos ^θ ₂

e ⁱ

0 0 e ⁻ⁱ

!

3. Soit q un quaternion de norme 1 qui n'est ni réel ni vectoriel (pur), expliquer comment se calculent les angles d'Euler θ , ϕ , ψ qui permettent de décomposer la rotation c q .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

3