Reconnaissance d’hyperplan discret : une approche par d´esubstitution

Reconnaissance d’hyperplan discret : une approche par d´ esubstitution

Val´erie Berth´e et Thomas Fernique

LIRMM - Universit´e Montpellier II

LAIC, 15 Mars 2007

Introduction

Reconnaissance d’hyperplan discret :

´Etant donn´e un ensemble de points de Z^d, peut-on le d´ecrire comme une discr´etisation d’hyperplan r´eel ?

Approche de cet expos´e :

Utilisation de substitutions multi-dimensionnelles pour ´etendre aux hyperplans des algorithmes “`a la Wu” (recodages it´er´es de mots). Par souci de clart´e :

Dans ce qui suit, on supposed = 3 (i.e.,hyperplan plan). Penser au casd = 2 peut aider (mais peut masquer la difficult´e).

Introduction

Reconnaissance d’hyperplan discret :

´Etant donn´e un ensemble de points de Z^d, peut-on le d´ecrire comme une discr´etisation d’hyperplan r´eel ?

Approche de cet expos´e :

Utilisation de substitutions multi-dimensionnelles pour ´etendre aux hyperplans des algorithmes “`a la Wu” (recodages it´er´es de mots).

Par souci de clart´e :

Dans ce qui suit, on supposed = 3 (i.e.,hyperplan plan). Penser au casd = 2 peut aider (mais peut masquer la difficult´e).

Introduction

Reconnaissance d’hyperplan discret :

´Etant donn´e un ensemble de points de Z^d, peut-on le d´ecrire comme une discr´etisation d’hyperplan r´eel ?

Approche de cet expos´e :

Utilisation de substitutions multi-dimensionnelles pour ´etendre aux hyperplans des algorithmes “`a la Wu” (recodages it´er´es de mots).

Par souci de clart´e :

Dans ce qui suit, on supposed = 3 (i.e.,hyperplan plan).

Penser au casd = 2 peut aider (mais peut masquer la difficult´e).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e

1 Plans et surfaces pliss´es

2 Substitutions g´en´eralis´ees

3 Reconnaissance de plan

4 Euclide g´en´eralis´e

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e

1 Plans et surfaces pliss´es

2 Substitutions g´en´eralis´ees

3 Reconnaissance de plan

4 Euclide g´en´eralis´e

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Plan pliss´e

(~e₁, ~e₂, ~e₃) base deR³.~x∈Z³ et i ∈ {1,2,3} face (~x,i^∗) :

e₃

e₁ e₂

x

e₃

e₁ e₂

x

e₃

e₁ e₂

x

D´efinition

Plan pliss´ede normale ~α∈R³+\{0} et d’interceptρ∈R : P_α,ρ~ ={(~x,i^∗) |0≤ h~x, ~αi+ρ <h~e_i, ~αi}.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Plan pliss´e

(~e₁, ~e₂, ~e₃) base deR³.~x∈Z³ et i ∈ {1,2,3} face (~x,i^∗) :

e₃

e₁ e₂

x

e₃

e₁ e₂

x

e₃

e₁ e₂

x

D´efinition

Plan pliss´e de normale ~α∈R³₊\{0} et d’interceptρ∈R : P_~α,ρ ={(~x,i^∗) |0≤ h~x, ~αi+ρ <h~e_i, ~αi}.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Plan pliss´e

Sommets deP_~α,ρ :plan discret standardde param. (~α, ρ).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Surface pliss´ee

Soient~u=~e₁+~e₂+~e₃ et π la projection orthogonale selon~u.

Proposition

Un plan pliss´e est hom´eomorphe au plan r´eel~u^⊥ par π.

Par extension : D´efinition [Jamet]

Surface pliss´ee: ensemble de faces hom´eomorphe `a~u^⊥ par π.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Surface pliss´ee

Soient~u=~e₁+~e₂+~e₃ et π la projection orthogonale selon~u.

Proposition

Un plan pliss´e est hom´eomorphe au plan r´eel~u^⊥ par π.

