I) Vecteurs dans l'espace

(1)

Chapitre n°15 Objectifs :

Niveau a eca n

C15.a ¹ Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.

C15.b ¹ Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.

Activité n°1

On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur est donc déﬁni par sa direction, son sens et sa norme, et les propriétés des vecteurs du plan sont aussi étendues aux vecteurs de l’espace (relation de Chasles, colinéarité, propriétés algébriques...)

On considère la ﬁgure ci-contre où ABCDEFGH est un cube et O est le centre du carré CGHD.

1) Citer trois vecteurs égaux.

…...

2) Exprimer le vecteur ⃗HO en fonction de ⃗HD et ⃗HG.

…...

3) Placer le point M déﬁni par ⃗EM = 1

3 ⃗EA+ 3 2 ⃗ED 4) Citer un plan contenant M.

…...

5) Placer le point N déﬁni par ⃗DN = 1

2 ⃗DB – 1 4 ⃗DA. 6) Citer un plan contenant le point N.

…...

(2)

plan déﬁni par trois points non alignés.

…...

...

Cours n°1

I) Vecteurs dans l'espace

Les propriétés vues dans le plan s'étendent sans exception à l'espace (colinéarité, etc.)

Définition n°1 : vecteurs colinéaires

Deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que

…...

Propriété n°1 : caractérisation vectorielle d'une droite

Soient A et B deux points de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des points

M de l'espace tels que ⃗ABet …... soient

…...

⃗AB est alors un v... d...

de (AB).

Exemple n°1

ABCDEFGH est un parallélépipède et K le point de l'espace tel que⃗BK = 1

3 ⃗BD+ 1

3 ^⃗^BE ^.

1. Démontrer que⃗AB+⃗AD+⃗AE =3⃗AK .

...

2. En utilisant le fait que ABCD et ACGE sont des parallélogrammes, et la relation précédente, démontrer que A, K et G sont alignés.

...

(3)

...

Définition n°2 : vecteurs coplanaires

Trois vecteurs ⃗u, ⃗v et w⃗ sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine A ont des extrémités B, C et D qui appartiennent …... que A.

Propriété n°2 : caractérisation vectorielle d'un plan

Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est

l'ensemble des points M de l'espace tels que ⃗AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques.

Démonstration

1) Si M appartient au plan (ABC), alors il vériﬁe la relation

⃗AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques : Les vecteurs ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires, donc (A ;⃗AB,⃗AC ) est un repère du plan (ABC).

...

2) Si M vériﬁe la relation ⃗AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques, alors M appartient au plan (ABC) :

On pose N tel que ⃗AN = α⃗AB.

...

Corollaire de la propriété n°2 :

Soient trois vecteurs ⃗u, ⃗v et w⃗ tels que ⃗u et ⃗v ne soient pas colinéaires.

Alors ⃗u, ⃗v et w⃗ sont coplanaires uniquement si il existe α et β tels que

…...

(4)

Exemple n°2

Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], E et F deux points déﬁnis par ⃗AE = 2 3

⃗AC et ⃗AF= 2

3 ⃗AD, G le point tel que BCGD est un parallélogramme.

1. Exprimer les vecteurs⃗IE ,⃗IF et⃗IG en fonction de⃗AB,⃗AC et⃗AD.

...

2. Prouver que I, E, G et F sont coplanaires.

...

Exercice n°1 Ex.17 p.245 Exercice n°2

Ex.20 p.245

Exercice n°3*

Ex.83 p.249

(5)

Cours n°2

II) Repérage dans l'espace

Propriété n°3

Si O est un point de l'espace et⃗i ,⃗j et⃗k trois vecteurs non coplanaires, alors, tout point M de l'espace vériﬁe⃗OM =x⃗i +y⃗j +z⃗k .

Démonstration (principe)

Existence :

On projette M sur le plan (O,⃗i ,⃗j ) parallèlement à⃗k . Unicité :

On montre que deux triplets (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') correspondants à⃗OM imposent x = x', y=y' et z=z' par unicité des coordonnées du vecteur nul.

Définition n°3 : abscisse, ordonnée et cote.

Soit O un point de l'espace et ⃗i ,⃗j et⃗k trois vecteurs non coplanaires. Soit M un point quelconque de l'espace.

Alors les nombres réels x, y, et z tel que⃗OM =x⃗i +y⃗j +z⃗k sont les coordonnées de M dans le repère (O,⃗i ,⃗j,⃗k ).

x s'appelle …..., y s'appelle …... et z s'appelle …...

Propriété n°4

coordonnées d'un vecteur – coordonnées du milieu – distance

Dans un repère (O,⃗i ,⃗j ,⃗k ) de l'espace, soient A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points quelconques,⃗u

(

^x^z^y

)

^et^⃗^v

(

^{x '}^{z '}^{y '}

)

deux vecteurs quelconques, et k un réel quelconque.

