Chapitre n°15
Objectifs :
Niveau a eca n
C15.a 1 Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
C15.b 1 Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.
Cours n°1
I) Vecteurs dans l'espace
Les propriétés vues dans le plan s'étendent sans exception à l'espace (colinéarité, etc.)
Définition n°1 : vecteurs colinéaires
Deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que …...
Propriété n°1 : caractérisation vectorielle d'une droite
Soient A et B deux points de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace tels que ⃗ABet …... soient …...
⃗AB est alors un v... d... de (AB).
Exemple n°1
ABCDEFGH est un parallélépipède et K le point de l'espace tel que⃗BK = 1
3 ⃗BD+ 1 3
⃗BE.
1. Démontrer que⃗AB+⃗AD+⃗AE =3⃗AK .
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...…
2. En utilisant le fait que ABCD et ACGE sont des parallélogrammes, et la relation précédente, démontrer que A, K et G sont alignés.
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Définition n°2 : vecteurs coplanaires
Trois vecteurs ⃗u, ⃗v et w⃗ sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine A ont des extrémités B, C et D qui appartiennent
…... que A.
Propriété n°2 : caractérisation vectorielle d'un plan
Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est l'ensemble des points M de l'espace tels que ⃗AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques.
Démonstration
1) Si M appartient au plan (ABC), alors il vérifie la relation
⃗AM =..., α et β étant deux nombres réels quelconques : Les vecteurs ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires, donc (A ;⃗AB,⃗AC ) est un repère du plan (ABC).
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...2) Si M vérifie la relation ⃗AM =..., α
et β étant deux nombres réels quelconques, alors M appartient au plan (ABC) : On pose N tel que ⃗AN = α⃗AB.
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Corollaire de la propriété n°2 :
Soient trois vecteurs ⃗u , ⃗v et w⃗ tels que ⃗u et ⃗v ne soient pas colinéaires.
Alors ⃗u, ⃗v et w⃗ sont coplanaires uniquement si il existe α et β tels que
…...
Exemple n°2
Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], E et F deux points définis par ⃗AE= 2 3
⃗AC et ⃗AF= 2
3 ⃗AD, G le point tel que BCGD est un parallélogramme.
1. Exprimer les vecteurs⃗IE,⃗IF et⃗IG en fonction de⃗AB,⃗AC et⃗AD.
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...…
2. Prouver que I, E, G et F sont coplanaires.
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....…
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Interrogation n°1 Objectifs :
C15.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.
Exercice n°1 Ex.17 p.245 Exercice n°2
Ex.20 p.245
Exercice n°3*
Ex.83 p.249
Cours n°2
II) Repérage dans l'espace Propriété n°3
Si O est un point de l'espace et⃗i ,⃗j et⃗k trois vecteurs non coplanaires, alors, tout point M de l'espace vérifie⃗OM =x⃗i +y⃗j+z⃗k . (On parle d’une famille ⃗i ,⃗j,⃗k
génératrice de l’espace)
Démonstration (principe)
Existence : On projette M sur le plan (O,⃗i ,⃗j ) parallèlement à⃗k .
Unicité : On montre que deux triplets (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') correspondants à⃗OM imposent x = x', y=y' et z=z' par unicité des coordonnées du vecteur nul.
Définition n°3 : abscisse, ordonnée et cote.
Soit O un point de l'espace et ⃗i ,⃗j et⃗k trois vecteurs non coplanaires. Soit M un point quelconque de l'espace.
Alors les nombres réels x, y, et z tel que⃗OM =x⃗i +y⃗j+z⃗k sont les coordonnées de
M dans le repère (O,⃗i ,⃗j,⃗k ).
x s'appelle …..., y s'appelle …... et z s'appelle
…...
Propriété n°4
coordonnées d'un vecteur – coordonnées du milieu – distance
Dans un repère (O,⃗i ,⃗j ,⃗k ) de l'espace, soient A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB) deux points quelconques,⃗u
(
xzy)
et⃗v(
x 'z 'y ')
deux vecteurs quelconques, et k un réel quelconque.Alors
1)⃗AB a pour coordonnées
(
.........)
2) ⃗u +⃗v a pour coordonnées
(
.........)
3) k⃗u a pour coordonnées
(
.........)
4) Le milieu de [AB] a pour coordonnées ( ...+...
