2 F ACTORISATION PREMIÈRE ET FORME IRRÉDUCTIBLE D ’ UN RATIONNEL

R APPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

1 E NSEMBLES DE NOMBRES

• EnsemblesN,Z,Q,RetC: On rappelle que :

— N^∗,Q^∗,R^∗etC^∗désignent les ensemblesN, Q,RetCprivés de 0,

— R₊désigne l’ensemble des réels positifs (ou nuls) etR₋l’ensemble des réels négatifs (ou nuls),

— R^∗₊désigne l’ensemble des réels strictement positifs et R^∗

− l’ensemble des réels stricte- ment négatifs.

C

Nombres complexes

R

Nombres réels

Q

Nombres rationnels

Z

Entiers relatifs

N

Entiers naturels

b0 ^b1 ^b2 ^b3

b−1 ^b −2 ^b −3

b 1

2

b 2

3

b − 7

25

bp

2 ^b π ^b e ^b ln 3

b i ^b 3+4i ^b e^ip2

• Intervalles :

Pour tousa,b∈Rtels que : a¶b, on introduit différents ensembles de nombres appelésintervalles:

— lessegments: [a,b] =¦

x∈R| a¶x¶b© ,

— les intervallesouverts, par exemple : ]a,b[ =¦

x∈R| a< x< b©

, ]a,+∞[ =¦

x∈R| x >a© et ]−∞,+∞[ =R,

— les intervallessemi-ouverts, par exemple : [a,b[ =¦

x∈R| a¶x<b©

et ]−∞,b] =¦

x∈R| x¶b© .

• Intervalles d’entiers :

Pour tousa,b∈Rtels que : a¶b, on note¹a,bºl’ensemble desENTIERScompris entreaetb:

¹a,bº=¦

n∈Z| a¶n¶b©

. Par exemple : ¹0, 2º= 0, 1, 2 .

Siaetbsont eux-mêmes des entiers, l’intervalle d’entiers¹a,bºcontient exactementb−a+1 éléments.

Il y a par exemple 2−0+1=3 éléments dans¹0, 2º.

2 F ACTORISATION PREMIÈRE ET FORME IRRÉDUCTIBLE D ’ UN RATIONNEL

Le contenu de ce paragraphe sera repris en détail et étoffé au chapitre « Arithmétique des entiers relatifs ».

Définition (Divisibilité, diviseur, multiple) Soienta,b∈N. On dit quea divise b, ou queaest undiviseur de b, ou quebestdivisible par a, ou quebest unmultiple de a, si : b=ak pour un certaink∈N.

Exemple Les diviseurs de 7 sont 1 et 7, les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6, les diviseurs de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10 et 20.

Définition (Nombre premier) Soitp∈N. On dit quepestpremiersi : p6=1 et si ses seuls diviseurs sont 1 etp.

Les nombres premiers sont l’analogue dansNdes particules élémentaires en physique — des nombres qu’on ne peut pas casser en morceaux plus petits par produit.

Il en existe une infinité : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. . .

Théorème (Factorisation première) Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 peut être écrit d’une et une seule manière, appelée safactorisation première, sous la forme : p^α₁¹. . .p^α_r^r oùp₁, . . . ,p_rsont des nombres premiers pour lesquels : p₁<. . .<p_r et oùα₁, . . . ,α_r∈N^∗.

Tout entier supérieur ou égal à 2 est un empilement par produit des particules élémentaires que constituent les nombres premiers.

Exemple 33=3×11, 60=2²×3×5, 98=2×7², 1000=2³×5³.

Définition (Nombres premiers entre eux) Soienta,b ∈N. On dit que aet b sontpremiers entre euxsi leur seul diviseur commun est 1, i.e. si leurs factorisations premières n’ont aucun facteur premier commun.

Exemple D’après les factorisations premières de l’exemple précédent, 33 et 98 sont premiers entre eux.

Théorème (Forme irréductible d’un rationnel) Tout rationnel peut être écrit d’une et une seule manière, appelée sa forme irréductible, sous la forme p

q oùp∈Zetq∈N^∗avec|p|etqpremiers entre eux.

