MPSI B 2012-2013 DS 10 (le 19/04/13) 1

(1)

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^er

septembre 2019

Exercice I.

Soit β ∈ R

^∗

et n ∈ N

^∗

, on dénit la puissance factorielle montante

¹

par : β ⁰ = 1, β ⁿ = β(β + 1) · · · (β + n − 1) (produit de n facteurs) 1. a. Simplier β ^k+1+j − (β + k)β ^k+j .

b. Soit j ≥ i , exprimer ^β _β

^ji

comme une puissance factorielle montante.

2. Soient m ∈ N et p ∈ N

^∗

, on dénit :

∆(m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β ^m+k+l−2 P (m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β ^m+k+l−2 δ(m, p, β) = det(∆(m, p, β))

a. Calculer δ(m, 1, β) et δ(1, 3, 1) .

b. On note L 1 , · · · , L p les lignes de la matrice ∆(m, p, β) .

Pour k entre 1 et p − 1 , quel est le réel λ pour lequel le premier terme de la ligne L k+1 − λL k est nul ? Préciser le reste de cette ligne.

c. Former une relation entre δ(m, p, β) et δ(m+1, p−1, β) . En déduire une expression de δ(m, p, β) avec des factorielles et des puissances factorielles montantes.

d. Calculer det(P (m, p, β)) .

3. Soient p ∈ N

^∗

et β 1 , · · · β p des réels deux à deux distincts, on dénit : V (β ₁ , · · · , β _p ) = la matrice p × p dont le terme k, l est β _l ^k−1 v(β 1 , · · · , β p ) = det(V (β 1 , · · · , β p ))

Calculer v(β 1 , · · · , β p ) .

Exercice II.

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 et E = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) une base de E . Soit f l'endomorphisme de E tel que

A = Mat

E

(f ) =







1 −1 2 −2

0 0 1 −1

1 −1 1 0 1 −1 1 0







1

d'après Mathématiques concrètes Graham, Knuth, Patashnik

1. Soit λ ∈ R. Calculer det(f − λ Id E ) sous forme factorisée.

2. Calculer les rangs des matrices A , A ² , A − I 4 , (A − I 4 ) ² .

3. a. Montrer qu'il existe une base A = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) de E telle que

Mat

A

(f ) =







0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1







b. En précisant les coordonnées dans E , calculer une base vériant la condition pré- cédente.

Exercice III.

Soit n ∈ N

^∗

et M ∈ M n (K) . On introduit quelques dénitions.

Une colonne propre pour M est une matrice colonne C non nulle de M n,1 (K) pour laquelle il existe λ ∈ K tel que M C = λC . Ce λ est appelé la valeur propre de C . Une ligne propre pour M est une matrice ligne L non nulle de M _1,n (K) pour laquelle

il existe λ ∈ K tel que LM = λL . Ce λ est appelé la valeur propre de L .

On dit que M est c-diagonalisable si et seulement si il existe dans M _n,1 (K) une base de colonnes propres pour M .

On dit que M est l-diagonalisable si et seulement si il existe dans M 1,n (K) une base de lignes propres pour M .

On admet que si (C 1 , · · · , C n ) est une base de M n,1 (K) et (L 1 , · · · , L n ) une base de M 1,n (K) alors la famille des C i L j pour i et j entre 1 et n forme une base de M n (K) .

1. On suppose que M est c-diagonalisable avec une base (C ₁ , · · · , C _n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont µ ₁ , · · · , µ _n . On note P ∈ M _n (K) la matrice dont la colonne j est C j pour tous les j entre 1 et n . Montrer que P

⁻¹

M P est la matrice diagonale avec les µ 1 , · · · , µ n sur la diagonale. En déduire que det M = µ 1 · · · µ n . 2. On suppose que M est l-diagonalisable avec une base (L ₁ , · · · , L _n ) de colonnes propres

dont les valeurs propres sont µ

⁰

₁ , · · · , µ

⁰

_n . Montrer que det M = µ

⁰

₁ · · · µ

⁰

_n .

