Chapitre n°15

(1)

Chapitre n°15

Objectifs :

Niveau a eca n

C15.a 1 Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.

C15.b 1 Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.

Activité n°1

On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur est donc déﬁni par sa direction, son sens et sa norme, et les propriétés des

vecteurs du plan sont aussi étendues aux vecteurs de l’espace (relation de Chasles, colinéarité, propriétés algébriques...)

On considère la figure ci-contre où ABCDEFGH est un cube et

O

est le centre du carré

CGHD

.

1) Citer trois vecteurs égaux.

…...

2) Exprimer le vecteur

⃗ HO

en fonction de

⃗ HD

et

⃗ HG

.

…...

3) Placer le point

M

défini par

⃗ EM = 1

3 ⃗ EA + 3 2 ⃗ ED

4) Citer un plan contenant

M

.

…...

5) Placer le point

N

défini par

⃗ DN = 1

2 ⃗ DB – 1 4 ⃗ DA

. 6) Citer un plan contenant le point

N

.

…...

7) Conjecturer une caractérisation vectorielle de l'appartenance d'un point à un plan

(2)

défini par trois points non alignés.

…...

...

Cours n°1

I) Vecteurs dans l'espace

Les propriétés vues dans le plan s'étendent sans exception à l'espace (colinéarité, etc.)

Définition n°1 : vecteurs colinéaires

Deux vecteurs

⃗ u

et

⃗ v

sont colinéaires s'il existe un réel

k

tel que …...

Propriété n°1 : caractérisation vectorielle d'une droite

Soient

A

et

B

deux points de l'espace. La droite

(AB)

est l'ensemble des points

M

de l'espace tels que

⃗ AB

et …... soient …...

⃗ AB

est alors un v... d... de

(AB)

.

Exemple n°1

ABCDEFGH

est un parallélépipède et

K

le point de l'espace tel que

⃗ BK = 1

3 ⃗ BD + 1

⃗ BE

.

3

1. Démontrer que

⃗ AB + ⃗ AD + ⃗ AE =3 ⃗ AK

.

...

...…

2. En utilisant le fait que

ABCD

et

ACGE

sont des parallélogrammes, et la relation précédente, démontrer que

A

,

K

et

G

sont alignés.

... ...

...

(3)

Définition n°2 : vecteurs coplanaires

Trois vecteurs

⃗ u

,

⃗ v

et

⃗ w

sont coplanaires si et seulement si leurs représentants de même origine

A

ont des extrémités

B

,

C

et

D

qui appartiennent

…... que

A. Propriété n°2 : caractérisation vectorielle d'un plan

Soient

A

,

B

et

C

trois points non alignés de l'espace. Le plan

(ABC)

est l'ensemble des points

M

de l'espace tels que

⃗ AM =...

,

α

et

β

étant deux nombres réels quelconques.

Démonstration

1) Si

M

appartient au plan

(ABC)

, alors il vérifie la relation

⃗ AM =...

,

α

et

β

étant deux nombres réels quelconques : Les vecteurs

⃗ AB

^et

⃗ AC

ne sont pas colinéaires, donc

(A

;

⃗ AB

^,

⃗ AC )

est un repère du plan

(ABC).

...

...2) Si

M

vérifie la relation

⃗ AM

=...

,

α

et

β

étant deux nombres réels quelconques, alors

M

appartient au plan

(ABC)

: On pose

N

tel que

⃗ AN = α ⃗ AB

.

...

Corollaire de la propriété n°2 :

Soient trois vecteurs

⃗ u

,

⃗ v

et

w ⃗

tels que

⃗ u

et

⃗ v

ne soient pas colinéaires.

Alors

⃗ u

,

⃗ v

et

w ⃗

sont coplanaires uniquement si il existe

α

et

β

tels que

…...

Exemple n°2

(4)

Soit

ABCD

un tétraèdre,

I

le milieu de

[AB], E

et

F

deux points définis par

⃗ AE = 2 3

^et

⃗ AF = 2

3 ⃗ AD

,

G

le point tel que

BCGD

est un parallélogramme.

1. Exprimer les vecteurs

⃗ IE

,

⃗ IF

et

⃗ IG

en fonction de

⃗ AB

,

⃗ AC

et

⃗ AD

.

