Th´eor`eme des fonctions implicites cours Analyse II r´eelle Felice Ronga le 4 janvier 2005

Th´ eor` eme des fonctions implicites

cours Analyse II r´eelle

Felice Ronga

le 4 janvier 2005

D´ eriv´ ee par rapport ` a un paquet de variables

Consid´erons la d´ecomposition en produit R^m+n=R^m×Rⁿ et notons (x,y)∈R^m×Rⁿ,x = (x₁, . . . ,x_m),y = (y₁, . . . ,y_n).

f :U →R^p,U ⊂R^m×Rⁿ un ouvert; si (x0,y0)∈U :

∂f

∂y(x0,y0) d´enote la d´eriv´ee au point w = 0 de v7→f(x0,y0+w)

La matrice de ^∂f_∂y(x0,y0) s’´ecrit : ∂fi

∂y_j^(x0,y0)

i=1,...,p,j=1,...,n

On peut aussi ´ecrire :

∂f

∂y^(x0,y0) = ∂(f1, . . . ,fp)

∂(y₁, . . . ,y_n)^(x0,y0)

D´ eriv´ ee par rapport ` a un paquet de variables

Consid´erons la d´ecomposition en produit R^m+n=R^m×Rⁿ et notons (x,y)∈R^m×Rⁿ,x = (x₁, . . . ,x_m),y = (y₁, . . . ,y_n).

f :U →R^p,U ⊂R^m×Rⁿ un ouvert; si (x0,y0)∈U :

∂f

∂y(x0,y0) d´enote la d´eriv´ee au point w = 0 de v7→f(x0,y0+w) La matrice de ^∂f_∂y(x0,y0) s’´ecrit :

∂fi

∂y_j^(x0,y0)

i=1,...,p,j=1,...,n

On peut aussi ´ecrire :

∂f

∂y^(x0,y0) = ∂(f1, . . . ,fp)

∂(y₁, . . . ,y_n)^(x0,y0)

D´ eriv´ ee par rapport ` a un paquet de variables

Consid´erons la d´ecomposition en produit R^m+n=R^m×Rⁿ et notons (x,y)∈R^m×Rⁿ,x = (x₁, . . . ,x_m),y = (y₁, . . . ,y_n).

f :U →R^p,U ⊂R^m×Rⁿ un ouvert; si (x0,y0)∈U :

∂f

∂y(x0,y0) d´enote la d´eriv´ee au point w = 0 de v7→f(x0,y0+w) La matrice de ^∂f_∂y(x0,y0) s’´ecrit :

∂fi

∂y_j^(x0,y0)

i=1,...,p,j=1,...,n

On peut aussi ´ecrire :

∂f

∂y^(x0,y0) = ∂(f1, . . . ,fp)

∂(y₁, . . . ,y_n)^(x0,y0)

Le th´ eor` eme des fonctions implicites

Ici on se place dans la situation d’un ouvertU ⊂Rⁿ=R^n−p×R^p et on note (x,y)∈R^n−p×R^p,x= (x₁, . . . ,xn−p),

y= (y1, . . . ,yp). Soit f :U →R^p continue et (x0,y0)∈U.

Hypoth`ese du th´eor`eme des fonctions implicites :

∂f

∂y^(x,y)existe et est continue en (x,y) au voisinage de (x₀,y₀) remarquons que c’est une application lin´eaire deR^p dans R^p

i)f(x₀,y₀) = 0 ii) ∂f

∂y^(x0,y0):R^p→R^p est bijective.

Le th´ eor` eme des fonctions implicites

Ici on se place dans la situation d’un ouvertU ⊂Rⁿ=R^n−p×R^p et on note (x,y)∈R^n−p×R^p,x= (x₁, . . . ,xn−p),

y= (y1, . . . ,yp). Soit f :U →R^p continue et (x0,y0)∈U.

Hypoth`ese du th´eor`eme des fonctions implicites :

∂f

∂y^(x,y)existe et est continue en (x,y) au voisinage de (x₀,y₀) remarquons que c’est une application lin´eaire deR^p dans R^p i)f(x₀,y₀) = 0 ii) ∂f

∂y^(x0,y0):R^p→R^p est bijective.

Conclusion : Alors il exister0,R0 >0 et une application continue g :B(x0,r0)→B(y0,R0)

tels que: B(x₀,r₀)×B(y₀,R₀)⊂U et

f(x,g(x)) = 0 ∀x∈B(x₀,r₀) de plus, pour tout (x,y)∈B(x₀,r₀)×B(y₀,R₀) on a :

f(x,y) = 0 ⇐⇒ y =g(x).

Pour la preuve, on se ram`ene au th´eor`eme du point fixe. Posons X_r,R =n

φ:B(x₀,r)→B(y₀,R)

φcontinue o

Pourφ∈X_r,R posons:

T(φ)_(x)=φ(x)− ∂f

∂y(x0,y0) −1

f(x, φ(x))

Remarquons que

T(φ) =φ ⇐⇒ f(x, φ(x)) = 0 ∀x ∈B(x₀,r). On est donc ramen´e `a chercher les points fixes de T. Remarquer l’analogie entreT et la transformationt utilis´ee pour la m´ethode de Newton (1`ere variante) :

t(x) =x− f(x) f⁰(x0)

La cubique gauche, intersection de deux surfaces

La surface romaine de Steiner

(d´ecouverte par Jakob Steiner en 1844)

Le bonnet crois´e