Par extension : D´efinition [Jamet]

Surface pliss´ee: ensemble de faces hom´eomorphe `a~u^⊥ par π.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Surface pliss´ee

Remarque : projection des faces 'pavage du plan par losanges.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Surface pliss´ee

Remarque : projection des faces 'pavage du plan par losanges.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Flips

Pavage par losanges physique statistique flip :

Flip sur surface pliss´ee' ajout/retrait d’un cube unit´e.

Th´eor`eme [Arnoux-Berth´e-F.-Jamet, 2007]

Surface pliss´ee = plan pliss´e (oblique) + s´equence de flips. deux d´efinitions ´equivalentes.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Flips

Pavage par losanges physique statistique flip :

Flip sur surface pliss´ee' ajout/retrait d’un cube unit´e.

Th´eor`eme [Arnoux-Berth´e-F.-Jamet, 2007]

Surface pliss´ee = plan pliss´e (oblique) + s´equence de flips.

deux d´efinitions ´equivalentes.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch

D´efinition

Patch: ensemble fini de faces, inclus dans une surface pliss´ee.

un patch

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch

D´efinition

Patch: ensemble fini de faces, inclus dans une surface pliss´ee.

pas n´ecessairement connexe

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch

D´efinition

Patch: ensemble fini de faces, inclus dans une surface pliss´ee.

pas n´ecessairement inclus dans un plan pliss´e

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch

D´efinition

Patch: ensemble fini de faces, inclus dans une surface pliss´ee.

pas n´ecessairement un patch !

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e

1 Plans et surfaces pliss´es

2 Substitutions g´en´eralis´ees

3 Reconnaissance de plan

4 Euclide g´en´eralis´e

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Substitutions classiques

AlphabetA={1, . . . ,3} mots A^∗ (concat´enations de lettres).

Substitutionσ : morphisme non effa¸cant de A^∗ (σ6=Id).

σ :







1→12 2→13 3→1

σ(1213) =σ(1)σ(2)σ(1)σ(3) = 1213121.

Matrice d’incidencede σ :M_σ = (m_ij), o`u m_ij =|σ(i)|_j.

Mσ =





1 1 1 1 0 0 0 1 0





Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Substitutions classiques

AlphabetA={1, . . . ,3} mots A^∗ (concat´enations de lettres).

Substitutionσ : morphisme non effa¸cant de A^∗ (σ6=Id).

σ :







1→12 2→13 3→1

σ(1213) =σ(1)σ(2)σ(1)σ(3) = 1213121.

Matrice d’incidencedeσ :M_σ = (m_ij), o`u m_ij =|σ(i)|_j.

Mσ =





1 1 1 1 0 0 0 1 0





Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Rel`evement

“Rel`evement” d’un mot u∈ {1,2,3}<sup>∗</sup> en une ligne bris´eeγ(u) : γ(u1. . .u<sub>k</sub>) ={(~y1,u1), . . . ,(~y<sub>k</sub>,u<sub>k</sub>)}, ~y<sub>i+1</sub>=~y<sub>i</sub> +~eu<sub>i</sub>, o`u (~y,j) est le segment [~y, ~y+~ej],~y ∈Z³,j ∈ {1,2,3}.

(1213) γ γ(12)

e₃ e₃

e₂

e₁ e₁

e₂

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Rel`evement

“Rel`evement” de σ en une application Θ_σ sur les segments : Θσ◦γ =γ◦σ.

Expression analytique calculable. On a Θσ(~y,j) =Mσ~y+ Θσ(~0,j).

(1213) γ γ(12)

e₃ e₃

e₂

e₁ e₁

e₂

Θ_σ

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Dualit´e

Dualit´e segment-face : [(~y,j),(~x,i^∗)] =

1 si~x=~y eti =j, 0 sinon.

Application Θ_σ sur les segments application Θ^∗_σ sur lesfaces: [Θ_σ(~y,j),(~x,i^∗)] = [(~y,j),Θ^∗_σ(~x,i^∗)].

