Colle PC Semaines 10 et 11 2013-2014
EXERCICE 1 :
Calculer det(A) avec A = (a ij ) 16i,j6n où
a ii = 2 cos(x)
a ij = 1 si i = j + 1 ou j = i + 1 a ij = 0 sinon
EXERCICE 2 :
Soit A = (a ij ) ∈ M n ( R ). On note A(x) la matrice dont le terme général est a ij + x.
1. Montrer que la fonction x 7−→ det(A(x)) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 1.
2. Pour a et b deux réels distincts et α 1 , .... , α n ∈ R , en déduire la valeur du déterminant suivant :
M =
α 1 a . . . a b α 2 ... ...
.. . ... ... a b . . . b α n
(on utilisera la question 1 en posant M (x) le déterminant de la matrice (m ij + x) 16i,j6n , avec m ij les coefficients du déterminant M )
EXERCICE 3 :
Calculer det(A) avec A = (a ij ) 16i,j6n où
( a ii = i + 1 a ij = 1 sinon
EXERCICE 4 :
Étant donné a 6= 0 et b 6= 0 ,Calculer le déterminant D n de M n = (m ij ) 16i,j6n où
m ii = a + b
m ij = ab si j = i + 1 m ij = 1 si i = j + 1 m ij = 0 sinon
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Corrections
EXERCICE 1 : On pose α = 2 cos(x).
det(A) =
α 1 . . . 0 1 α . .. ...
.. . . .. ... 1 0 . . . 1 α
= ∆ n
Si n > 3, développons par rapport à la première colonne.
∆ n = α∆ n−1 −
1 0 0 0 . . . 0
1 α 1 0 . . . 0
0 1 α 1 . .. ...
.. . ... ... ... ... ...
.. . ... ... 1 α 1 0 . . . . . . 0 1 α
(déterminant d’ordre n−1) = α∆ n−1 −∆ n−2 (développement par rapport
à la première ligne)
(∆ n ) n>1 est une suite récurrente linéaire dont l’équation caractéristique est : r 2 − αr + 1 = 0. Les solutions sont donc r 1 = e ix et r 2 = e −ix . Ainsi pour n > 1, ∆ n = λ cos(nx) + µ sin(nx) où λ et µ restent à déterminer.
On y parviendra en utilisant les calculs effectifs de ∆ 1 et de ∆ 2 :
∆ 1 = 2 cos(x) = λ cos(x) + µ sin(x) (1) et ∆ 2 = α 2 − 1 = 4 cos 2 (x) − 1 = λ cos(2x) + µ sin(2x) (2).
et (1) × 2 cos(x) − (2) ⇔ 4 cos 2 (x) − 4 cos 2 (x) + 1 = λ(2 cos 2 (x) − 2 cos 2 (x) + 1) ⇔ λ = 1 et µ = cos(x)
sin(x) si x 6= 0 (2π).
En résumé,
• Si x 6= 0 (π) ∆ n = cos(nx) + cos(x)
sin(x) sin(nx) ;
• Si x = 0 (2π), l’équation caratéristique est r 2 − 2r + 1 = (r − 1) 2 = 0 et n > 1, ∆ n = λn + β.
Puis ∆ 1 = λ + µ = 2 et ∆ 2 = 2λ + µ = 3, ce qui donne λ = µ = 1 et pour n >, ∆ n = n + 1 .
• Si x = π (2π), l’équation caractéristique est (r + 1) 2 = 0 et n > 1, ∆ n = (λn + β)(−1) n .
Puis ∆ 1 = −λ − µ = −2 et ∆ 2 = 2λ + µ = 3, ce qui donne λ = µ = 1 et pour n >, ∆ n = (−1) n (n + 1) .
EXERCICE 2 :
1. Retrancher la première colonne à toutes les autres colonnes.
On développe par rapport à la première colonne et on trouve : det(A(x)) =
n
X
i=1
(−1) i (a i,1 + x)det(A i )
où A i est une matrice à coefficients réels donc det(A(x)) est bien une fonction affine.
2. On note M (x) la matrice dont les coefficients sont (m ij + x) et on pose D(x) = det(M (x)). On sait que, d’après 1., D(x) = cx + d où c et d sont à déterminer.
D(−a) =
α 1 − a 0 . . . 0
b − a α 2 − a ... .. .
.. . ... ... 0
b − a . . . b − a α n − a
=
n
Y
i=1
(α i − a) et de même, D(−b) =
n
Y
i=1
(α i − b) .
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Par ailleurs,
D(−a) = −ca + d
D(−b) = −cb + d , c’est un système de deux équations à deux inconnues et cela donne pour c et d :
c = D(−b) − D(−a) a − b
d = aD(−b) − bD(−a) a − b
et M = D(0) = d
EXERCICE 3 :
det(A) =
2 1 1 . . . . . . 1 1 3 1 . . . . . . 1 1 1 ... ... ... .. . .. . ... ... ... ... .. . .. . ... ... 1 n 1 1 . . . . . . 1 1 n + 1
C
j←C
j−C =1,j∈{2,...,n}
2 −1 −1 . . . . . . . . . −1 1 2 0 . . . . . . . . . 0 1 0 3 ... ... . . . 0 1 0 0 ... ... ... .. . .. . .. . .. . ... ... ... .. . 1 0 0 ... ... n − 1 0 1 0 . . . . . . . . . 0 n
On pose s n = 2 + 1
2 + 1
3 + . . . + 1 n et
det(A) =
L
1←L
1+
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