...

...…

2. Prouver que

I

,

E

,

G

et

F

sont coplanaires.

...

....…

Interrogation C15_1 (/5)

Objectifs :

Niveau a eca n

Ex.1

Soit

ABCD

un tétraèdre,

I

le milieu de

[AB], E

et

F

deux points définis par

⃗ AE = 1 2 ⃗ AC

et

⃗ AF = 1

4 ⃗ AD

,

G

le point tel que

BCGD

est un parallélogramme.

1.^[2] Exprimer les vecteurs

⃗ IE

,

⃗ IF

et

⃗ IG

en fonction de

⃗ AB

,

⃗ AC

et

⃗ AD

.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

...

...…

2.^[3]

I

,

E

,

G

et

F

sont-ils coplanaires ?

...

... ...

...

(10)

...

(11)

Indices et résultats

Voir exemple du cours.

Interrogation n°1 Objectifs :

C15.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non.

Exercice n°1 Ex.17 p.245 Exercice n°2

Ex.20 p.245

Exercice n°3*

Ex.83 p.249

(12)

Cours n°2

II) Repérage dans l'espace Propriété n°3

Si

O

est un point de l'espace et

⃗ i

,

⃗ j

et

⃗ k

trois vecteurs non coplanaires, alors, tout point

M

de l'espace vérifie

⃗ OM =x ⃗ i +y ⃗ j +z ⃗ k

. (On parle d’une famille

⃗ i

,

⃗ j , ⃗ k

génératrice de l’espace)

Démonstration (principe)

Existence : On projette

M

sur le plan

(O, ⃗ i , ⃗ j )

parallèlement à

⃗ k

.

Unicité : On montre que deux triplets

(x ; y ; z)

et

(x' ; y' ; z')

correspondants à

⃗ OM

imposent

x = x'

,

y=y'

et

z=z'

par unicité des coordonnées du vecteur nul.

Définition n°3 : abscisse, ordonnée et cote.

Soit

O

un point de l'espace et

⃗ i

,

⃗ j

et

⃗ k

trois vecteurs non coplanaires. Soit

M

un point quelconque de l'espace.

Alors les nombres réels

x

,

y

, et

z

tel que

⃗ OM =x ⃗ i +y ⃗ j +z ⃗ k

sont les coordonnées de

M

dans le repère

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

.

x

s'appelle …...,

y

s'appelle …... et

z

s'appelle

…...

Propriété n°4

coordonnées d'un vecteur – coordonnées du milieu – distance

Dans un repère

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

de l'espace, soient

A(x

A

;y

A

;z

A

)

et

B(x

B

;y

B

;z

B

)

deux points quelconques,

⃗ u ( ^x ^y ^z )

^et

^⃗ ^v ( ^{x '} ^{y '} ^{z '} )

deux vecteurs quelconques, et

k

un réel quelconque.

Alors

1)

⃗ AB

a pour coordonnées

( ^... ^... ^... )

2)

⃗ u + ⃗ v

a pour coordonnées

( ^... ^... ^... )

3)

k ⃗ u

a pour coordonnées

( ^... ^... ^... )

4) Le milieu de

[AB]

a pour coordonnées

( ... + ...

... ; ... + ...

... ).

5) La distance

AB

vaut

√ ⁽ ...−... )

²

...

.

Exemple n°3

(13)

Soit un repère

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

de l'espace. Les points

A(1;2;0)

,

B(-1;1;1)

,

C(1;4;1)

et

D(3 ;- 1;3)

sont-ils coplanaires ?

...

Se tester n°2 - C15_2 (/5)

Objectifs :

Niveau a eca n

Ex.1

Soit un repère

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

de l'espace. Les points

A(1;2;0)

,

B(-1;1;1)

,

C(1;4;1)

et

D(8;8; -4,25)

sont-ils coplanaires ? [vect:2;resol:2;c:1]

...

(14)

...

...…

C15.a_Niv1 : Savoir déterminer si des points sont coplanaires ou non, à l'aide des vecteurs.