3. Soit A ∈ M n (K) c-diagonalisable avec une base (C ₁ , · · · , C _n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont α ₁ , · · · , α _n . On dénit δ ∈ L(M n (K)) par :

∀X ∈ M n (K), δ(X) = AX a. Soit L ∈ M 1,n (K) . Pour i entre 1 et n , calculer δ(C _i L) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1210E

(2)

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^er

septembre 2019

b. Calculer det δ en fonction de det A en formant la matrice de δ dans une base bien choisie.

4. Soit A ∈ M n (K) c-diagonalisable avec une base (C 1 , · · · , C n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont α 1 , · · · , α n et B ∈ M n (K) l-diagonalisable avec une base (L 1 , · · · , L n ) de lignes propres dont les valeurs propres sont β 1 , · · · , β n . On dénit λ ∈ L(M n (K)) par :

∀X ∈ M n (K), λ(X) = AX + XB Exprimer det(λ) à l'aide des α i et des β j .

Problème

Dans ce problème

²

, n désigne un entier naturel. Pour toute matrice A ∈ M n ( R ) , le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P A ) est le polynôme associé à la fonction x → det(xI n − A) de R dans R.

Partie I. Coecients du polynôme caractéristique

1. Calculer les polynômes caractéristiques des matrices suivantes :







0 0 0 −a 1 0 0 −b 0 1 0 −c 0 0 1 −d





 ,





0 a b

−a 0 c

−b −c 0





2. Soit A ∈ M n ( R ) , préciser le degré de P A , son coecient dominant, le coecient du terme de degré n − 1 et le coecient du terme de degré 0.

3. Pour i entre 1 et n , on note X _i ∈ M n,1 ( R ) la colonne dont tous les coecients sont nuls sauf celui d'indice i qui vaut 1.

a. Montrer que pour B ∈ M n ( R ) et h réel, le coecient de h dans le développement de det(hI n + B) est tr( ^t Com B) .

b. En déduire le coecient du terme de degré 1 dans P A .

2

d'après Ec Sup d'Ingénieurs de Marseille Math 2 M 1990

Partie II. Théorème de Cayley-Hamilton

Dans cette partie et la suivante, A ∈ M _n ( R ) est xée et on note P au lieu de P _A avec P = P A = X ⁿ + a 1 X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² + · · · + a n−1 X + a n et a 0 = 1

On dénit aussi, pour tout x réel, la matrice C(x) par C(x) = ^t Com(xI _n − A)

1. Soit B 0 , B 1 , · · · , B n des matrices dans M n ( R ) telles que, pour une innité de x réels, B 0 + xB 1 + · · · + x ⁿ B n = 0

_M_n

₍

_R

₎

Montrer que B ₀ , B ₁ , · · · , B _n sont nulles. En déduire un principe d'identication à for- muler clairement.

2. Montrer qu'il existe des matrices C ₀ , C ₁ , · · · , C _n−1 ∈ M n ( R ) telles que C(x) = C 0 + xC 1 + · · · + x ⁿ⁻¹ C _n−1

3. Montrer les relations suivantes

C _n−1 = I _n C n−2 − C n−1 A = a 1 I n

C _n−3 − C _n−2 A = a 2 I n

...

C ₀ − C ₁ A = a _n−1 I _n

−C 0 A = a n I n

4. a. Exprimer C _n−1 , C _n−2 , · · · , C 1 , C 0 en fonction de A . b. Prouver le théorème de Cayley-Hamilton c'est à dire

A ⁿ + a ₁ A ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 A + a _n I _n = 0

_M_n

₍

_R

₎

Partie III. Application aux matrices nilpotentes

1. a. Écrire le développement de P(x + h) suivant les puissances de h à l'aide de la formule de Taylor.

b. Montrer que P

⁰

(x) = tr(C(x)) .

2. Montrer que tr(C j ) = (j + 1) a _n−j−1 pour tous les j entre 1 et n − 1 . 3. Montrer que tr(A) = tr(A ² ) = · · · = tr(A ⁿ ) = 0 implique A ⁿ = 0

_M_n

₍

_R

₎ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S1210E

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septembre 2019

Exercice I.

Soit β ∈ R

et n ∈ N

, on dénit la puissance factorielle montante

par : β 0 = 1, β n = β(β + 1) · · · (β + n − 1) (produit de n facteurs) 1. a. Simplier β k+1+j − (β + k)β k+j .

b. Soit j ≥ i , exprimer β β

comme une puissance factorielle montante.

