(1)Problème : Valeurs absolues sur Q On dit qu’une application µ : Q → R+ est une valeur absolue sur Q elle vérifie les trois propriétés suivantes

Problème : Valeurs absolues sur Q

On dit qu’une application µ : Q → R⁺ est une valeur absolue sur Q elle vérifie les trois propriétés suivantes :

— L’application µn’est pas constante.

— Pour tous r, s∈Q,µ(r+q)6µ(r) +µ(s).

— Pour tous r, q∈Q,µ(rq) =µ(r)µ(s).

L’application valeur absolue usuelle x 7→ |x| est une valeur absolue sur Q au sens de la définition précédente.

L’objectif de ce problème est de déterminer toutes les valeurs absolues sur Q.

Les trois premières parties sont indépendantes. A contrario, les parties 4, 5 et 6 utilisent les résultats des parties précédentes.

La partie 3 est, d’assez loin, la plus délicate de toutes.

Partie N^o1 : Généralités sur les valeurs absolues sur Q Dans cette partie, on considèreµune valeur absolue quelconque sur Q.

1. Montrer queµ(0) = 0 etµ(1) = 1.

2. Prouver que, pour toutr∈Q^?,µ(r)>0.

3. Soientr ∈Qets∈Q^?. Que vaut µ(r/s)en fonction de µ(r)et de µ(s).

4. Vérifier que, pour tout r∈Q,µ(−r) =µ(r).

5. Prouver que, pour toutn∈N,µ(n)6n.

Partie N^o2 : Décomposition en base b Dans cette partie, on fixe bun entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. La fonction logarithme de base best définie par log_b :x7→ ^ln(x)_ln(b).

Donner le domaine de définition delog_b et étudier ses variations. Donner ses limites aux bornes de son domaine de définition et, enfin, donner l’allure de la courbe représentative.

Quelle est l’application réciproque delog_b?

2. Dans cette question, on fixenun entier naturel non nul.

Pourk∈N, on poseb_k =

n b^k

−b

n b^k+1

. (a) Montrer que b_k∈ {0,· · · , b−1}.

(b) Montrer que si k>blog_b(n)c+ 1alors

n b^k

= 0.

(c) Montrer enfin que

blog_b(n)c

X

k=0

bkb^k=n.

A l’issue des question précédentes, vous avez montré le théorème suivant :

Soitb∈N\ {0,1}.

Pour tout n∈N^?, il existep∈N, il existeb0,· · ·, bp∈ {0,· · · , b−1} tel que n=

p

X

k=0

bkb^k.

De plus, on peut choisirp6blog_b(n)c.

Théorème 1:Décomposition d’un entier en base b

1

Partie N^o3 : Morphisme additif croissant SoitG un sous-groupe dense de (R,+).

Dans cette partie, on cherche à déterminer toutes les applicationsf :G→Rcroissantes vérifiant

∀x, y∈G, f(x+y) =f(x) +f(y). (?) 1. On suppose donnéef une solution du problème (?).

(a) Soit x∈R. On pose g(x) = sup{f(t) / t∈]− ∞, x]∩G}.

Montrer que l’applicationg:R→Rest bien définie, qu’elle est croissante et qu’elle définit un prolongement de f à R.

(b) Soit >0.

i. Montrer qu’il existex, y∈Gtels quex < y et06f(y)−f(x)6.

Indication : On pourra utilise le fait que l’intervalle[0, a], oùaest à choisir convenable- ment, contient n+ 1éléments G, oùn est à choisir judicieusement.

ii. En déduire qu’il existe α >0tel que, si t∈G∩[−α, α]alors|f(t)|6. iii. Prouver alors que, pour tous x, y∈R, si|x−y|6 ^α₂ alors|g(y)−g(x)|6.

Indication : On supposera quex6y et on encadrera, de manière judicieuse,xetypar des éléments deG.

Montrer que

∀x, y∈R, g(x+y) =g(x) +g(y).

(c) En déduire que, pour toutx∈R,g(x) =xg(1).

Indication : On commencera par prouver le résultat pour x∈N, puis pourx∈Z, puis pour x∈Qet, enfin, pour x∈R.

2. Montrer quef est solution de (?) si, et seulement si, il existeλ>0 tel que f :x7→λx.

Partie N^o4 : Valeur absolue p-adique Dans cette partie, µest une valeur absolue vérifiant l’hypothèse suivante :

∀b∈N\ {0,1}, µ(b)61. (H)

1. Déterminer l’application µsi l’on suppose, pour toutb∈N\ {0,1},µ(b) = 1.

2. A partir de cette question, on suppose qu’il existeb∈N\ {0,1} tel que µ(b)<1.

Montrer l’existence d’un entier naturel premierp tel queµ(p)<1.

3. Soitq un entier naturel premier, distincts dep et soitk∈N^?. Prouver queµ(p)^k+µ(q)^k>1.

En déduire que µ(q) = 1.

4. On rappelle que la valuationp-adique, notée v_p, est une application définie sur Z\ {0}.

Montrer qu’elle se prolongement de manière unique surQ^?, en une application (toujours notée vp) vérifiant

∀x, y∈Q^?, v_p(xy) =v_p(x) +v_p(y).

5. Établir l’existence d’un réela∈]0,1[ tel que, pour toutr∈Q,µ(r) =

a^vp(r) si r6= 0

0 sinon. .

Partie N^o5 : Valeur absolue höldérienne

Dans cette partie, on suppose que l’hypothèse(H) n’est plus vérifiée. Autrement dit, on suppose qu’il existe un entier bsupérieur ou égal à 2 tel queµ(b)>1.

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1. Dans cette question, on se donne un entiera>2. On va montrer queµ(a)>1.

(a) Siµ(a)<1, montrer que, pour toutn∈N,µ(n)6 _1−µ(a)^a−1 . Conclure.

Indication : On utilisera la décomposition de n en base a.

(b) Si µ(a) = 1, montrer que, pour toutk∈N^?,µ(b)^k6(a−1)(1 +klog_a(b))et conclure.

2. On veut maintenant montrer que, pour toutx∈Q, on a : 0< x <1 ⇒ µ(x)<1.

(a) Soit u, v∈N, avec16u < v tels que x= ^u_v. Soitn∈N^?.

Montrer qu’il existe des entiers r₁,· · ·, r_n∈ {0,· · · , v−1}tels que xⁿ=

n

X

i=1

ri

vⁱ.

(b) On suppose que xⁿ< v^−k où k∈N^?. Vérifier k < netr1 =· · ·=r_k = 0.

Montrer que µ(x)ⁿ6 _µ(v)k^v−1(µ(v)−1). Conclure en choisissant bienk puisn.

3. Déduire de la question précédente que µest strictement croissante sur Q^+?. 4. (a) Montrer que G= log_b(Q^+?) est un sous-groupe dense de(R,+).

(b) Montrer que l’application

f : G → R

x 7→ log_b(µ(b^x)) est bien définie, croissante et est solution du problème (?).

(c) En déduire l’existence d’un réel λ >0 tel que, pour toutr∈Q,µ(r) =|r|^λ. Partie N^o6 : Valeurs absolues sur Q

Déduire de ce qui précède toutes les valeurs absolues surQ.

* * * FIN DU SUJET * * *

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