Partie I - Angles d'Euler

Partie I - Angles d'Euler

1. Par dénition des rotations :

r2(−→

i) =−→u , r1(−→u) =−→u , r3(−→u) =−→ i1

⇒ r3◦r2◦r1(−→ i) =−→

i De même

r2(−→

k) =−→ k , r1(−→

k) =−→ k1, r3(−→

k1) =−→ k1

⇒ r3◦r2◦r1(−→ k) =−→

k1. La rotation composée transforme la base orthonormée directe(−→

i ,−→ j ,−→

k)en une base orthonormée directe(−→

i₁,−→w ,−→

k₁). La seule base orthonormée directe dont le premier et le troisième vecteur sont−→

i₁ et−→ k₁ est (−→

i₁,−→ j₁,−→

k₁). On en déduit r3◦r2◦r1=r

2. La fonction R = f ◦r−→w ,α◦f⁻¹ est une rotation car elle est composée de plusieurs rotations (les rotations forment un groupe pour la composition). On va montrer que c'est une rotation d'angleαautour de l'axef(−→w).

On vérie facilement queR(f(−→w)) =f(−→w). Pour montrer que l'angle estα, on utilise la formule de changement de base.

Soit U = (−→u ,−→v ,−→w) une base orthonormée directe et V = (f(−→u), f(−→v), f(−→w)). La familleV est également orthonormée directe carf est une rotation. Alors :

Mat_Ur−→w ,α=





cosα −sinα 0 sinα cosα 0

0 0 1





On peut alors regarder la matrice def comme une matrice de passage entre deux bases (elle exprime les vecteurs deV en fonction de ceux de U) puis utiliser la formule de changement de base.

Mat_Uf =P_VU⇒Mat_VR=P_{U V} Mat_UR P_VU

=P_{U V} Mat_Uf Mat_Ur^−→_{w ,α}Mat_Uf⁻¹ P_VU

= (P_{U V}P_VU) Mat_Ur^−→_{w ,α}(P_{U V}P_VU) = Mat_Ur^−→_{w ,α} La forme de cette matrice montre queRest la rotation d'angleαautour def(−→w).

3. On remarque querϕetrψ sont des rotations de même axe. Elles vont donc commuter.

Commer1et Rθ sont des rotations d'angle θmais respectivement autour de−→u et −→ i avec−→u =r_ϕ(−→

i), la question précédente montre que r1=rϕ◦Rθ◦r⁻¹_ϕ De même, commer1(−→

k) =−→ k1 :

r₃=r−→

k1,ϕ =r₁◦r_ϕ◦r₁⁻¹ On en déduit :

r=r₃◦r₁◦r₂=r₁◦r_ψ◦r⁻¹₁ ◦r₁◦r₂=r₁◦r_ψ◦r₂

=r_ϕ◦R_θ◦r_ϕ⁻¹◦r_ψ◦rϕ=r_ϕ◦R_θ◦r_ψ carrϕetrψcommutent. Le point intéressant dans cette décomposition est que les axes des trois rotations soient dirigés par les vecteurs−→

i et−→

k de la base de départ.

Partie II - Quaternions

Les questions de cette partie se traitent par de simples vérications. Leur correction ne sera pas détaillée.

Partie III - Multiplications

1. La vérication de ce queS,gq,dq,Cqsont des endomorphismes ne pose pas de diculté.

Bien remarquer qu'il s'agit d'une structure deR-espace vectoriel.

Soitq⁰ un quaternion quelconque, on peut écrire : d_q−1(q⁰) =q⁰q⁻¹= 1

N(q)q⁰q= 1 N(q)qq⁰ donc

d_q−1= 1

N(q)S◦g_q◦S De même :

Cq =gq◦dq⁻¹ = 1

N(q)gq◦S◦gq◦S

2. a. Pour former la matrice de gq, on exprime les images des vecteurs de base en fonction de(1_H,−→

i ,−→ j ,−→

k). On peut se permettre de ne pas écrire complètement certaines matrices car on sait qu'il s'agit de quaternions.

gq(1) =α1_H+δ−→ i +γ−→

j +β−→ k

gq(−→ i) =

a −b b a

0 i i 0

=

−ib . ia .

=

−iγ−δ . iα+β .

=−δ1_H+α−→ i +β−→

j −γ−→ k

gq(−→ j) =

a −b b a

0 −1 1 0

= −b .

a .

=

−γ+iδ . α−iβ .

=−γ1_H−β−→ i +α−→

j +δ−→ k

gq(−→ k) =

a −b b a

i 0 0 −i

= ia .

ib .

=

iα−β . iγ−δ .