En choisissant pdansZetqdansN^∗, on impose que le signe de la fraction soit porté par son numérateur. Sans cela, il n’y aurait pas unicité de la forme irréductible.

Et maintenant, deux petites mises au point pratiques.

• Mise sous forme irréductible : Pour écrire un rationnel a

b aveca,b∈N^∗sous forme irréductible, on remplaceaet bpar leurs factorisations premières, puis on simplifie au maximum. Par exemple, pour calculer la forme irréductible de 495

60 : 495

60 = 3²×5×11

2²×3×5 =3×11 2² =33

4 .

• Réduction au même dénominateur : Comment réduit-on par exemple la somme13 28+ 5

42au même dénominateur ? EN TOUT CAS,PAS COMME ÇA: 13

28+ 5

42= 13×42+5×28 28×42 = 686

1176, cela demande trop de calculs.

— On commence par déterminer lePLUS PETIT DÉNOMINATEUR COMMUNdes fractions 13 28 et 5

42. Il vaut ici : 84=2²×3×7 car : 28=2²×7 et 42=2×3×7 — on a conservé la plus grande puissance de chaque nombre premier.

— On réduit ensuite avecCEplus petit dénominateur commun et on n’oublie pas de présenter le résultat sous forme irréductible : 13

28+ 5

42=13×3

28×3+ 5×2

42×2= 49

2²×3×7 = 7²

2²×3×7= 7 12.

3 I NÉGALITÉS , VALEURS ABSOLUES , PUISSANCES , RACINES CARRÉES

On rappelle brièvement dans ce paragraphe les règles usuelles de calcul sur les inégalités, les valeurs absolues, les puis- sances et les racines carrées. Le point de vue adopté est purement algébrique, lesFONCTIONSpuissances, racine carrée et valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur et on s’interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.

$ Attention !

La confusion des inégalitésSTRICTESet des inégalitésLARGESest rigoureusement proscrite ! Nous allons manipuler des inégalités toute l’année, alors de grâce, faites l’effort deCHOISIR CHAQUE FOIS SCRUPULEUSEMENTle symbole que vous utilisez.

Théorème (Rappels sur les inégalités) Soienta,b,c,d,λ∈R.

• Lien strict/large : Si : a<b, alors : a¶b. LA RÉCIPROQUE EST FAUSSE! Dans les règles qui suivent, on peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes.

• Somme : Si : a¶b et c¶d, alors : a+c¶b+d.

• Produit : — par un réel positif : Si : a¶b et λ¾0, alors : λa¶λb.

— par un réel négatif : Si : a¶b et λ¶0, alors : λa¾λb —ON RENVERSE!

— d’inégalités positives : Si : 0¶a¶b et 0¶c¶d, alors : 0¶ac¶bd.

• Passage à l’inverse : Si : a¶b et siaetbsontDE MÊME SIGNE, alors : 1 b ¶1

a.

MAJORERune fraction de réels positifs, c’est majorer son numérateur etMINORERson dénominateur.

MINORERune fraction de réels positifs, c’est minorer son numérateur etMAJORERson dénominateur.

Exemple Soitx∈[1, 2]. On souhaite encadrer grossièrement le réel 2x+1

3x²+4par un calcul simple.

Démonstration Par hypothèse : 1 ¶ x ¶ 2, donc : 3 ¶ 2x+1 ¶ 5 et 1 ¶ x² ¶ 4, puis : 7¶3x²+4¶16. Par quotient enfin : 3

16¶ 2x+1 3x²+4¶ 5

7.

Exemple Pour toutx>0 : x+1 x ¾2.

Démonstration Au brouillon, il est naturel de partir du résultat et de se demander d’où il vient : x+1

x ¾2 ⇐⇒^x>0 x²+1¾2x ⇐⇒ x²−2x+1¾0 ⇐⇒ (x−1)²¾0,

puis d’observer que le carré d’un réel est toujours positif. Sur une copie, pour un calcul aussi simple, il vaut mieux partir de la fin : (x−1)²¾0 et en déduire rapidement l’inégalité désirée.

$ Attention ! Il est rigoureusement interdit deSOUSTRAIREdeux inégalités de même sens.

