I Rotations autour de son extrémité

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10 : moment cinétique et forces centrales

Problème 1 : Pendules pesants

On étudie les mouvements de rotation autour d’un axe fixe d’une tige de massemde longueur`dont la masse est répartie uniformément.

Données :Accélération de la pesanteur 9,8 m·s⁻².

Son moment d’inertie par rapport à l’axe∆orthogonal à la tige et passant par son extrémitéO, notéJ∆vaut :

J_∆=m`²

3 . (1)

`

G ∆⁰ O ∆

I Rotations autour de son extrémité

Dans cette section, la tige est en rotation autour de son extrémitéOet n’est soumise qu’à la pesanteur, d’accélération#»g. On néglige en particulier tout frottement.

On désigne parθl’angle formé à un instant par la tige avec la verticale.

∆

#» g θ

I.1. Montrer que le système est conservatif et donner une expression de son énergie mécanique en fonction entre autres de l’angleθet de sa dérivée temporelledθ

dt.

I.2. L’angleθest initialement nul et on communique instantanément une vitesse angulaireθ˙0à la tige.

(a) Déterminer la valeur minimale de la vitesse angulaireθ˙0, notée ωminpour laquelle la tige peut effectuer un tour complet autour de l’axe∆.

(b) Pourθ˙0ωmin, établir l’expression de la périodeT0des petites oscillations de la tige.

(c) Calculer les valeurs deω_minetT0pour une tige de massem=150 g et de longueur`=30 cm.

I.3. On abandonne la tige immobile enθ=π/2. Déterminer l’expression de sa vitesse angulaire quand elle passe par sa position d’équilibre stable. Calculer sa valeur pour les paramètres de la question précé- dente.

II Rotation autour d’un point quelconque

La rotation de la tige s’effectue désormais autour d’un axe∆αsitué à une distanceα`de l’extrémitéO, avecα∈[0 ; 1].

II.1. En considérant la tige constituée de deux tiges dont l’une des extré- mités est sur l’axe∆α, déterminer la nouvelle expression du moment d’inertie autour de l’axe∆α, notéJ∆αen fonction dem , `etα.

∆ _α O

#» g

II.2. (a) Établir la nouvelle expression de la période des petites oscillations autour de la position d’équilibre stable.

(b) Calculer sa valeur pourα= 1/4;α= 1/2etα= 3/4et les paramètres physiques précédents.

II.3. La tige est abandonnée sans vitesse initiale de l’angleθ0quelconque.

(a) Établir l’expression de la périodeTα(θ0)de son mouvement sous forme d’une intégrale qu’on ne cherchera pas à résoudre explicitement.

(b) Montrer queTα(θ0)passe, àθ0fixé, par un extremum pour une valeur deαdont on donnera la valeur.

III Collisions

On reprend la configuration de la section I (l’angleαest nul). La tige, initialement au repos à sa position d’équilibre stable, est heurtée par un point matériel de massem0animé d’un vecteur vitesse initialv0e# »x

(v0 >0) horizontal, à une distancedde l’axe∆. La collision est sup- posée ponctuelle et instantanée. On désigne parve# »xle vecteur vitesse du point matériel immédiatement après la collision, toujours horizon- tal, et parωla vitesse de rotation de la tige immédiatement après la collision.

∆ v #»

d

#» g

On admet que :

• le moment cinétique total de l’ensemble du point matériel et de la tige par rapport à l’axe∆est conservé au cours de la collision,

• l’énergie cinétique totale de l’ensemble est également conservée.

III.1. (a) Établir deux expressions liantv0−vetωd’une part ;v₀²−v²etω²d’autre part.

(b) En déduire une expression dev+v0en fonction deω, puis celles devetωen fonction dev0et des paramètres du problème.

III.2. Déterminer à quelle condition le choc du point matériel sur la tige permet à celle-ci de faire un tour complet autour de l’axe∆. Calculer en particulier la vitesse minimale nécessaire si la massem0 est identique à la masse de la tige (on reprendra la valeur précédente dem=150 g).

III.3. Comparer la quantité de mouvement de l’ensemble de la tige et du point matériel avant et après le choc.

En déduire la distance optimale à laquelle on devrait frapper une balle de base-ball avec une batte (si celle-ci était uniforme) pour le confort du batteur.

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/3 2018–2019

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10 : moment cinétique et forces centrales

Problème 2 : Elsa spationaute

On étudie les modifications de l’orbite d’un astronefM considéré comme un point matériel autour d’un astre de centreOà symétrie sphérique.

Dans tout le problème on conduira l’étude dans le référentiel as- trocentrique considéré galiléen.

On notémla masse de l’astronef etmAcelle de l’astre.

Données : masse de la TerremT = 6,0·10²⁴kg ; rayon phy- sique de la terreRT = 6,4·10³km ; constante universelle de la gravitationG=6,672 34(14)·10⁻¹¹SI ; vitesse de la lumière

c=299 792 458 m·s⁻¹. O

r

e#»_x e#»_y

e#»_r e#»θ

#» θ e_z

M

I Généralités et paramètres orbitaux

On établit dans cette partie plusieurs résultats utiles dans le reste du problème. On rédigera rapidement les réponses à ces questions, proches du cours.

1. (a) Montrer que le moment cinétique deMpar rapport àO, notéσ# »/O(M)est conservé.