Si detMσ =±1, expression analytique calculable. On a : Θ^∗_σ(~x,i^∗) =M_σ⁻¹~x+ Θ^∗_σ(~0,i^∗).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Exemple

σ:







1→12 2→13 3→1

rel`ev.

−→ Θσ :







(~0,1)→ {(~0,1),(~e1,2)}

(~0,2)→ {(~0,1),(~e₁,3)}

(~0,3)→ {(~0,1)}

dual.

−→ Θ^∗_σ :







(~0,1^∗)→ {(~0,1^∗),(~0,2^∗),(~0,3^∗)} (~0,2^∗)→ {(−~e3,1^∗)}

(~0,3^∗)→ {(−~e₃,2^∗)}

Possiblesrecouvrementsdes images de faces distinctes : Θ^∗_σ(~e1,2^∗) ={(~0,1^∗)} ⊂Θ^∗_σ(~0,1^∗).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Exemple

σ:







1→12 2→13 3→1

rel`ev.

−→ Θσ :







(~0,1)→ {(~0,1),(~e1,2)}

(~0,2)→ {(~0,1),(~e₁,3)}

(~0,3)→ {(~0,1)}

dual.

−→ Θ^∗_σ :







(~0,1^∗)→ {(~0,1^∗),(~0,2^∗),(~0,3^∗)}

(~0,2^∗)→ {(−~e3,1^∗)}

(~0,3^∗)→ {(−~e₃,2^∗)}

Possiblesrecouvrementsdes images de faces distinctes : Θ^∗_σ(~e1,2^∗) ={(~0,1^∗)} ⊂Θ^∗_σ(~0,1^∗).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Exemple

σ:







1→12 2→13 3→1

rel`ev.

−→ Θσ :







(~0,1)→ {(~0,1),(~e1,2)}

(~0,2)→ {(~0,1),(~e₁,3)}

(~0,3)→ {(~0,1)}

dual.

−→ Θ^∗_σ :







(~0,1^∗)→ {(~0,1^∗),(~0,2^∗),(~0,3^∗)}

(~0,2^∗)→ {(−~e3,1^∗)}

(~0,3^∗)→ {(−~e₃,2^∗)}

Possiblesrecouvrementsdes images de faces distinctes : Θ^∗_σ(~e1,2^∗) ={(~0,1^∗)} ⊂Θ^∗_σ(~0,1^∗).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e En bref. . .

Θ∗σ

σ sur mots^rel`−→^ev.Θ_σ sur segments ^dual.−→ Θ^∗_σ sur faces.

Θ^∗_σ est lasubstitution g´en´eralis´eeassoci´ee `aσ [Arnoux-Ito, 2001] : agit sur les ensembles de faces de l’espace ;

expression analytique quand detM_σ =±1.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e

1 Plans et surfaces pliss´es

2 Substitutions g´en´eralis´ees

3 Reconnaissance de plan

4 Euclide g´en´eralis´e

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Images de plans et surfaces pliss´es (substitution)

Th´eor`eme [F. 2006]

Θ^∗_σ envoie sans recouvrement le plan pliss´e P_~α,ρ sur PtMσα,ρ~ .

Θ^∗σ

Th´eor`eme [F. 2006, Arnoux-Berth´e-F.-Jamet 2007] Θ^∗_σ agit sans recouvrement sur les surfaces pliss´ees.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Images de plans et surfaces pliss´es (substitution)

Th´eor`eme [F. 2006]

Θ^∗_σ envoie sans recouvrement le plan pliss´e P_~α,ρ sur PtMσα,ρ~ .

Θ^∗σ

Th´eor`eme [F. 2006, Arnoux-Berth´e-F.-Jamet 2007]

Θ^∗_σ agit sans recouvrement sur les surfaces pliss´ees.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Images de plans et surfaces pliss´es (substitution)

Th´eor`eme [F. 2006]

Θ^∗_σ envoie sans recouvrement le plan pliss´e P_~α,ρ sur PtMσα,ρ~ .