=−β1_H+γ−→ i −δ−→

j +α−→ k On en déduit :

MatB gq=









α −δ −γ −β

δ α −β γ

γ β α −δ

β −γ δ α









b. La matrice précédente s'écrit avec des blocs2×2 A,B : detg_q =

A −B

B A

Ce déterminant n'est pas modié par des opérations élémentaires sur les blocs : detgq=

A −B+iA B A+iB

=

A i(A+iB) B A+iB

=

A−iB 0 B A+iB

=|det(A+iB)|²=

α+iγ −δ+iβ δ+iβ α−iγ

2

=|(α+iγ)(α−iγ)−(δ−iβ)(δ+iβ)|²= (α²+β²+γ²+δ²)²=N(q)²

On en déduit :

detgq =N(q)² 3. L'égalité entre applications linéaires

Cq = 1

N(q)gq◦S◦gq◦S

se traduit par l'égalité suivante entre les déterminants (attention, l'espace est de di- mension4) :

detC_q = 1

N(q)⁴(detg_q)²(detS)² Or(detS)²= 1carS◦S est l'identité. On en déduit :

detCq = 1

Partie IV - Produit scalaire

Dans cette partie −→u et −→v sont deux quaternions purs respectivement de coordonnées (γ, δ, β)et(γ⁰, δ⁰, β⁰)dans la base(−→

i ,−→ j ,−→

k).

−

→u =γ−→ i +δ−→

j +β−→ k =

iβ −γ+iδ γ+iδ −iβ

−

→v =γ⁰−→ i +δ⁰−→

j +β⁰−→ k =

iβ⁰ −γ⁰+iδ⁰ γ⁰+iδ⁰ −iβ⁰

1. Pour vérier que (./.) dénit un produit scalaire, formons le produit matriciel des quaternions.

−

→u−→ u⁰ =

−ββ⁰−γγ⁰−δδ⁰+i(δγ⁰−γδ⁰) .

−δβ⁰+βδ⁰+i(γβ⁰−γ⁰β) .

On en déduit l'expression du produit scalaire (−→u /−→v) = 1

2tr(−→u−→v) =ββ⁰+γγ⁰+δδ⁰ Ceci montre en même temps que(−→

i ,−→ j ,−→

k)est une base orthonormée. Elle est directe par dénition de l'orientation de l'espaceE des quaternions purs.

2. Dans l'espace vectoriel euclidien oriené E, le calcul en coordonnées (dans une base orthonormée directe) du produit vectoriel−→u−→v donne



 δ γ β



∧



 δ⁰ γ⁰ β⁰



=





γβ⁰−γ⁰β βδ⁰−β⁰δ δγ⁰−δ⁰γ





On retrouve des expressions gurant dans le produit matriciel calculé plus haut, on en déduit :

−

→u−→v =−(−→u /−→v)1_H+−→u ∧ −→v

Les autres expressions demandées par l'énoncé en découlent immédiatement.

Parties V - Rotations

1. a. On doit montrer que l'image par l'applicationCqd'un quaternion pur−→u est encore un quaternion pur. On utilise la conjugaison (un quaternion est pur lorsqu'il est égal à l'opposé de son conjugué).

Cq(−→u) = 1 N(q)q−→u q Cq(−→u) = 1

N(q)q−→u q = 1

N(q)q(−−→u)q=−Cq(−→u) On en déduit queCq(−→u)est un quaternion pur.

b. On notecq la restriction deCq àE. CommeCq(1_H) = 1_H, la matrice deCq)dans la base(1_H,−→

i ,−→ j ,−→

k)est de la forme









1 0 0 0

0 0 0

Mat₍−→ i ,→−

j ,−→ k)cq









D'après la dénition du déterminant d'une matrice (ou en développant suivant la première colonne), on obtient

detc_q = detC_q = 1

c. Commecq est de déterminant 1, pour montrer que c'est une rotation, il sut de montrer qu'il conserve le produit scalaire.

(c_q(−→u)/c_q(−→v)) =−1

2tr(c_q(−→u)c_q(−→v)) =−1

2tr(q−→u q⁻¹q−→v q⁻¹)

=−1

2tr(q−→u−→v q⁻¹) =−1

2tr(−→u−→v q⁻¹q) =−1

2tr(−→u−→v) = (−→u /−→v) en utilisant le fait que la trace d'un produit de deux matrices ne change pas si on les permute

2. a. Rappelons que q=

a −b b a

, q=

a b

−b a

c_q(−→ i) = 1

N(q)q 0 i

i 0

q= 1 N(q)q

−ib ia ia ib

= 1 N(q)

. .

−ib²+ia² 0

(cq(−→ i)/−→

i) = Im(−ib²+ia²)

N(q) = α²−β²−γ²+δ² N(q) cq(−→

j) = 1 N(q)q

0 −1 1 0

q= 1 N(q)q

b −a a b

= 1 N(q)

. . b²+a² 0

(c_q(−→ j)/−→

j) =Re(b²+a²)

N(q) = γ²−δ²+α²−β² N(q)

cq(−→ k) = 1

N(q)q i 0

0 −i

q= 1 N(q)q

ia ib ib −ia

= 1 N(q)

i|a|²−i|b|² .

. .

(cq(−→ k)/−→

k) =Im(i|a|²−i|b|²)

N(q) =α²+β²−γ²−δ² N(q) b. On déduit de la question précédente que

trcq =3α²−β²−γ²−δ² α²+β²+γ²+δ² Cette trace est égale à 3 si et seulement si

3α²−β²−γ²−δ²= 3(α²+β²+γ²+δ²) c'est à dire lorsqueβ²+γ²+δ²= 0ou encore queq∈Vect(1_H).