Par exemple : 0¶1 et 0¶2, mais on peut difficilement accepter l’inégalité : 0=0−0¶1−2=−1.

Définition-théorème (Rappels sur les valeurs absolues)

• Définition : Soit x∈R. On appellevaleur absolue de xle réel|x|défini par : |x|=

x si : x¾0

−x si : x<0.

Ce réel est positif ou nul, et nul seulement si : x=0.

• Interprétation géométrique : Pour toutx∈R,|x|est la distance entre 0 etx sur la droite réelle.

En particulier : −|x|¶x¶|x|.

• Effet sur une somme ou un produit : Pour tousx,y∈R: |x+y|¶|x|+|y| (inégalité triangulaire) et : |x y|=|x| × |y|.

a−ǫ a x a+ǫ

ǫ ǫ

|x−a| Nous nous servirons beaucoup plus tard des équivalences que voici. Pour tous

x,a∈R,|x−a|est la distance entreaetx, donc pour toutǫ >0 :

|x−a|¶ǫ ⇐⇒ x∈[a−ǫ,a+ǫ] et |x−a|< ǫ ⇐⇒ x∈]a−ǫ,a+ǫ[.

$ Attention ! |x−y|

¶

Exemple Soitx∈R. On cherche, en fonction dex, une expression de|x−3|−|x+2|qui ne fasse apparaître aucune valeur absolue. Comment procéder ?

Démonstration |x−3|=

x−3 si : x¾3

−(x−3) si : x<3 et |x+2|=

x+2 si : x¾−2

−(x+2) si : x<−2, donc la quantité|x−3| − |x+2|nous oblige à distinguer trois intervalles : ]−∞,−2[, [−2, 3[ et [3,+∞[.

|x−3| − |x+2|=





−(x−3) + (x+2) =5 si : x∈]−∞,−2[

−(x−3)−(x+2) =1−2x si : x∈[−2, 3[

(x−3)−(x+2) =−5 si : x∈[3,+∞[.

Exemple On veut résoudre l’équation : |x−4|=2x+10 d’inconnuex∈R.

Démonstration Tout d’abord, pour toutx∈R: |x−4|=

x−4 si : x¾4 4−x si : x<4.

• Résolution sur[4,+∞[: Pour toutx¾4 :

|x−4|=2x+10 ⇐⇒ x−4=2x+10 ⇐⇒ x=−14, or : −14∈/[4,+∞[, donc l’équation n’a pas de solution sur[4,+∞[.

• Résolution sur]−∞, 4[: Pour toutx<4 :

|x−4|=2x+10 ⇐⇒ 4−x=2x+10 ⇐⇒ x=−2, et : −2∈]−∞, 4[, donc−2 est bien solution. C’est finalement la seule solution surR.

Exemple On veut résoudre l’inéquation : |2x−1|< 1

x d’inconnuex∈R^∗. Démonstration Pour commencer, l’équation n’a pas de solution dansR^∗

−car pour toutx<0 : 1

x <0 alors que : |2x−1|¾0.

• Résolution sur

˜ 0,1

2

•

: Pour toutx∈

˜ 0,1

2

• :

|2x−1|< 1

x ⇐⇒ 1−2x< 1 x

x>0

⇐⇒ (1−2x)x<1

⇐⇒ 2x²−x+1>0 Discriminant−7

⇐⇒ x∈

˜ 0,1

2

• .

• Résolution sur

•1 2,+∞

•

: Pour toutx∈

•1 2,+∞

• :

|2x−1|< 1

x ⇐⇒ 2x−1< 1 x

x>0

⇐⇒ (2x−1)x<1

⇐⇒ 2x²−x−1<0 Discriminant 9

⇐⇒ x∈

˜

−1 2, 1

•

⇐⇒ x∈

•1 2, 1

• .

• Conclusion : L’ensemble des solutions cherché est la réunion d’intervalles

˜ 0,1

2

•

∪

•1 2, 1

•

= ]0, 1[.

$ Attention ! Pour majorer une valeur absolue|x|, il ne faut pas chercher à majorerx, il fautD’ABORDgérer la valeur absolue.

