Théorème de Jordan.

Théorème de Jordan.

2013 – 2014

Références : Stéphane Gonnord, Nicolas Tosel, Calcul différentiel, El- lipses, 1998.

Théorème.

SoitΓ = Im(γ) avec γ:R→Cde classe C¹, 1-périodique, telle que γ_|[0,1[ soit injective etγ⁰(t)6= 0. Alors C\Γa deux composantes connexes.

Démonstration. On commence par supposer pour plus de commodités que|γ⁰(t)|= 1 pour toutt (une justification est donnée en fin de document), que γ(0) = 0 et queγ⁰(0) = 1.

Lemme.

Si pourε >0 on noteΓ⁺_ε (resp.Γ⁻_ε) la courbe paramétrée par γ_ε⁺(t) =γ(t) +iεγ⁰(t)(resp.γ_ε⁻(t) =γ(t)−iεγ⁰(t)) alors il existeα >0 tel que pour tout 0< ε < α,Γ∩Γ⁺_ε = Γ∩Γ⁻_ε =∅. Démonstration. Supposons qu’il existes, ttels queγ(t) =γ_ε⁺(s) (on peut sup- poser|t−s| ≤ ¹₂), alors

|γ(t)−(γ(s) + (t−s)γ⁰(s))|=|γ⁰(s)||iε−(t−s)|

>|t−s|.

Par ailleurs,γ⁰est continue surRet périodique donc uniformément continue, donc il existeη >0 tel que

|t₁−t₂| ≤η=⇒ |γ⁰(t₁)−γ⁰(t₂)| ≤1.

Si |t−s| ≤ η, alors en appliquant le théorème des accroissements finis à t 7→

γ(t)−(γ(s) + (t−s)γ⁰(s)) on a

|γ(t)−(γ(s) + (t−s)γ⁰(s))| ≤ sup

t₁∈[s,t]

|γ⁰(t1)−γ⁰(s)||t−s| ≤ |t−s|.

Ceci est impossible donc|t−s|> η. Posons alors α:= inf

1

2≥|t1−t2|≥η

|γ(t1)−γ(t2)|.

1

Alors α est atteint par compacité de {¹₂ ≥ |t1−t2| ≥ η} et continuité de (t1, t2)7→ |γ(t1)−γ(t2)|, on en déduit queα >0 par injectivité deγ.

Soitε < αet s, ttels queγ(t) =γ_ε⁺(s). Alors|t−s|> η et on a

|γ(t)−γ_ε⁺(s)|=|γ(t)−(γ(s) +iεγ⁰(s))|

≥ |γ(t)−γ(s)| − |iεγ⁰(s)|

≥α−ε >0.

On aboutit donc sur une contradiction, d’où Γ∩Γ⁺_ε =∅. De même, Γ∩Γ⁻_ε =

∅.

Montrons queC\Γ possède au plus deux composantes connexes. Pour cela, posonsε < αet montrons que tout point deC\Γ peut être relié par un chemin à Γ⁺_ε ou à Γ⁻_ε sans couper Γ.

Soit doncz∈C\Γ.

Par compacité de Γ, la distance dez à Γ est atteinte en un pointγ(t0) et on a z−γ(t0)⊥γ⁰(t0) (en dérivantt7→ |z−γ(t)|²).

Alors la demi-droite [γ(t0), z) rencontre Γ⁺_ε au point γ_ε⁺(t0) ou Γ⁻_ε au point γ_ε⁻(t0). Supposons par exemple que nous soyons dans le premier cas et montrons que [γ_ε⁺(t0), z] ne rencontre par Γ. Deux cas sont possibles :

– γ(t₀), γ_ε⁺(t₀) etzsont alignés dans cet ordre. Alors si [γ_ε⁺(t₀), z] rencontrait Γ, cela contredirait la minimalité de|z−γ(t₀)|.

– γ(t₀), zetγ_ε⁺(t₀) sont alignés dans cet ordre. Alors si [γ_ε⁺(t₀), z] rencontrait Γ, ce point serait également sur un Γ⁺_ε0 avec ε⁰ ≤ε, ce qui contredirait le lemme.

Montrons maintenant que C\Γ a au moins deux composantes connexes.

Pour cela, il suffit de trouver deux points deC\Γ qui n’ont pas le même indice par rapport àγ. Choisissonsiεet −iε.

Ind_γ(iε)−Indγ(−iε) = 1 2iπ

Z 1/2

−1/2

γ⁰(t)

γ(t)−iε− γ⁰(t) γ(t) +iε

dt= ε

π Z 1/2

−1/2

γ⁰(t) γ²(t) +ε²dt.

Le dénominateur ne peut s’annuler que sit= 0 etε= 0 car ±iε /∈Γ.

Par ailleurs, lim_t→0^γ(t)_t =γ⁰(0) = 1 donc il existe δ >0 tel que si |t|< δ, alors<_γ2(t)

t²

> ¹₂.

On a alors, par changement de variablet=εs, ε

π Z δ

−δ

γ⁰(t)

γ²(t) +ε²dt= ε² π

Z δ/ε

−δ/ε

γ⁰(εs) γ²(εs) +ε²ds

= 1 π

Z

R

γ⁰(εs)

1 +^γ_(εs)^2(εs)2 s²1_{[−δ/ε,δ/ε]}(s) ds.

Or δ a été choisi pour que l’intégrande soit inférieure à 1/(1 +^s₂²). D’où, par théorème de convergence dominée,

1 π

Z

R

γ⁰(εs)

1 + ^γ_(εs)^2(εs)2 s²1_{[−δ/ε,δ/ε]}(s) ds−−−→

ε→0

1 π

Z

R

ds 1 +s² = 1.

2

D’autre part, la fonction (ε, t)7→ _γ2^γ(t)+ε^0(t)2 est continue sur le compact [0,^α₂]× {¹₂ ≥ |t| ≥δ}, elle est donc majorée indépendamment detet εpar une constante, d’où

ε π

Z

δ≤|t|≤¹₂

γ⁰(t)

γ²(t) +ε²dt−−−→

ε→0 0.

Finalement, on a

ε→0lim(Indγ(iε)−Indγ(−iε)) = 1.

Donc pourεsuffisamment petit, les indices sont distincts.

Détails supplémentaires

Montrons que l’on peut se ramener au cas où|γ⁰(t)|= 1 pour toutt, quitte à modifier la période deγ.

Soit

s(t) :=

Z t

0

|γ⁰(u)|du

l’abscisse curviligne deγ, qui est continue car γ est C¹. γ⁰ est continue et non nulle doncs est strictement croissante sur R. Il s’agit donc d’une bijection et on peut considérer ˜γ:=γ◦s⁻¹. On a alors

˜

γ⁰(t) = (s⁻¹)⁰(t)γ⁰(s⁻¹(t))

= 1

s⁰(s⁻¹(t))γ⁰(s⁻¹(t))

= γ⁰(s⁻¹(t))

|γ⁰(s⁻¹(t))|. On a donc|˜γ⁰(t)|= 1 pour toutt.

SoitT :=s(1), montrons que ˜γest T-périodique. Pourt∈R, on a t+T =

Z s⁻¹(t)

0

|γ⁰(u)|du+ Z 1

0

|γ⁰(u)|du=

Z s⁻¹(t)+1

0

|γ⁰(u)|du=s(s⁻¹(t) + 1) carγest périodique. D’où

˜

γ(t+T) =γ◦s⁻¹(s(s⁻¹(t) + 1)) =γ(s⁻¹(t) + 1) =γ(s⁻¹(t)) = ˜γ(t).

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