Exercice n°4 Ex.24 et 26 p.245 Exercice n°5

Ex.27 et 28 p.245 Exercice n°6

Ex.97 p.250 Exercice n°7

Ex.104 p.251

Activité d'approche n°2

Partie A

(15)

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

est un repère de l'espace,

A

et

B

sont deux points de coordonnées respectives

(4 ;-1;2)

et

(-1;2;2)

.

1. Calculer les coordonnées du vecteur

⃗ AB

.

...

2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs

⃗ AB

et

⃗ AM

un point

M

appartient à la droite

(AB)

.

...

3. En déduire un système de trois égalités de paramètre

k

qui 'caractérise' la droite

(AB)

.

...

Partie B

C

est un point de coordonnées

(1;1;1)

. 1. Calculer les coordonnées du vecteur

⃗ AC

.

...

...…

(16)

2. Rappeler à quelle condition sur les vecteurs

⃗ AB

,

⃗ AC

et

⃗ AM

un point

M

appartient au plan

(ABC)

.

...

...…

3. En déduire un système de trois égalités de paramètres

k

et

k'

qui 'caractérise' le plan

(ABC)

.

...

Cours n°3

III) Représentation paramétrique de droites et de plans.

Propriété n°5 : représentation paramétrique d'une droite

Dans un repère

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

de l'espace, soit

la droite

(d)

passant par

A (x

A

; y

A

; z

A

)

et de vecteur directeur

⃗ u ( ^x ^y ^z

ûûû

)

^.

Alors

M ( x

M

; y

M ;

z

M

)

est un point de

(d)

si et seulement s'il existe un réel

k

tel que :

{ ...=...

... = ...

...=...

Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique de la droite

(d)

passant par

A

et de vecteur directeur

⃗ u

Démonstration (principe)

(17)

Voir activité n°2, en généralisant.

Exemple n°4

Déterminer la représentation paramétrique de la droite passant par

A(-1;4;1)

et

B(2;3;0)

.

... ...

...

... . ... ...

... ...

...

Propriété n°6 : représentation paramétrique du plan

Dans un repère

(O, ⃗ i , ⃗ j , ⃗ k )

de l'espace, soit

le plan

(P)

passant par

A (x

A

; y

A

; z

A

)

et de vecteurs directeurs

⃗ u ( ^x ^y ^z

ûûû

)

^et

^⃗ ^v ( ^x ^y ^z

^v^v^v

)

^.

Alors

M ( x

M

; y

M ;

z

M

)

est un point de

(P)

si et seulement s'il existe deux réels

k

et

k'

tel que :

{ ...=...

...=...

Ce système d'équations s'appelle une représentation paramétrique du plan

(P)

passant par

A

et de vecteurs directeurs

⃗ u

et

⃗ v

.

Exemple n°5

(18)

Déterminer la représentation paramétrique du plan passant par

A(-1;4;1), B(2;3;0)

et

C(1;3 ;-1)

.

...

...…

Exemple n°6

Étudier les positions relatives du plan

(P)

et de la droite

(d)

, puis du plan

(P)

et de la droite

(d')

. On donnera leur intersection éventuelle.

Représentation paramétrique de

(P) :

{ ^x=1−2 ^y=−2+ ^z ⁼ ³ ⁻ ^t ^t− ⁺³ ^t ^{t '} ^{t '} ^{avec t} ^∈

^R

^{et t'} ^∈ ^R

(d)

:

{ ^y ^x ^z=1+ ⁼ ⁼ ⁵ ² ⁻ ⁺ ² ⁴ ^2t ^t ^t ^{avec t} ^∈ ^R

(d')

:

{ ^y ^z ^x ⁼⁻ ⁼ ⁼ ¹ ⁴ ⁺ ² ⁻ ³ ⁺ ^t ^t ^t ^{avec t} ^∈ ^R

...

(19)

...

Se tester n°3 - C15_3 (/8)

Objectifs :

Niveau a eca n

C15.b 1 Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.

(20)

(21)

Ex.1

1) [2:v:1;s:1] Déterminer la représentation paramétrique de la droite

(d)

passant par :

A(-1;4;1)

et

B(5;2;6)

.

...

2) [3:v:2;s:1] Déterminer la représentation paramétrique du plan

(P)

passant par :

C(-2;3;1), D(3;9;0)

et

E(3;8 ;-9)

.