3. Lorsqueq6∈Vect(1_H),cq n'est pas l'identité car la trace decq n'est pas égale à la trace de l'identité (qui est 3). De plus :

Cq(q) =qqq⁻¹=q Cq(q) = 1

N(q)qq⁻¹q⁻¹= 1

N(q)q⁻¹=q cq(−→

Vq) =1

2Cq(q−q) = 1

2(q−q) =−→ Vq

4. En utilisant les calculs de la partie IV et les décompositions q=α1_H+−→

Vq, q=α1_H−−→

Vq

on obtient

q−→u q=α²−→u + 2α−→

Vq∧ −→u −(−→

Vq∧ −→u)∧−→ Vq

q−→u q=α²−→u −2α−→

Vq∧ −→u −(−→

Vq∧ −→u)∧−→ Vq

(cq−c⁻¹_q )(−→u) = 4α N(q)

−

→Vq∧ −→u

On sait déjà quecq est une rotation, cette rotation est un demi-tour lorsquecq◦cq est l'identité c'est à dire lorsquecq =c⁻¹_q . Comme−→

Vq n'est pas nul, ceci se produit si et seulement siα= 0c'est à dire lorsqueq∈E (qest un quaternion pur).

On suppose dans toute la suite que q 6∈ Vect 1_H et q 6∈ E. Il existe alors un unique θ∈]−π, π[tel quec_q=r_θ,−→

V_q carc_q est une rotation qui n'est pas un demi-tour.

5. a. Lorsque cq = r_θ,^−→_V

q la matrice de cq dans une base orthonormée directe de la formeU = (−→a ,−→

b , ¹

N(→− V_q)

−

→Vq)est

MatU cq





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1





b. On déduit de la matrice précédente et du calcul de la trace decq (V.2) que : trcq =2 cosθ+ 1 = 3α²− k−→

Vqk² α²+k−→

Vqk² cosθ=α²− k−→

Vqk² α²+k−→

V_qk² =α²− k−→ Vqk² N(q)

Dans la baseU, la matrice de−→u →−→

V_q∧ −→u se calcule avec l' expression usuelle du produit vectoriel :



 0 0 k−→

Vqk



∧



 x y z



=







−k−→ V_qky k−→

V_qkx 0







la matrice cherchée est donc :







0 −k−→ Vqk 0 k−→

Vqk 0 0

0 0 0







En identiant les expressions des matrices decq−c⁻¹_q dansU obtenues à partir de a. et de V.4., on obtient

sinθ= 2αk−→ Vqk N(q) c. On utilise

tanθ

2 = sinθ 1 + cosθ On en déduit

tanθ

2 = 2αk−→ V_qk N(q) +α²− k−→

Vqk

= k−→ V_qk

α

Cette expression détermine un unique ^θ₂ dans ]− ^π₂,^π₂[ donc un unique θ dans ]−π, π[.

Partie VI - Quaternions et angles d'Euler

1. Lorsqueqest de la forme q=

e^iω 0 0 e^−iω

= cosω1_H+ sinω−→ k cq est une rotation d'axe−→

k (carsinθ >) et d'angleθ∈]−π, π[déni par : tanθ

2 = sinω

cosω = tanω Lorsquecosω6=^π₂.

siω∈]0,^π₂[:cq =r^−→_{k ,2ω}.

siω=^π₂ :cq est le demi-tour d'axeVect−→ k. siω∈]^π₂, π[:cq =r^→−

k ,2ω−2π=r^−→_{k ,2ω} Lorsqueqest de la forme

q=

cosω isinω isinω cosω

= cosω1_H+ sinω−→ i siω=^π₂ :cq est le demi-tour d'axeVect−→

i. siω∈]0, π[−{^π₂},sinω >0:cq=r^−→_{i ,2ω}

2. Eectuons le calcul matriciel qui donne la matrice d'une rotation en fonction de ses angles d'Euler :

e^iϕ2 0 0 e^−iϕ2

cos^θ₂ isin^θ₂ isin^θ₂ cos^θ₂

"

e^iψ2 0 0 e^−iψ2

#

=

e^iϕ2 0 0 e^−iϕ2

"

cos^θ₂e^iψ2 isin^θ₂e^−iψ2 isin^θ₂e^iψ2 cos^θ₂e^−iψ2

#

=

"

cos^θ₂e^iϕ+ψ2 . sin^θ₂e^iψ−ϕ2 .

#

3. Commeqest un quaternion de norme 1 :|a|²+|b|²= 1, il existe donc un réelλ∈]0,^π₂[ qui permet d`'exprimer les modules sous forme trigonométrique.

|a|= cosλ,|b|= sinλ Introduisons des argumentsµetν dans[0,2π]:

a= cosλe^iµ,|b|= sinλe^iν Il ne reste plus qu'à identier les deux matrices :

θ

2 =λ, ϕ+ψ

2 =µ, ψ−ϕ

2 =ν

θ= 2λ, ψ=µ+ν, ϕ=µ−ν