Réfléchissez-y bien. Supposons par exemple qu’on veuille majorer |sinx+cosx| pour tout x ∈R. Votre premier réflexe consiste généralement à majorer sinx+cosx: sinx+cosx¶1+cosx, ce qui est correct, puis à ajouter des barres|. . .| sans trop réfléchir : |sinx+cosx|¶|1+cosx|, SAUF QUE LÀ C’EST FAUX! Essayez par exemple avecx=π.

En résumé : x¶ y =⇒ |x|¶|y| car la fonction valeur absolue N’est PAS croissante, elle NE respecte PAS

l’ordre. À l’oral, je vous rappellerai cette erreur en vous disant qu’il est in- terdit de majorerDANSune valeur absolue.

Quelle majoration de|sinx+cosx|pourrions-nous donc proposer ? Il fautD’ABORDgérer la valeur absolue. D’après l’inégalité triangulaire : |sinx+cosx|¶|sinx|+|cosx|, or : |sinx|¶1, donc : |sinx+cosx|¶1+|cosx|. Observez bien que pour majorer|sinx+cosx|, nous n’avons pas seulement majoré sinxpar 1, nous l’avons aussi minoré par−1.

Définition-théorème (Rappels sur les puissances)

• Définition : Soientx∈Retn∈N.

On appellex puissance nle nombrexⁿdéfini par : xⁿ=x×. . .×x

| {z }

nfois

avec : x⁰=1 par convention.

Si : x6=0, on appellex puissance−nle nombrex⁻ⁿdéfini par : x⁻ⁿ= 1 xⁿ=

1 x

‹n

=

nfois

z }| { 1

x ×. . .× 1 x.

• Règles de calcul : Pour tousx,y∈Retm,n∈N: x^m+n=x^mxⁿ, x^mn= x^mn

et (x y)ⁿ=xⁿyⁿ. Ces formules sont encore vraies simounest négatif à condition que xet ysoient non nuls.

On ne vous demande pas tant de connaître ces règles de calcul que de les comprendre parfaitement chaque fois que vous les utilisez. Par exemple, pour les deux premières : x^mxⁿ=x×. . .×x

| {z }

mfois

×x×. . .×x

| {z }

nfois

=x×. . .×x

| {z }

m+nfois

=x^m+n et :

x^mn

=

mfois

z }| { x×. . .×x×. . .×

mfois

z }| { x×. . .×x

| {z }

nfois

=x×. . .×x

| {z }

m+...+mfois

=x×. . .×x

| {z }

mnfois

=x^mn.

Définition-théorème (Rappels sur les racines carrées)

• Définition : Soit x¾0. Il existe un et un seul réelr¾0 pour lequel : x=r². On l’appelle laracine carrée de xet on le notep

x.

• Effet sur une somme ou un produit : Pour tousx,y¾0 : p x y=p

x×p

y et p

x²=|x|.

$ Attention ! La quantité p x2

n’est définie que si : x ¾0, et par définition de la racine carrée : p x2

=x.

La quantitép

x², au contraire, est toujours définie, mais comme le passage au carré tue le signe de x²: p

x²=|x|. Ce qu’il faut retenir, c’est qu’en général : p

x² = x. Une autre erreur à éviter : p

x+y = p x+p

y.

$ Attention !

Poura,b,x,y∈R: a x=a y =⇒ x=y, a²=b² =⇒ a=b et poura¾0 : x²=a =⇒ x=p

a.

Ce sont là desERREURS GRAVES. Pour les corriger, un rappel : Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est.

Il en découle que : a x=a y ⇐⇒ a(x−y) =0 ⇐⇒ a=0 ou x=y,

que : a²=b² ⇐⇒ (a+b)(a−b) =0 ⇐⇒ a=b ou a=−b ⇐⇒ |a|=|b|, et enfin si : a¾0, que : x²=a ⇐⇒ x+p

a x−p

a

=0 ⇐⇒ x=p

a ou x=−p a.

Voici donc la version corrigée des règles erronées précédentes :

Pour tousa,b,x,y∈R: a x=a y ⇐⇒ a=0 ou x=y,

a²=b² ⇐⇒ a=b ou a=−b ⇐⇒ |a|=|b|,

et poura¾0 : x=p

a ⇐⇒ x²=a et x¾0.