Alors

1)⃗AB a pour coordonnées

(

^...^...^...

)

2) ⃗u+⃗v a pour coordonnées

(

^...^...^...

)

3) k⃗u a pour coordonnées

(

^...^...^...

)

4) Le milieu de [AB] a pour coordonnées ( ...+...

... ^; ...+...

... ^).

5) La distance AB vaut

√

(...−...)²...

(6)

Exemple n°3

Soit un repère (O,⃗i ,⃗j,⃗k ) de l'espace. Les points A(1;2;0), B(-1;1;1), C(1;4;1) et D(3 ;-1;3) sont-ils coplanaires ?

...

Interrogation n°2 Objectifs :

C15.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non, à l'aide des vecteurs.

Exercice n°4

Ex.24 et 26 p.245 Exercice n°5

Ex.27 et 28 p.245 Exercice n°6

Ex.97 p.250 Exercice n°7

Ex.98 p.250

Exercice n°8 Ex.108 p.251 Exercice n°9

Ex.103 p.250 Exercice n°10

Ex.104 p.251

(7)

Activité d'approche n°2

Partie A

(O,⃗i ,⃗j,⃗k ) est un repère de l'espace, A et B sont deux points de coordonnées

respectives (4 ;-1;2) et (-1;2;2).

1. Calculer les coordonnées du vecteur⃗AB.

...

2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs⃗AB et⃗AM un point M appartient à la droite (AB).

...

3. En déduire un système de trois égalités de paramètre k qui 'caractérise' la droite (AB).

...

Partie B

C est un point de coordonnées (1;1;1).

1. Calculer les coordonnées du vecteur⃗AC .

...

(8)

...

2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs⃗AB,⃗AC et⃗AM un point M appartient au plan (ABC).

...

3. En déduire un système de trois égalités de paramètres k et k' qui 'caractérise' le plan (ABC).

...

Cours n°3

III) Représentation paramétrique de droites et de plans.

Propriété n°5 : représentation paramétrique d'une droite

Dans un repère (O,⃗i ,⃗j ,⃗k ) de l'espace, soit

la droite (d) passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur⃗u

(

^x^y^zûûû

)

^.

Alors M ( xM ; yM ; zM ) est un point de (d) si et seulement s'il existe un réel k tel que :

{

...=...

(9)

Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur⃗u

Démonstration (principe)

Voir activité n°2, en généralisant.

Exemple n°4

Déterminer la représentation paramétrique de la droite passant par A(-1;4;1) et B(2;3;0).

...

Propriété n°6 : représentation paramétrique du plan

Dans un repère (O,⃗i ,⃗j ,⃗k ) de l'espace, soit

le plan (P) passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs⃗u

(

^x^y^zûûû

)

^et^⃗^v

(

^x^y^z^v^v^v

)

^.

Alors M ( xM ; yM ; zM ) est un point de (P) si et seulement s'il existe deux réels k et k' tel que :

(10)

{

...=...

Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique du plan (P) passant par A et de vecteurs directeurs⃗u et⃗v .

Exemple n°5

Déterminer la représentation paramétrique du plan passant par A(-1;4;1), B(2;3;0) et C(1;3 ;-1).

...

...…

Exemple n°6

Étudier les positions relatives du plan (P) et de la droite (d), puis du plan (P) et de la droite (d'). On donnera leur intersection éventuelle.

Représentation paramétrique de (P) :

{

^x=1−2^y=−^z=3−t²⁺^t^{t−t '}⁺³^{t '} ^{avec t}^∈^{R et t'}^∈^R

Représentation paramétrique de (d) :

{

^x^y=5−2^z⁼²⁺⁴⁼¹⁺²^t^t^t ^{avec t}^∈^R

Représentation paramétrique de (d') :

{

^y^z=^x=⁼⁻¹⁺³⁴⁻^2+t^t^t ^{avec t}^∈^R

...

(11)

...

...

...

...

...

...

...

...

Interrogation n°3 Objectifs :

C15.b_Niv1 : Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.

Exercice n°11

Ex.31 p.245

Exercice n°12

Exercice n°13

Ex.36 p.245

Exercice n°14

(12)

Exercice n°15

Ex.124 p.252

Exercice n°16*

Sujet D p.259

Exercice n°17*

Sujet E p.260

Exercice n°18**

Ex.164 p.263

(13)

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.245) : 1.a. Les vecteurs ⃗AB, ⃗JK , ⃗BG, ⃗GB, ⃗AH et ⃗HA. 1.b. Les vecteurs ⃗JK , ⃗HA et ⃗GB. 2. ⃗AI = 1

2 ^⃗^AB⁺^⃗^AE^.