2. Soient m ∈ N et p ∈ N

, on dénit :

∆(m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β m+k+l−2 P (m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β m+k+l−2 δ(m, p, β) = det(∆(m, p, β))

a. Calculer δ(m, 1, β) et δ(1, 3, 1) .

b. On note L 1 , · · · , L p les lignes de la matrice ∆(m, p, β) .

Pour k entre 1 et p − 1 , quel est le réel λ pour lequel le premier terme de la ligne L k+1 − λL k est nul ? Préciser le reste de cette ligne.

c. Former une relation entre δ(m, p, β) et δ(m+1, p−1, β) . En déduire une expression de δ(m, p, β) avec des factorielles et des puissances factorielles montantes.

d. Calculer det(P (m, p, β)) .

3. Soient p ∈ N

et β 1 , · · · β p des réels deux à deux distincts, on dénit : V (β 1 , · · · , β p ) = la matrice p × p dont le terme k, l est β l k−1 v(β 1 , · · · , β p ) = det(V (β 1 , · · · , β p ))

Calculer v(β 1 , · · · , β p ) .

Exercice II.

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 et E = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) une base de E . Soit f l'endomorphisme de E tel que

A = Mat

(f ) =









1 −1 2 −2

0 0 1 −1

1 −1 1 0 1 −1 1 0









d'après Mathématiques concrètes Graham, Knuth, Patashnik

1. Soit λ ∈ R. Calculer det(f − λ Id E ) sous forme factorisée.

2. Calculer les rangs des matrices A , A 2 , A − I 4 , (A − I 4 ) 2 .

3. a. Montrer qu'il existe une base A = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) de E telle que

Mat

(f ) =









0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1









b. En précisant les coordonnées dans E , calculer une base vériant la condition pré- cédente.

Exercice III.

Soit n ∈ N

et M ∈ M n (K) . On introduit quelques dénitions.

Une colonne propre pour M est une matrice colonne C non nulle de M n,1 (K) pour laquelle il existe λ ∈ K tel que M C = λC . Ce λ est appelé la valeur propre de C . Une ligne propre pour M est une matrice ligne L non nulle de M 1,n (K) pour laquelle

il existe λ ∈ K tel que LM = λL . Ce λ est appelé la valeur propre de L .

On dit que M est c-diagonalisable si et seulement si il existe dans M n,1 (K) une base de colonnes propres pour M .

On dit que M est l-diagonalisable si et seulement si il existe dans M 1,n (K) une base de lignes propres pour M .

On admet que si (C 1 , · · · , C n ) est une base de M n,1 (K) et (L 1 , · · · , L n ) une base de M 1,n (K) alors la famille des C i L j pour i et j entre 1 et n forme une base de M n (K) .

1. On suppose que M est c-diagonalisable avec une base (C 1 , · · · , C n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont µ 1 , · · · , µ n . On note P ∈ M n (K) la matrice dont la colonne j est C j pour tous les j entre 1 et n . Montrer que P

M P est la matrice diagonale avec les µ 1 , · · · , µ n sur la diagonale. En déduire que det M = µ 1 · · · µ n . 2. On suppose que M est l-diagonalisable avec une base (L 1 , · · · , L n ) de colonnes propres

dont les valeurs propres sont µ

1 , · · · , µ

n . Montrer que det M = µ

1 · · · µ

n .

3. Soit A ∈ M n (K) c-diagonalisable avec une base (C 1 , · · · , C n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont α 1 , · · · , α n . On dénit δ ∈ L(M n (K)) par :

∀X ∈ M n (K), δ(X) = AX a. Soit L ∈ M 1,n (K) . Pour i entre 1 et n , calculer δ(C i L) .

1

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septembre 2019

b. Calculer det δ en fonction de det A en formant la matrice de δ dans une base bien choisie.

∀X ∈ M n (K), λ(X) = AX + XB Exprimer det(λ) à l'aide des α i et des β j .

Problème

Dans ce problème

, n désigne un entier naturel. Pour toute matrice A ∈ M n ( R ) , le polynôme caractéristique de la matrice A (noté P A ) est le polynôme associé à la fonction x → det(xI n − A) de R dans R.