Exemple On veut résoudre l’équation : |x−2|=2|x+1| d’inconnuex∈R.

Démonstration Pour toutx∈R: |x−2|=2|x+1| ⇐⇒ (x−2)²=4(x+1)²

⇐⇒ 3x²+12x=0 ^{Pas de}⇐⇒

discriminant ! x(x+4) =0 ⇐⇒ x∈

−4, 0 .

Exemple On veut résoudre l’équation : p

x+8=x+2 d’inconnuex∈[−8,+∞[.

Démonstration

• Réponse incorrecte : Pour toutx∈[−8,+∞[: p

x+8=x+2 ⇐⇒ x+8= (x+2)²

⇐⇒ x²+3x−4=0 Discriminant 25

⇐⇒ x=−3±p 25

2 ⇐⇒ x∈

−4, 1 . Et là — surprise — il se trouve que−4 n’est pas solution car : p

−4+8=26=−2=−4+2. Que s’est-il donc passé ? Tout simplement, la première équivalence est fausse. Le passage au carré de gauche à droite est correct, mais pas sa réciproque. En effet, si : x+8= (x+2)², alors : p

x+8=p

(x+2)²=|x+2| avec une valeur absolue !

Toute utilisation du symbole d’équivalence⇐⇒doit êtrePENSÉE DANS LES DEUX SENS.

• Réponse correcte : Pour tout x∈[−8,+∞[:

px+8=x+2 ⇐⇒ x+8= (x+2)² et x+2¾0 ⇐⇒ x²+3x−4=0 et x¾−2

Discriminant 25

⇐⇒ x∈

−4, 1 et x¾−2 ⇐⇒ x=1.

$ Attention ! Pourx,a∈R: x¶a =⇒ x²¶a² et x²¶a² =⇒ x¶a.

Par exemple :

−2¶1

(−2)²>1² et

1¶(−2)²

1>−2. Par bonheur, certaines choses se passent bien.

Pour tousx,a∈R: x²¶a² ⇐⇒ |x|¶|a|, pour x,a¾0 : x¶a ⇐⇒ x²¶a²,

et pourx¾0 seulement : x¶a ⇐⇒ x²¶a² et a¾0.

Exemple On veut résoudre l’inéquation : |x−1|¶|2x+1| d’inconnuex∈R.

Démonstration Pour tout x∈R: |x−1|¶|2x+1| ⇐⇒ (x−1)²¶(2x+1)² ⇐⇒ 3x²+6x¾0

Pas de

discriminant !⇐⇒ x(x+2)¾0 ⇐⇒ x∈]−∞,−2]∪[0,+∞[.

Exemple On veut résoudre l’inéquation : p

x²−3x+2¶x+1 d’inconnuex.

Démonstration Un petit tableau de signe s’impose pour commencer.

x 1 2

x²−3x+2 + 0 − 0 + Ce tableau montre que l’équation étudiée n’est définie que sur]−∞, 1]∪[2,+∞[. Pour toutxdans ce domaine :

px²−3x+2¶x+1 ⇐⇒ x²−3x+2¶(x+1)² et x+1¾0

⇐⇒ 5x¾1 et x¾−1 ⇐⇒ x¾1 5. L’ensemble des solutions cherché est la réunion d’intervalles

•1 5, 1

˜

∪[2,+∞[.

En guise de bilan. . . Nous venons de parler d’inégalités, de valeurs absolues, de puissances et de racines carrées, des notions que vous connaissez toutes — et pourtant, que d’erreurs à éviter dont vous n’aviez pas forcément conscience ! Ces notions simples demandent du doigté, et si vous ne l’aviez pas perçu auparavant, c’est seulement qu’on n’a pas souhaité vous mettre en difficulté au lycée. L’à-peu-près ne paie pas, chaque passage d’un calcul doit pouvoir être assumé comme si votre vie en dépendait.