(b) En déduire que le mouvement deMautour deOest plan. On note par la suiteσla norme de

# » σ_/O(M).

2. On considère queMparcourt une orbite circulaire de rayonrautour deO.

(a) Montrer que le mouvement est uniforme et établir l’expression de sa vitesse en fonction deG, mA

etr.

(b) En déduire les expressions de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique en fonction uniquement dem , mA,Getr.

(c) En déduire l’expression du moment cinétiqueσen fonction dem , mA,Getr.

(d) Calculer le rayon et la vitesse pour une orbite géostationnaire, de périodeT =24 h.

(e) Calculer la périodeTISSet la vitessev_ISSpour l’orbite de la station spatiale internationale (abréviée ISS, d’altitudeh_ISS=3,8·10²km).

3. On ne se limite plus désormais aux orbites circulaires. On se place en coordonnées polaires(r , θ)de centreO.

(a) Montrer qu’on peut définir une énergie potentielle effective, notéeE_eff(r), qu’on exprimera en fonc- tion deσ,m,mT,retG, telle que l’énergie mécaniqueE_mvérifie à chaque instant :

E_m=E_eff(r) +1

2mr˙². (2)

(b) Tracer l’allure deE_eff(r)et en déduire la nature des mouvements (lié ou de diffusion) suivant les valeurs deEm.

(c) Déterminer la vitesse minimale que doit posséder l’astronef quand il se trouve à la distancerpour être dans un état de diffusion. On la nomme « vitesse de libération ».

(d) Dans le cas d’un état lié, rappeler la nature de la trajectoire et montrer que la distanceroscille entre deux valeurs minimale et maximale respectivement notéesrpetra. Illustrer sur la courbe précé- dente deE_effcomment déterminer les valeurs derpetrapour une valeur de l’énergie mécanique E_mdonnée.

(e) Établir l’expression de l’énergie mécanique dans un état lié en fonction deG,mT,m,rpetra. (f) Rappeler l’expression de la période sur une orbite caractérisée parrpetra.

II Libération

L’astronef est initialement en orbite circulaire de rayonr0.

1. (a) On modifie instantanément, au moyen de moteurs fusée, son vecteur vitesse d’une grandeur∆v.# » Quelle est la valeur minimale de sa norme, notée∆v0, pour que l’astronef soit dans un état de diffusion. On précisera les directions relatives de#»v et∆v# »au moment du changement.

(b) Calculer∆v0pour l’orbite de la station spatiale.

2. La station spatiale souhaite se placer sur une orbite circulaire de rayon double.

(a) Est-il possible de réaliser ce changement d’orbite en une seule opération comme celle présentée à la question1? Montrer qu’on peut en revanche y parvenir en :

• passant de l’orbite circulaire de rayonr_ISSà une orbite elliptique grâce à un changement de vitesse∆v# »1,

• passant de l’orbite elliptique à une orbite circulaire de rayon2r_ISSgrâce à un changement de vitesse∆v# »2.

On présentera les orbites et les lieux des changements de vitesse sur un schéma ainsi que les va- leurs minimales des normes∆v1et∆v2correspondantes.

(b) Quelle sera la durée minimale du transfert en deux étapes ? On donnera son expression et sa valeur.

3. (a) À partir de l’orbite circulaire de rayon2r_ISSl’astronef effectue une troisième manœuvre pour pas- ser en état de diffusion. Déterminer la valeur minimale de la norme∆v3du changement de vitesse

# »

∆v3nécessaire.

(b) Comparer∆v1+ ∆v2+ ∆v3à∆v0et commenter.

III Black hole sun, won’t you come ?

L’astronef est désormais initialement en orbite circulaire autour d’un trou noir de massemA. On traite son mouvement en mécanique classique en remplaçant l’énergie potentielle newtonnienne par l’énergie potentielle de Paczyński–WiitaE_{potP W} :

E_pot

P W=−Gm_Am r−rS

,

avecrSune constante caractéristique du trou noir nommée « rayon de Schwarzschild ».

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 2/3 2018–2019

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10 : moment cinétique et forces centrales

1. Le rayon de Schwarzschild est la distance à laquelle l’astronef doit se trouver de l’astre de massemA

pour que sa vitesse de libération, donnée par l’expression de la question3c, soit égale à la vitesse de la lumièrec. On considérera qu’un astre est un trou noir si son rayon est inférieur à son rayon de Schwarz- schild.

Calculer le rayon de Schwarzschild du trou noir supermassif au centre de la voie lactée (nommé Sagi- tariusA^?, abbrévié SgrA^?), de masse égale à 4 millions de masses solaires, soit 8·10³⁶kg.

2. (a) Déterminer l’expression de la vitesse et de la période sur une orbite circulaire autour d’un trou noir.

(b) Calculer la vitesse et la période pour une orbite circulaire autour de SgrA^?de rayonr=4·10⁷km.

3. (a) Établir l’expression de l’énergie potentielle effective correspondant à un astronef de moment ciné- tiqueσ0autour d’un trou noir de massemAet de rayon de SchwarzschildrSet tracer l’allure de sa courbe.

(b) En déduire l’équation définissant le rayonr0de l’orbite circulaire de moment cinétiqueσ0(on ne cherchera pas à la résoudre).

(c) Étudier le signe ded²E_{effP W}

dr² enr0. En déduire que les orbites circulaires ne sont stables que si elles sont au delà d’une distance minimale du trou noir. Calculer cette valeur pour SgrA^?.

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 3/3 2018–2019