Partie I. Coecients du polynôme caractéristique

1. Calculer les polynômes caractéristiques des matrices suivantes :



par : β ⁰ = 1, β ⁿ = β(β + 1) · · · (β + n − 1) (produit de n facteurs) 1. a. Simplier β ^k+1+j − (β + k)β ^k+j .

b. Soit j ≥ i , exprimer ^β _β

∆(m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β ^m+k+l−2 P (m, p, β) = la matrice p × p dont le terme k, l est β ^m+k+l−2 δ(m, p, β) = det(∆(m, p, β))

et β 1 , · · · β p des réels deux à deux distincts, on dénit : V (β ₁ , · · · , β _p ) = la matrice p × p dont le terme k, l est β _l ^k−1 v(β 1 , · · · , β p ) = det(V (β 1 , · · · , β p ))

2. Calculer les rangs des matrices A , A ² , A − I 4 , (A − I 4 ) ² .

Une colonne propre pour M est une matrice colonne C non nulle de M n,1 (K) pour laquelle il existe λ ∈ K tel que M C = λC . Ce λ est appelé la valeur propre de C . Une ligne propre pour M est une matrice ligne L non nulle de M _1,n (K) pour laquelle

On dit que M est c-diagonalisable si et seulement si il existe dans M _n,1 (K) une base de colonnes propres pour M .

1. On suppose que M est c-diagonalisable avec une base (C ₁ , · · · , C _n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont µ ₁ , · · · , µ _n . On note P ∈ M _n (K) la matrice dont la colonne j est C j pour tous les j entre 1 et n . Montrer que P

M P est la matrice diagonale avec les µ 1 , · · · , µ n sur la diagonale. En déduire que det M = µ 1 · · · µ n . 2. On suppose que M est l-diagonalisable avec une base (L ₁ , · · · , L _n ) de colonnes propres

₁ , · · · , µ

_n . Montrer que det M = µ

₁ · · · µ

_n .

3. Soit A ∈ M n (K) c-diagonalisable avec une base (C ₁ , · · · , C _n ) de colonnes propres dont les valeurs propres sont α ₁ , · · · , α _n . On dénit δ ∈ L(M n (K)) par :

∀X ∈ M n (K), δ(X) = AX a. Soit L ∈ M 1,n (K) . Pour i entre 1 et n , calculer δ(C _i L) .

3. Pour i entre 1 et n , on note X _i ∈ M n,1 ( R ) la colonne dont tous les coecients sont nuls sauf celui d'indice i qui vaut 1.

a. Montrer que pour B ∈ M n ( R ) et h réel, le coecient de h dans le développement de det(hI n + B) est tr( ^t Com B) .

Dans cette partie et la suivante, A ∈ M _n ( R ) est xée et on note P au lieu de P _A avec P = P A = X ⁿ + a 1 X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² + · · · + a n−1 X + a n et a 0 = 1

On dénit aussi, pour tout x réel, la matrice C(x) par C(x) = ^t Com(xI _n − A)

1. Soit B 0 , B 1 , · · · , B n des matrices dans M n ( R ) telles que, pour une innité de x réels, B 0 + xB 1 + · · · + x ⁿ B n = 0

₍

₎

Montrer que B ₀ , B ₁ , · · · , B _n sont nulles. En déduire un principe d'identication à for- muler clairement.

2. Montrer qu'il existe des matrices C ₀ , C ₁ , · · · , C _n−1 ∈ M n ( R ) telles que C(x) = C 0 + xC 1 + · · · + x ⁿ⁻¹ C _n−1

C _n−1 = I _n C n−2 − C n−1 A = a 1 I n

C _n−3 − C _n−2 A = a 2 I n

C ₀ − C ₁ A = a _n−1 I _n

4. a. Exprimer C _n−1 , C _n−2 , · · · , C 1 , C 0 en fonction de A . b. Prouver le théorème de Cayley-Hamilton c'est à dire

A ⁿ + a ₁ A ⁿ⁻¹ + · · · + a _n−1 A + a _n I _n = 0

₍

₎

2. Montrer que tr(C j ) = (j + 1) a _n−j−1 pour tous les j entre 1 et n − 1 . 3. Montrer que tr(A) = tr(A ² ) = · · · = tr(A ⁿ ) = 0 implique A ⁿ = 0

₍

₎ .