Université Mohammed Premier Filière : SMIA - S3 Faculté des Sciences d’Oujda
Département de Mathématiques 2018-2019
Algèbre 4 :Réduction des endomorphismes Série N° 3 :Réduction de Jordan
Exercice 1. SoitT l’endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canoniqueB={e1,e2,e3,e4,e5} est
A=
0 2 0 3
0 0 0 −1
0 0 1 0
0 1 0 2
.
(1) Calculer PT et MT.
(2) En déduire asc(T−Id) et dim Ker(T−Id).
(3) Donner la matrice réduite de Jordan deT.
Exercice 2. SoitT un endomorphisme deR6dont la réduite de Jordan est
A=
2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1
.
Sans calcul, déterminer PT, MT et dim Ker(T−2Id).
Exercice 3. SoitT l’endomorphisme deR5dont la matrice dans la base canoniqueB={e1,e2,e3,e4,e5} est
A=
0 0 0 0 0
1 −1 1 0 0 1 −1 1 0 0 4 −2 0 0 1 2 −2 2 0 0
.
(1) Calculer le rang deT et déduire dim Ker(T).
(2) Déterminer Ker(T) et Ker(T2).
(3) En déduire asc(T), MT et PT.
(4) Donner une décomposition deR5comme somme directe de sous-espaces cycliques deT en précisant leurs dimensions.
(5) Donner la matrice réduite de JordanJdeT relativement à la décomposition précédente.
(6) Trouver une base deR5dans laquelleJsoit la matrice deT. (7) Donner le tableau de Young.
Exercice 4. SoitT∈L(R5) dont la matrice dans la base canoniqueB={e1,e2,e3,e4,e5} est
A=
1 0 0 1 −1
0 1 −2 3 −3 0 0 −1 2 −2
1 −1 1 0 1
1 −1 1 −1 2
.
(1) Calculer le polynôme caractéristique deT.
(2) Trouver les sous-espaces propres. L’endomorphismeT est-il diagonalisable ? jordanisable ? (3) Déterminer asc(T−Id) et asc(T+Id). En déduire le polynôme minimal deT.
(4) Donner une matrice réduite de JordanJ pourT.
(5) Trouver une base deR5dans laquelle la matrice deT estJ. (6) Résoudre le système d’équations différentielles suivant :
x0 = x+u−v
y0 = y−2z+3u−3v z0 = −z+2u−2v u0 = x−y+z+v v0 = x−y+z−u+2v
avec
x(0) = 1 y(0) = 0 z(0) = −1 u(0) = 1 v(0) = 1 Exercice 5. On considère la matrice
A=
1 0 0 0
−1 3 −1 1
−1 1 1 0
0 0 0 2
∈M4(R).
(1) Calculer le polynôme caractéristique.
(2) Aest-il diagonalisable ? (3) JordaniserA.
(4) Résoudre le système suivant
xn+1 = xn
yn+1 = −xn+3yn−zn+un zn+1 = −xn+yn+zn un+1 = 2un
pour toutn≥0 et
x0 = 1 y0 = 0 z0 = −1 u0 = 1.
Exercice 6. SoientE unC-espace vectoriel de dimension 2n,T ∈L(E) eta∈E tels que la famille F={a,T(a), . . . ,T2n−1(a)} soit une base deE.
(1) Montrer que MT =PT, et en déduire asc(T−λId) pour toutλ∈C. (2) On suppose que Sp(T)={0}. Donner la réduite de Jordan deT. (3) Calculer dim Ker(T−λId) pour toutλ∈C.
(4) On suppose que Sp(T)={−1, 1} et asc(T+Id)=asc(T−Id)=n. Donner la réduite de Jordan deT.
Exercice 7. Déterminer la suite complexe (un)n≥0vérifiant :
½ un+4=2un+3−2un+2+2un+1−un u0=1,u1= −1,u2=0,u3=2.
Exercice 8. Résoudre l’équation différentielle suivante :
½ f(4)=2f"−f
f(0)=1, f0(0)= −1, f"(0)=0, f(3)(0)=1.
