et M ∈ M n (K) . On introduit quelques dénitions.

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Problème 1

Soit n ∈ N

et M ∈ M n (K) . On introduit quelques dénitions.

Une colonne propre pour M est une matrice colonne C non nulle de M n,1 (K) pour laquelle il existe λ ∈ K tel que M C = λC . Ce λ est appelé la valeur propre de C . Une ligne propre pour M est une matrice ligne L non nulle de M 1,n (K) pour laquelle

il existe λ ∈ K tel que LM = λL . Ce λ est appelé la valeur propre de L .

On dit que M est c-diagonalisable si et seulement si il existe dans M _n,1 (K) une base de colonnes propres pour M .

On dit que M est l-diagonalisable si et seulement si il existe dans M 1,n (K) une base de lignes propres pour M .

On admet que si (C 1 , · · · , C n ) est une base de M n,1 (K) et (L 1 , · · · , L n ) une base de M 1,n (K) alors la famille des C i L j pour i et j entre 1 et n forme une base de M n (K) .

1. On suppose que M est c-diagonalisable avec une base (C 1 , · · · , C n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont µ 1 , · · · , µ n . On note P ∈ M n (K) la matrice dont la colonne j est C j pour tous les j entre 1 et n . Montrer que P

M P est la matrice diagonale avec les µ 1 , · · · , µ n sur la diagonale. En déduire que det M = µ 1 · · · µ n . 2. On suppose que M est l-diagonalisable avec une base (L 1 , · · · , L n ) de colonnes propres

dont les valeurs propres sont µ

₁ , · · · , µ

_n . Montrer que det M = µ

₁ · · · µ

_n .

3. Soit A ∈ M n (K) c-diagonalisable avec une base (C 1 , · · · , C n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont α ₁ , · · · , α _n . On dénit δ ∈ L(M n (K)) par :

∀X ∈ M n (K), δ(X) = AX

a. Soit L ∈ M 1,n (K) . Pour i entre 1 et n , calculer δ(C i L) .

b. Calculer det δ en fonction de det A en formant la matrice de δ dans une base bien choisie.

4. Soit A ∈ M _n (K) c-diagonalisable avec une base (C ₁ , · · · , C _n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont α ₁ , · · · , α _n et B ∈ M _n (K) l-diagonalisable avec une base (L ₁ , · · · , L _n ) de lignes propres dont les valeurs propres sont β ₁ , · · · , β _n . On dénit λ ∈ L(M n (K)) par :

∀X ∈ M n (K), λ(X) = AX + XB Exprimer det(λ) à l'aide des α _i et des β _j .

Problème 2

Dans ce problème

, n désigne un entier naturel. Pour toute matrice A ∈ M n ( R ) , le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P _A ) est le polynôme associé à la fonction x → det(xI _n − A) de R dans R.

Partie I. Coecients du polynôme caractéristique

1. Calculer les polynômes caractéristiques des matrices suivantes :









0 0 0 −a 1 0 0 −b 0 1 0 −c 0 0 1 −d







 ,





0 a b

−a 0 c

−b −c 0





2. Soit A ∈ M n ( R ) , préciser le degré de P A , son coecient dominant, le coecient du terme de degré n − 1 et le coecient du terme de degré 0.

3. Pour i entre 1 et n , on note X i ∈ M n,1 ( R ) la colonne dont tous les coecients sont nuls sauf celui d'indice i qui vaut 1.

a. Montrer que pour B ∈ M n ( R ) et h réel, le coecient de h dans le développement de det(hI n + B) est tr( ^t Com B) .

b. En déduire le coecient du terme de degré 1 dans P _A .

Partie II. Théorème de Cayley-Hamilton

Dans cette partie et la suivante, A ∈ M _n ( R ) est xée et on note P au lieu de P _A avec P = P A = X ⁿ + a 1 X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² + · · · + a n−1 X + a n et a 0 = 1

On dénit aussi, pour tout x réel, la matrice C(x) par C(x) = ^t Com(xI n − A)

1. Soit B ₀ , B ₁ , · · · , B _n des matrices dans M _n ( R ) telles que, pour une innité de x réels, B 0 + xB 1 + · · · + x ⁿ B n = 0

(

)

Montrer que B 0 , B 1 , · · · , B n sont nulles. En déduire un principe d'identication à for- muler clairement.

1

d'après Ec Sup d'Ingénieurs de Marseille Math 2 M 1990

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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2. Montrer qu'il existe des matrices C 0 , C 1 , · · · , C n−1 ∈ M n ( R ) telles que C(x) = C ₀ + xC ₁ + · · · + x ⁿ⁻¹ C _n−1

3. Montrer les relations suivantes

C _n−1 = I n

C _n−2 − C _n−1 A = a ₁ I _n C n−3 − C n−2 A = a 2 I n

...

C 0 − C 1 A = a _n−1 I n

−C 0 A = a _n I _n 4. a. Exprimer C _n−1 , C _n−2 , · · · , C 1 , C 0 en fonction de A .

b. Prouver le théorème de Cayley-Hamilton c'est à dire

A ⁿ + a 1 A ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 A + a n I n = 0

₍

₎

Partie III. Application aux matrices nilpotentes

1. a. Écrire le développement de P(x + h) suivant les puissances de h à l'aide de la formule de Taylor.

b. Montrer que P

(x) = tr(C(x)) .

2. Montrer que tr(C _j ) = (j + 1) a _n−j−1 pour tous les j entre 1 et n − 1 . 3. Montrer que tr(A) = tr(A ² ) = · · · = tr(A ⁿ ) = 0 implique A ⁿ = 0

₍

₎ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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