...

3) [3] Déterminer, s'il existe, le point d'intersection de

(d)

et

(P).

...…

...

(22)

...

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

C15.b_Niv1 : Savoir déterminer les représentations paramétriques d'une droite ou d'un plan, et leur positions relatives.

Exercice n°11

Ex.31 p.245

Exercice n°12

Ex.34 p.245

Exercice n°13

Ex.36 p.245

Exercice n°14

Ex.120 p.251

Exercice n°15

Ex.124 p.252

Exercice n°16*

Sujet D p.259

Exercice n°17*

Sujet E p.260

Exercice n°18**

Ex.164 p.263

(30)

(31)

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.245) : 1.a. Les vecteurs

⃗ AB , ⃗ JK , ⃗ BG , ⃗ GB , ⃗ AH

^et

⃗ HA

. 1.b. Les vecteurs

⃗ JK , ⃗ HA

et

⃗ GB

. 2.

⃗ AI = 1

2 ⃗ AB + ⃗ AE

.

Ex. n°2 (Ex.20 p.245) : 1.

⃗ AN = ⃗ AB + ⃗ BN = ⃗ AB + ⃗ AC

^{. 2.}

⃗ AM = ⃗ AN + ⃗ AD

^3.

A,N,M

et

D

sont coplanaires.

Ex. n°3* (Ex.83 p.249) : 1.

⃗ BA + ⃗ BD = 2 ⃗ BK

2.

⃗ BF – 2 ⃗ BK =3 ⃗ KJ

3.

⃗ BF + ⃗ BK = 3

⃗ BJ

, donc

⃗ BK , ⃗ BJ

et

⃗ BF

sont coplanaires.

Ex. n°4 (Ex.24 et 26 p.245) : ex24 :

⃗ AB (12 ;-2 ;-6) –

ex26 :1.

⃗ AB (1;2;3)

et

⃗ AC (3;6;9)

2.

⃗ AC =3 ⃗ AB

...

Ex. n°5 (Ex.27 et 28 p.245) : ex27 :

I(4 ;-2;2)

ex28 :

AB = √ ³

^.

Ex. n°6 (Ex.97 p.250) : 1.

L(3;3 ;-2)

et

K(4;5 ;-5).

2.

⃗ GK (3;6 ;-9)

et

⃗ GL (2;4 ;-6)

...

Ex. n°7 (Ex.98 p.250) : 1.

E( 3

2 ; – 7 2 ; 9

2 )

et

F( 11 2 ; 23

2 ; – 21

2 ).

2.

x

_E

+ x

_F

2 = 7

2 = x

_C

+ x

_D

2 ; y

_E

+ y

_F

2 =4= y

_C

+ y

_D

2

^et

z

_E

+ z

_F

2 = -3 = z

_C

+ z

_D

2

Ex. n°8 (Ex.108 p.251) : 1.

⃗ u

,

⃗ v

et

⃗ w

ne sont pas coplanaires. 2.

⃗ t =2 ⃗ u – 3 ⃗ v + w ⃗

. Ex. n°9 (Ex.103 p.250) : 1.

⃗ AB (2 ;-1 ;-1)

et

⃗ AC (1;4;1). ⃗ AB

et

⃗ AC

ne sont pas colinéaires.

Ex. n°10 (Ex.104 p.251) :

AB = √ ²⁶

^et

^{AC =} √ ²⁶

^{. 2.}

^ABC

est isocèle en

A

. Ex. n°11 (Ex.31 p.245) :

{ ^x=−1+t ^z=2−7 ^y ⁼ ³ ⁺ ⁴ ^t ^t ^t

réel quelconque.

Ex. n°12 (Ex.34 p.245) : 1.

⃗ u (2;3 ;-1)

2.

A(5;8;2)

3.

t=3

et

B(7;11;1)

Ex. n°13 (Ex.36 p.245) : 1.

A(2;5;3)

2.

y

B

= 0.

Ex. n°14 (Ex.120 p.251) : 1.

⃗ AB (1;2;3)

et

⃗ AC (3;4;5)

ne sont pas colinéaires. 2.