... ;...+...
... ; ...+...
... ).
5) La distance AB vaut
√
(...−...)2....Exemple n°3
Soit un repère (O,⃗i ,⃗j ,⃗k ) de l'espace. Les points A(1;2;0), B(-1;1;1), C(1;4;1) et
D(3 ;-1;3) sont-ils coplanaires ?
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Interrogation n°2 Objectifs :
C15.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non, à l'aide des vecteurs.
Exercice n°4 Ex.24 et 26 p.245 Exercice n°5
Ex.27 et 28 p.245 Exercice n°6
Ex.97 p.250 Exercice n°7
Ex.98 p.250 Exercice n°8
Ex.108 p.251 Exercice n°9
Ex.103 p.250 Exercice n°10
Ex.104 p.251
Activité d'approche n°2
Partie A
(O,⃗i ,⃗j ,⃗k ) est un repère de l'espace, A et B sont deux points de coordonnées respectives (4 ;-1;2) et (-1;2;2).
1. Calculer les coordonnées du vecteur⃗AB.
...
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...
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...
2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs⃗AB et⃗AM un point M appartient à la droite (AB).
...
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...
...
...
3. En déduire un système de trois égalités de paramètre k qui 'caractérise' la droite (AB).
...
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...
...
...
Partie B
C est un point de coordonnées (1;1;1). 1. Calculer les coordonnées du vecteur⃗AC .
...
...
...
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...
...
...…
2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs⃗AB,⃗AC et⃗AM un point M appartient au plan (ABC).
...
...
...
...
...
...
...
...…
3. En déduire un système de trois égalités de paramètres k et k' qui 'caractérise' le plan (ABC).
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°3
III) Représentation paramétrique de droites et de plans.
Propriété n°5 : représentation paramétrique d'une droite
Dans un repère (O,⃗i ,⃗j,⃗k ) de l'espace, soit
la droite (d) passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur⃗u
(
xyzuuu)
.Alors M ( xM ; yM ; zM ) est un point de (d) si et seulement s'il existe un réel k tel que :
{
...=......=...
...=...
Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique de la droite
(d) passant par A et de vecteur directeur⃗u Démonstration (principe)
Voir activité n°2, en généralisant.
Exemple n°4
Déterminer la représentation paramétrique de la droite passant par A(-1;4;1) et
B(2;3;0).
... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
... . ... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
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...
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...
...
Propriété n°6 : représentation paramétrique du plan
Dans un repère (O,⃗i ,⃗j,⃗k ) de l'espace, soit
le plan (P) passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs⃗u
(
xyzuuu)
et⃗v(
xyzvvv)
.Alors M ( xM ; yM ; zM ) est un point de (P) si et seulement s'il existe deux réels k et k' tel que :
{
...=......=...
...=...
Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique du plan (P)
passant par A et de vecteurs directeurs⃗uet⃗v.
Exemple n°5
Déterminer la représentation paramétrique du plan passant par A(-1;4;1),B(2;3;0) et
C(1;3 ;-1).
...
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...
...
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...
...
...
...
...
...
...…
Exemple n°6
Étudier les positions relatives du plan (P) et de la droite (d), puis du plan (P) et de la droite (d'). On donnera leur intersection éventuelle.
Représentation paramétrique de (P) :
{
x=1−2y=−z=3−2+tt−t '+t3t ' avec t ∈ R et t' ∈ RReprésentation paramétrique de (d) :
{
xy=5−2z=2+=1+24ttt avec t ∈ RReprésentation paramétrique de (d') :
{
yz=x==−1+34−2+ttt avec t ∈ R...
...
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Interrogation n°3 Objectifs :
C15.b_Niv1 : Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.
Exercice n°11
Ex.31 p.245
Exercice n°12
Ex.34 p.245
Exercice n°13
Ex.36 p.245
Exercice n°14
Ex.120 p.251
Exercice n°15
Ex.124 p.252
Exercice n°16*
Sujet D p.259
Exercice n°17*
Sujet E p.260
Exercice n°18**
Ex.164 p.263
Indices et résultats
Ex. n°1 (Ex.17 p.245) : 1.a. Les vecteurs ⃗AB, ⃗JK , ⃗BG, ⃗GB, ⃗AH et ⃗HA. 1.b. Les vecteurs ⃗JK , ⃗HA et ⃗GB. 2. ⃗AI = 1
2 ⃗AB+ ⃗AE .