Ex. n°2 (Ex.20 p.245) : 1. ⃗AN = ⃗AB+ ⃗BN = ⃗AB + ⃗AC . 2. ⃗AM = ⃗AN + ⃗AD 3. A,N,M et D sont coplanaires.

Ex. n°3* (Ex.83 p.249) : 1.⃗BA + ⃗BD = 2⃗BK 2. ⃗BF – 2⃗BK =3 ⃗KJ 3. ⃗BF + ⃗BK = 3

⃗BJ , donc ⃗BK , ⃗BJ et ⃗BF sont coplanaires.

Ex. n°4 (Ex.24 et 26 p.245) : ex24 : ⃗AB(12 ;-2 ;-6) – ex26 : 1. ⃗AB(1;2;3) et ⃗AC (3;6;9) 2. ⃗AC =3 ⃗AB ...

Ex. n°5 (Ex.27 et 28 p.245) : ex27 : I(4 ;-2;2) ex28 : AB =

√

³^.

Ex. n°6 (Ex.97 p.250) : 1. L(3;3 ;-2) et K(4;5 ;-5). 2. ⃗GK (3;6 ;-9) et ⃗GL(2;4 ;-6)...

Ex. n°7 (Ex.98 p.250) : 1. E( 3 2 ^{; –}

7 2 ^;

9

2 ^{) et F(}

11 2 ^;

23 2 ^{; –}

21 2 ^{). 2.}

x_E+x_F

2 ⁼

7 2 ⁼ x_C+x_D

2 ^;

y_E+y_F

2 ⁼⁴⁼

y_C+y_D

2 ^et

z_E+z_F

2 ^{= -3 =}

z_C+z_D 2

Ex. n°8 (Ex.108 p.251) : 1.⃗u , ⃗v et w⃗ ne sont pas coplanaires. 2. ⃗t =2⃗u – 3⃗v + w⃗ . Ex. n°9 (Ex.103 p.250) : 1.⃗AB(2 ;-1 ;-1) et ⃗AC (1;4;1). ⃗AB et ⃗AC ne sont pas

colinéaires.

Ex. n°10 (Ex.104 p.251) : AB =

√

²⁶^{et AC =}

√

²⁶. 2. ABC est isocèle en A.

Ex. n°11 (Ex.31 p.245) :

{

^x^y=3+^z^=2−7t⁼⁻^1+t⁴^t t réel quelconque.

Ex. n°12 (Ex.34 p.245) : 1. ⃗u(2;3 ;-1) 2. A(5;8;2) 3. t=3 et B(7;11;1) Ex. n°13 (Ex.36 p.245) : 1. A(2;5;3) 2. yB = 0.

Ex. n°14 (Ex.120 p.251) : 1. ⃗AB(1;2;3) et ⃗AC (3;4;5) ne sont pas colinéaires. 2.

{

^y=1+^x=−^z=1+3¹⁺²^t^t^t⁺⁺⁺⁵³⁴^{t '}^{t '}^{t '} ^avec ^t^∈ℝ ^et ^{t '}^∈ℝ ^.

Ex. n°15 (Ex.124 p.252) : La droite (AB) et le plan sont sécants en Ω( 1 2 ^;2;0).

Ex. n°16* (Sujet D p.259) : 1.

{

^x=−^y=−2−3^z=−¹⁺²^1−t^t^t ^t^∈ℝ ^2.^⃗^u(-1;2;1) est un vecteur

directeur de Δ'. … Δ et Δ' ne sont pas coplanaires. 3.a. C, D et E déﬁnissent un plan car

⃗CD et ⃗CE ne sont pas …. 3.b. Résoudre ⃗AB = a ⃗CD+ b ⃗CE … 3.c. Δ est parallèle au plan p.

Ex. n°17* (Sujet E p.260) : 1.a.⃗u₁(1;3;0) et ⃗u₂(2;1 ;-1). 1.b. (d1) et (d2) ne sont pas coplanaires. 2.a. On pose ⃗v₁= ⃗A₁S . Les vecteurs ⃗u₁, ⃗v₁ et ⃗u₂ ne sont pas coplanaires, donc la droite (d2) est sécante au plan p1. 2.b. On pose ⃗v₂= ⃗A₂S .Les vecteurs ⃗u₁, ⃗v₂ et ⃗u₂ ne sont pas coplanaires, donc la droite (d1) est sécante au plan p2. 2.c. (R) doit être la droite d'intersection de p1 et p2.

Ex. n°18** (Ex.164 p.263) : 2.a.IKJL est un parallélogramme. 3.b. (AB) et (MK) sont parallèles.

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(15)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :