Propriétés de Q

Propriétés de Q

Exercice 1. Parties fractionnaires

Soitx=p/q∈Q^∗avecp, q entiers,q>1,p∧q= 1. CalculerPq−1 k=0{kx}.

Exercice 2. Dénominateurs dans un sous-anneau

SoitA un sous-anneau deQ. On écrit les éléments deAsous forme irréductible ; soit P l’ensemble des dénominateurs. Montrer que A={^m_p tqm∈Z, p∈P}.

Exercice 3. Les sous-anneaux deQsont principaux

SoitAun sous-anneau deQ. Montrer queAest principal (si I est un idéal deA, considérerI∩Z).

Exercice 4. Décomposition en inverses

Soitx∈Q, 0< x <1. On définit une suite (x_n) de rationnels par récurrence : –x0=x,

– Sixn existe et est non nul, soitkn∈N^∗ le plus petit entier tel que 1/kn6xn. On posexn+1=xn−1/kn,

– Sixn= 0, on s’arrête. Dans ce cas,x= 1/k0+ 1/k1+. . .+ 1/k_n−1. 1) Montrer que la suite est toujours finie.

2) Montrer que siki+1existe, alorski+1> ki(ki−1).

3) Réciproquement, soit une décomposition : x= 1/n0+. . .+ 1/np avecni∈N^∗ etni+1> ni(ni−1).

Montrer que pour touti, on a ni=ki. Exercice 5. Combinaison de fractions

Soient ^a_b <_d^c deux rationnels aveca, c∈Z, etb, d∈N^∗.

1) Prouver que tout rationnel s’écrit : x= ^ma+nc_mb+nd avecm, n∈Zet mb+nd6= 0.

2) Étudier l’unicité d’une telle écriture.

3) Montrer que ^ma+nc_mb+nd est compris entre ^a_b et _d^c si et seulement simet nont même signe.

Exercice 6. Équations algébriques Déterminerx∈Qsachant que :

1) 2x³−x²+x+ 1 = 0. 2)6x⁵+ 11x⁴−x³+ 5x−6 = 0. 3)2x³−x−4 = 0.

Exercice 7. x^y=y^x

On cherche les couples (x, y)∈(Q^+∗)²tels que x < yetx^y=y^x(x^y, y^x∈R).

On posex=^p_q,y= ^p_q⁰0 (formes irréductibles),d=pq⁰∧p⁰q,pq⁰=adetp⁰q=bd.

1) Montrer qu’il existem, n∈N^∗ tels que : p=m^a,p⁰=m^b,q=n^a et q⁰=n^b. 2) En déduire : b−a=m^b−a−n^b−a.

3) Montrer queb−a61 et conclure.

q.tex – lundi 26 juillet 2010

solutions

Exercice 1.

= ¹₂(q−1).

Exercice 2.

Si p∈P : ∃n∈Ztel que ⁿ_p ∈Aavecn∧p= 1.

Alors pour tous x, y∈Z, on a ^nx+py_p ∈A, donc ¹_pZ⊂A.

Exercice 4.

1) Sixn =^p_q 6= 0 : _k¹

n 6^pq < _k ¹

n−1,⇒xn+1= ^kn_k^p−q

nq et 06knp−q < p. Donc la suite des numérateurs est strictement décroissante.

2) Carxn+1=^p_q −_k¹

n <_k ¹

n−1−_k¹

n. 3) np > n_p−1(n_p−1−1)⇒ _n¹

p−1 +_n¹

p < _n ¹

p−1−1. n_p−1−1>n_p−2(n_p−2−1)⇒ _n¹

p−2 +_n ¹

p−1−1 6np−2¹−1, etc.

Finalement,x < _n¹

0−1 ⇒n0=k0. (cf. INA opt. 1977)

Exercice 5.

1) Pourx=^p_q, on peut prendre : m=qc−pd, n=pb−qa.

2) (m, n) est unique à un facteur près.

3) ^ma+nc_mb+nd−^a_b =_b(mb+nd)^n(bc−ad), et ^c_d−^ma+nc_mb+nd =_d(mb+nd)^m(bc−ad). Exercice 6.

1) x=−¹₂. 2) x= ²₃.

3) pas de solution.

Exercice 7.

1) x^y=y^x⇔ ^pp

0q

q^p0q = ^p0pq

0

q^0pq0 (formes irréductibles)⇒p^p0q =p^0pq0 etq^p0q=q^0pq0 ⇒p^b =p^0a et q^b=q^0a. Commea∧b= 1, on décompose p, p⁰, q, q⁰ en facteurs premiers, d’où le résultat.

2) (pq⁰=m^an^b, p⁰q=m^bn^a,m∧n= 1,a < b)⇒(d=m^an^a,a=n^b−a et b=m^b−a).

3) m>n+ 1 donc sib−a>2, on a : m^b−a−n^b−a= (m−n)(m^b−a−1+. . .+n^b−a−1)> b−a.

Doncb−a= 1 =m−n,a=n,x= (1 +_n¹)ⁿ ety= (1 +_n¹)ⁿ⁺¹. Ces valeurs conviennent.

q.tex – page 2