Ex. n°2 (Ex.20 p.245) : 1. ⃗AN = ⃗AB+ ⃗BN = ⃗AB + ⃗AC . 2. ⃗AM = ⃗AN + ⃗AD 3.
A,N,M et D sont coplanaires.
Ex. n°3* (Ex.83 p.249) : 1.⃗BA + ⃗BD = 2⃗BK 2. ⃗BF – 2⃗BK =3 ⃗KJ 3. ⃗BF + ⃗BK = 3 ⃗BJ , donc ⃗BK , ⃗BJ et ⃗BF sont coplanaires.
Ex. n°4 (Ex.24 et 26 p.245) : ex24 : ⃗AB(12 ;-2 ;-6) – ex26 :1. ⃗AB(1;2;3) et ⃗AC (3;6;9) 2. ⃗AC =3 ⃗AB ...
Ex. n°5 (Ex.27 et 28 p.245) : ex27 : I(4 ;-2;2) ex28 : AB =
√
3.Ex. n°6 (Ex.97 p.250) : 1. L(3;3 ;-2) et K(4;5 ;-5). 2. ⃗GK (3;6 ;-9) et ⃗GL(2;4 ;-6)...
Ex. n°7 (Ex.98 p.250) : 1. E( 3
2 ; – 7 2 ; 9
2 ) et F( 11 2 ; 23
2 ; – 21
2 ). 2. xE+xF
2 = 7
2 = xC+xD
2 ; yE+yF
2 =4= yC+yD
2 et
zE+zF
2 = -3 = zC+zD 2
Ex. n°8 (Ex.108 p.251) : 1.⃗u , ⃗v et w⃗ ne sont pas coplanaires. 2. ⃗t =2⃗u – 3⃗v + w⃗ .
Ex. n°9 (Ex.103 p.250) : 1.⃗AB(2 ;-1 ;-1) et ⃗AC (1;4;1). ⃗AB et ⃗AC ne sont pas colinéaires.
Ex. n°10 (Ex.104 p.251) : AB =
√
26 et AC =√
26. 2. ABC est isocèle en A. Ex. n°11 (Ex.31 p.245) :{
x=−y=3+z=2−71+t4tt t réel quelconque.Ex. n°12 (Ex.34 p.245) : 1. ⃗u(2;3 ;-1) 2. A(5;8;2) 3. t=3 et B(7;11;1)
Ex. n°13 (Ex.36 p.245) : 1. A(2;5;3) 2. yB = 0.
Ex. n°14 (Ex.120 p.251) : 1. ⃗AB(1;2;3) et ⃗AC (3;4;5) ne sont pas colinéaires. 2.
{
x=−y=1+z=1+1+t32tt+5+3+4t 't 't ' avec t∈ℝ et t '∈ℝ.Ex. n°15 (Ex.124 p.252) : La droite (AB) et le plan sont sécants en Ω( 1 2 ;2;0).
Ex. n°16* (Sujet D p.259) : 1.
{
x=−y=−2−z=−1+21−3ttt t∈ℝ 2. ⃗u(-1;2;1) est un vecteur directeur de Δ'. … Δ et Δ' ne sont pas coplanaires. 3.a. C, D et E définissent un plan car ⃗CD et⃗CE ne sont pas …. 3.b. Résoudre ⃗AB = a ⃗CD+ b ⃗CE… 3.c. Δ est parallèle au plan p.
Ex. n°17* (Sujet E p.260) : 1.a.⃗u1(1;3;0) et ⃗u2(2;1 ;-1). 1.b. (d1) et (d2) ne sont pas coplanaires. 2.a. On pose ⃗v1= ⃗A1S . Les vecteurs ⃗u1, ⃗v1 et ⃗u2 ne sont pas
coplanaires, donc la droite (d2) est sécante au plan p1. 2.b. On pose ⃗v2= ⃗A2S .Les vecteurs ⃗u1, ⃗v2 et ⃗u2 ne sont pas coplanaires, donc la droite (d1) est sécante au plan p2. 2.c. (R) doit être la droite d'intersection de p1 et p2.
Ex. n°18** (Ex.164 p.263) : 2.a.IKJL est un parallélogramme. 3.b. (AB) et (MK) sont parallèles.
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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