4 L E PRINCIPE DES SUBSTITUTIONS

Nous terminerons ce chapitre par un principe fondamental qui n’a rien à voir avec les inégalités mais que les inégalités illustrent efficacement. L’idée est toute simple — si une inégalité est vraie « pourTOUT x∈R» par exemple, vous pouvez y remplacer la variablexparN’IMPORTE QUEL RÉEL DE VOTRE CHOIX, cela vous conduira dans bien des cas vers de nouveaux résultats. Quelques exemples vaudront ici mieux qu’un long discours.

Exemple

• L’inégalité triangulaire comme point de départ : Pour tousx,y∈R: |x+y|¶|x|+|y|.

• Un premier rebondissement :x+ (−y)¶|x|+| −y|, donc :Appliquons l’inégalité triangulaire aux réels|x−y|¶|x|+|y|. Cette inégalité est un nouveau résultat.xet−ypour tousx,y∈R. Cela donne :

• Un deuxième rebondissement : Appliquons l’inégalité triangulaire aux réels x+yet−ypour tousx,y∈R. Cela donne : (x+y) + (−y)¶|x+y|+| −y|, donc : |x|¶|x+y|+|y|, puis : |x+y|¾|x| − |y|. Encore un nouveau résultat !

• Un rebondissement sur le deuxième rebondissement : Nous venons de montrer que : |x+y|¾|x| − |y| pour tous x,y∈R, mais donc également que : |y+x|¾|y| − |x|, ou encore : |x+y|¾|y| − |x|. Ainsi, le réel

|x+y|est supérieur ou égal aux deux nombresOPPOSÉS|x| − |y|et|y| − |x|, donc à la valeur absolue

|x| − |y| :

|x+y|¾|x| − |y|. Ces substitutions successives montrent que l’inégalité triangulaire porte en germe un peu plus qu’elle-même. En l’occurrence, pour tousx,y∈R: |x| − |y|¶|x+y|¶|x|+|y|. On appelle ce résultat l’inégalité triangulaire généralisée.

Exemple Sia,betcsont les longueurs des côtés d’un triangle quelconque, alors : pa+b−c+p

b+c−a+p

c+a−b¶p a+p

b+p c.

Démonstration La somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est toujours supérieure ou égale à la longueur de son troisième côté, donc : a+b¾ c, b+c¾ a et c+a¾ b. Conclusion : les racines carrées de l’inégalité sont bien définies.

Pour le reste, la preuve qui suit vous paraîtra forcément compliquée — vraiment trop compliquée — mais il ne faut pas s’imaginer que quelqu’un l’a trouvée comme ça d’un claquement de doigts. Il a fallu tenter des choses, échouer, recommencer, affiner. Je vous donne cet exemple seulement pour vous libérer un peu, vous montrer ce qu’on peut faire quand on ose se lancer sans être certain d’aboutir.

• Point de départ : €p x−p

yŠ2

¾0 pour tousx,y¾0, car le carré d’un réel est toujours positif ou nul.

Simplifions : 2p xp

y¶x+y, puis ajoutons x+y: €p x+p

yŠ2

=x+2p xp

y+y¶2(x+y).

Prenons alors la racine carrée : p x+p

y¶p 2p

x+y ♣.

• Nous allons à présent exploiter trois fois l’inégalité♣. Pour tousx,y,z¾0 : px+p

y¶p 2p

x+y, p y+p

z¶p 2p

y+z et p

z+p x¶p

2p z+x, donc par somme : 2€p

x+p y+p

zŠ

¶p 2€p

x+y+p

y+z+p z+xŠ

. Divisons enfin par 2 : px+p

y+p z¶

sx+y

2 +

sy+z

2 +

sz+x

2 ♠.

• Nous sommes enfin en mesure de conclure. De nouveau,a,betcsont les longueurs des côtés d’un triangle quelconque. Appliquons♠aux réels : x=a+b−c, y=b+c−a et z=c+a−b. On obtient

« directement » le résultat : pa+b−c+p

b+c−a+p

c+a−b ¶

vt(a+b−c) + (b+c−a)

| {z_p2 }

b

+

vt(b+c−a) + (c+a−b)

| {z_p2 }

c

+

vt(c+a−b) + (a+b−c)

| {z_p2 }

a