TP INF
O1re
DÉCOMPOSITION DE VECTEURS
Objectif de la séance :
A, B, C est un triangle et kun nombre réel.
On considère les points P, Q, R définis par :
−→
AP=k
−→
AB;
−→
CQ=k
−→
CA;
−→
CR=k
−→
BC
Étudier l’alignement des trois points P, Q, R suivant les valeurs du paramètrek.
Construction de la figure :
Ouvrir un nouveau fichierGeoGebra. Reproduire les étapes suivantes : 1. Placer trois points distincts et non alignés A, B, C .
2. Construire les vecteurs
−→
AB,
−→
CA et
−→
BC .
Ces vecteurs sont notés u,v,wdans la fenêtre Algèbre.
3. Construire un curseurk variant de−2 à 2 avec un incrément de 0.01 . 4. Dans la barre de saisie taper k*u, k*v et k*w pour obtenirk
−→
AB, k
−→
CA et k
−→
BC.
Ces vecteurs sont notés z,a,bdans la fenêtre Algèbre.
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5. Construire enfin un représentant d’origine A du vecteur k
−→
AB, un représentant d’origine C du vecteurkCA et un représentant d’origine C du vecteur−→ kBC−→ .
Renommer P, Q, R les trois points ainsi créés.
Conjecture :
6. Faire varierk et observer la position des points P, Q, R.
7. Pour quelle(s) valeur(s) de kles points P, Q, R semblent-ils alignés ? k=
tAppeler le professeur !
Démonstration de la conjecture :
1. En utilisant la relation de Chasles prouver que :
−→
PQ=−kAB +(1−→ −k)
−→
AC et
−→
PR=−2kAB +(1 +−→ k)
−→
AC
−→
PQ =
−→
PA +
−→
AC +
−→
CQ
=
−→
PR =−→ +−→ +−→
=
2. Quelles sont les coordonnées des vecteurs
−→
PQ et
−→
PR dans le repère
A;
−→
AB,
−→
AC
?
−→
PQ
−→
PR
3. Démontrer alors la conjecture :
tAppeler le professeur !
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