Université Mohammed Premier Filière : SMIA - S3 Faculté des Sciences d’Oujda
Département de Mathématiques 2018-2019
Algèbre 4 :Réduction des endomorphismes Série N° 1 :Polynômes d’endomorphisme
Exercice 1. SoitT:R4→R4un endomorphisme vérifiantT2= −T (oùT2=T◦T).
(1) Montrer que Ker(T)=Im(T+Id) et Im(T)=Ker(T+Id).
(2) Monter queR4=Ker(T)⊕Im(T). Que devient-ilT lorsque Ker(T)={0}.
(3) SoitS un endomorphisme de R4commutant avec T. Montrer que Ker(T) et Im(T) sont invariants parS.
(4) On suppose que Ker(T) et Im(T) sont munis des bases {u1} et {u2,u3,u4}, respectivement.
Donner la matrice deT dans la baseB={u1,u2,u3,u4}.
Exercice 2. SoitT :R4→R4un endomorphisme satisfaisantT3=0 etT26=0, et soitx∈R4tel que T2x6=0.
(1) Montrer que la famille {x,T x,T2x} est libre, et en déduire que 1≤dim Ker(T)≤2.
(2) SoitGun supplémentaire de Ker(T2)⊕Vect{x} dans Ker(T3). Supposons qu’il existe un vec- teur non nuly∈G. Monter que {x,T x,T2x,y,T y,T2y} est libre. Que peut-on conclure ? (3) Montrer que Ker(T2)=Ker(T)⊕Vect{T x}, et en déduire que dim Ker(T)=2.
(4) Soit {T2x,z} une base de Ker(T). Donner la matrice deT dans la baseB={x,T x,T2x,z}.
(5) Montrer queT+αIdest bijectif et calculer (T+αId)−1pour toutα∈R\ {0}.
Exercice 3. ConsidéronsHun sous-espace vectoriel deC4de dimension 3 etuun vecteur non nul tels queC4=H⊕Vect{u}. SoitT :C4→C4un endomorphisme différent de Idet qui vérifie
(∗) Im(T−Id)⊆H⊆Ker(T−Id).
(1) Vérifier que (T−Id)2=0 et dim Im(T−Id)=1. En déduire queH=Ker(T−Id) etTen6=en. (2) Montrer queT est bijectif et queT−1vérifie (∗).
(3) Montrer qu’il existe une base deC4dans la quelle la matrice deT estM=
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
.
Exercice 4. SoitT:R3→R3l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est A=
0 1 0
2 −1 −2
−1 1 1
.
(1) Déterminer les valeurs propres deT, les sous-espaces propres associés et leurs dimension.
(2) Trouver une baseBdeR3formée de vecteurs propres deT et donner la matrice MatB(T).
Exercice 5. SoientEl’espace vectoriel des suites complexes etT :E→El’application qui à (un)n≥0 associe la suite (vn)n≥0donnée par
v0=u0, etvn=un−1+un
2 pour toutn≥1.
(1) Vérifier queT est linéaire, et déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
(2) SoitF le sous-espace vectoriel deEdes suites nulles à partir d’un certain rang. Montrer que F est invariant parT et que le spectre deT|F, la restriction deT àF, est vide.
Exercice 6. SoientEun espace vectoriel surK,T ∈L(E) etF,Gdeux sous-espaces vectoriels non- réduits à {0} et invariants parT tels queE=F⊕G.
(1) Montrer queT est injectif (resp. surjectif ) si, et seulement si,T|F etT|G sont injectifs (resp.
surjectif ).
(2) En déduire que Sp(T)=Sp(T|F)∪Sp(T|G).
(3) SoitΠ:E→Ela projection orthogonale surGparallèlement àF. Montrer que Sp(Π)={0, 1}.
Exercice 7. On considère dansM3(R) la matrice suivante A=
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
.
(1) Calculer les puissances deA−I3, et déterminer le polynôme minimal deA.
(2) CalculerAnpour toutn∈N.
(3) Montrer queAest inversible, et calculerAnpour toutn∈Z. Exercice 8. SoitT∈L(R4) l’endomorphisme défini par
T(x,y,z,t)=(4x+6y+z−6t,−4x+4y−4z−2t,−2x−2y+z+2t, 2x+y+2z+t).
(1) On note parei, 1≤i≤4, la base canonique deR4. Montrer queE=F⊕GoùF =Vect{e1− e3,e2+e4} etG=Vect{e3,e4}.
(2) Montrer queF est invariant parT.
(3) On poseT0=T|F. Donner la matrice deT0dans la base {e1−e3,e2+e4}. Calculer PT0. (4) On poseT1=Π◦T|GoùΠest la projection orthogonale surGparallèlement àF. Donner la
matrice deT1dans la base {e3,e4}. Calculer PT1. (5) Donner le polynôme caractéristique deT. Exercice 9. SoitA∈M3(R) la matrice
A=
1 1 0
−1 0 0 2 0 −1
.
Calculer le polynôme caractéristique deAet déduire A−1.
Exercice 10. SoitT:R3→R3l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est A=
3 −3 2
−1 5 −2
−1 3 0
.
(1) Détermine les valeurs propres et le polynôme minimal deT. (2) Établir queAest inversible et calculer son inverse.
(3) Déterminer le reste de la division deXn,n∈N, par MA. (4) CalculerAnpour toutn∈N.
Exercice 11. On considère l’endomorphismeDdeRn[X] défini parD(P)=P0.
(1) Montrer queDest nilpotent d’indice de nilpotencen+1, et donner son polynôme minimal.
(2) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deD.
SoitT l’endomorphisme deRn[X] défini par la formule
T(P)(X)=P(X +1) pour toutP∈Rn[X].
(3) Montrer queT=Id+1!1D+2!1D2+ · · · +n!1Dn.
(4) Montrer que (T−Id)n=Dn, et en déduire le polynôme minimal deT. (5) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deT.
