5ème Cours : angles et parallélisme
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I. Vocabulaire des angles
1) Angles adjacents.
Deux angles sont adjacents lorsque :
• ils ont le même sommet ;
• ils ont un côté commun ;
• ils sont de part et d’autre de ce côté.
2) Angles complémentaires, angles supplémentaires
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.
3) Angles alternes-internes, angles correspondants
Deux droites coupées par une sécante forment avec cette sécante deux paires d’angles alternes-internes et quatre paires d’angles correspondants.
Deux angles sont alternes-internes lorsqu’ils sont situés :
• de part et d’autre de la droite ∆ ;
• entre les droites d et d'.
Deux angles sont correspondants lorsqu’ils sont situés :
• d’un même côté de la droite ∆ ;
• l’un entre les droites d et d', l’autre pas.
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II. Propriétés
1) Angles opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles :
• qui ont le même sommet ;
• dont les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
Propriété : Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
2) Angles formés par deux droites parallèles et une sécantes.
Propriété 1 : Si deux droites parallèles sont coupées
par une sécante alors les angles alternes- internes
d’une même paire sont égaux.
Les angles 3 et 5 alternes internes sont égaux.
De même les angles 4 et 6 alternes internes sont égaux.
Propriété 2 : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants d’une même paire sont égaux.
Les angles 2 et 6 (ainsi que 1 et 5, 4 et 8, 3 et 7) sont correspondants et égaux.
Cas particulier : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.
Hypothèses Conclusion
• (D) ⊥ (∆)
• (D) // (D')
(D') ⊥ (∆)
3) Caractérisation angulaire du parallélisme : réciproques.
Réciproque de la propriété 1 : Si deux droites coupées par une sécante font apparaître des angles alternes- internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Réciproque de la propriété 2 : Si deux droites coupées par une sécante font apparaître des angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles.
Réciproque du cas particulier : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.
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Hypothèses Conclusion
• (D) ⊥ (∆)
• (D') ⊥ (∆)
(D) // (D')
III. Somme des mesures des angles d’un triangle
Dans tous les triangles la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
On a : a + b + c = 180 °
Cas particuliers des triangles isocèles et équilatéraux Un triangle isocèle a deux angles de même mesure.
Un triangle équilatéral a trois angles de même mesure : 60 °
ABC est isocèle : B =C DEF est équilatéral : D = =E F = 60°
a b
c A
B
C
B C
A F
D
E