{ ^x=−1+t ^y=1+ ^z=1+3 ² ^t ^t ⁺ ⁺⁵ ⁺³ ⁴ ^{t '} ^{t '} ^{t '}

^avec

^t ^∈ℝ

^et

^{t '} ^∈ℝ

^.

Ex. n°15 (Ex.124 p.252) : La droite

(AB)

et le plan sont sécants en

Ω( 1 2 ;2;0)

.

Ex. n°16* (Sujet D p.259) : 1.

{ ^x=−1+ ^y=−2−3 ^z ⁼⁻ ¹ ⁻ ² ^t ^t ^t ^t ^∈ℝ

^2.

^⃗ ^u ^(-1;2;1)

est un vecteur directeur de

Δ'

. …

Δ

et

Δ'

ne sont pas coplanaires. 3.a.

C

,

D

et

E

définissent un plan car

⃗ CD

et

⃗ CE

ne sont pas …. 3.b. Résoudre

⃗ AB = a ⃗ CD + b ⃗ CE

… 3.c.

Δ

est parallèle au plan p.

Ex. n°17* (Sujet E p.260) : 1.a.

⃗ u

₁

(1;3;0)

et

⃗ u

₂

(2;1 ;-1)

. 1.b.

(d

1

)

et

(d

2

)

ne sont pas coplanaires. 2.a. On pose

⃗ v

₁

= ⃗ A

₁

S

. Les vecteurs

⃗ u

₁ ,

⃗ v

₁ et

⃗ u

₂ ne sont pas

coplanaires, donc la droite

(d

2

)

est sécante au plan p1. 2.b. On pose

⃗ v

₂

= ⃗ A

₂

S

.Les

(32)

vecteurs

⃗ u

₁ ,

⃗ v

₂ et

⃗ u

₂ ne sont pas coplanaires, donc la droite

(d

1

)

est sécante au plan p2. 2.c.

(R)

doit être la droite d'intersection de

p

1 et

p

2.

Ex. n°18** (Ex.164 p.263) : 2.a.

IKJL

est un parallélogramme. 3.b.

(AB)

et

(MK)

sont parallèles.

(33)

(34)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

(35)

On considère la courbe _C d’équation y=e^x, tracée ci-dessous.

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

−1

−2 1 2 3 4 5

0 1

C

Pour tout réel m strictement positif, on note _D_m la droite d’équation y=mx.

1. Dans cette question, on choisit m=e.

Démontrer que la droite _De, d’équation y =ex, est tangente à la courbe _C en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe _C et de la droite _D_m.

3. Démontrer cette conjecture.

(36)

1 2

−1

−2

−3

−4

−5

−1

−2 1 2 3

0 1 2

0 1 2 3

Pour tout réel m strictement positif, on note Dm la droite d’équation y=mx.

1. Une équation de la tangente à la courbe _C en son point d’abscisse 1 est donné par

y=e¹(x−1)+e¹ ⇐⇒ y=ex.

La droite _D_e: y=ex est donc tangente à la courbe _C en son point d’abscisse 1.

2. On conjecture que :

• Sim<e il n’y a aucun point d’intersection.

• Sim=e il y a un point d’intersection.

• Sim>e il y a deux points d’intersection.

3. Première solution

Le point M de coordonnées(x, y)est un point d’intersection de_C et de_D_m si et seulement si

e^x=mx ⇐⇒ e^x−mx=0.

Posons f(x)=e^x−mx, alors

e^x=mx ⇐⇒ f(x)=0.

Étudions cette fonction f, il vient :

• f^′(x)=e^x−m

• lim

x→−∞f(x)= +∞car lim

x→−∞e^x=0 et lim

x→−∞−mx= +∞car m>0

• f(x)=x (e^x

x −m )

, or lim

x→+∞

e^x

x = +∞, donc lim

x→+∞f(x)= +∞

• f^′(x)>0 ⇐⇒ e^x>m ⇐⇒ x>ln(m)

• f (ln(m))=m−mln(m)=m(1−ln(m)) D’où le tableau de variations

x −∞ lnm +∞

g^′(x) −−− 0 +++

+∞ +∞

g(x)

m(1−lnm)