Θ^∗σ

Th´eor`eme [F. 2006, Arnoux-Berth´e-F.-Jamet 2007]

Θ^∗_σ agit sans recouvrement sur les surfaces pliss´ees.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Images de plans et surfaces pliss´es (substitution)

Th´eor`eme [F. 2006]

Θ^∗_σ envoie sans recouvrement le plan pliss´e P_~α,ρ sur PtMσα,ρ~ .

Θ^∗

σ

Th´eor`eme [F. 2006, Arnoux-Berth´e-F.-Jamet 2007]

Θ^∗_σ agit sans recouvrement sur les surfaces pliss´ees.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e D´esubstitution

D´efinition

Surface pliss´eeσ-pavable : partition par translat´es de Θ^∗_σ(~0,i^∗).

ant´ec´edent “propre” (pas de recouvrement).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e D´esubstitution

D´efinition

Surface pliss´eeσ-pavable : partition par translat´es de Θ^∗_σ(~0,i^∗).

ant´ec´edent “propre” (pas de recouvrement).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e D´esubstitution

D´efinition

Surface pliss´eeσ-pavable : partition par translat´es de Θ^∗_σ(~0,i^∗).

ant´ec´edent “propre” (pas de recouvrement).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e D´esubstitution

Th´eor`eme [Berth´e-F., 2007]

Une surface pliss´eeσ-pavable admet un unique ant´ec´edent par Θ^∗_σ. De plus, cet ant´ec´edent est aussi une surface pliss´ee.

on parle de d´esubstituabilit´e d’une surface pliss´ee.

Proposition

Seuls les plans pliss´es se d´esubstituent en plans pliss´es. Proposition

Un plan pliss´enon plat est toujours d´esubstituable (σ bien choisi).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e D´esubstitution

Th´eor`eme [Berth´e-F., 2007]

Une surface pliss´eeσ-pavable admet un unique ant´ec´edent par Θ^∗_σ. De plus, cet ant´ec´edent est aussi une surface pliss´ee.

on parle de d´esubstituabilit´e d’une surface pliss´ee.

Proposition

Seuls les plans pliss´es se d´esubstituent en plans pliss´es.

Proposition

Un plan pliss´enon platest toujours d´esubstituable (σ bien choisi).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Reconnaissance de plan

Sch´ema pour d´ecider si une surface pliss´eeS₀ est un plan pliss´e : Construire une suite (S_n)n≥0, o`u S_n+1 d´esubstitu´ee de S_n. Alors :

∃N t.q. S_N plan pliss´e plat⇒ S₀ plan pliss´e ;

∃N t.q. S_N non d´esubstituable ⇒ S₀ pas plan pliss´e ;

Deux probl`emes :

cas d’une suite infinie ? choix des substitutions ?

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Reconnaissance de plan

Sch´ema pour d´ecider si une surface pliss´eeS₀ est un plan pliss´e : Construire une suite (S_n)n≥0, o`u S_n+1 d´esubstitu´ee de S_n. Alors :

∃N t.q. S_N plan pliss´e plat⇒ S₀ plan pliss´e ;

∃N t.q. S_N non d´esubstituable ⇒ S₀ pas plan pliss´e ; Deux probl`emes :

cas d’une suite infinie ? choix des substitutions ?

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Reconnaissance de plan

SiS_N plan pliss´e plat, alors ∃c ∈Z,i ∈ {1,2,3} t.q. : S_N =P_α,ρ~ ⇔ ~α=~e_i etρ∈[c,c+ 1[.

Siσ_j est la substitution t.q. Θ^∗_σ

j(S_j+1) =S_j, alors : S₀ =P_~α,ρ ⇔ ~α=^tM~ei etρ∈[c,c+ 1[. o`u M =MσN−1×. . .×Mσ0.

ensemble des param`etres acceptables d’un plan pliss´e reconnu.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Reconnaissance de plan

SiS_N plan pliss´e plat, alors ∃c ∈Z,i ∈ {1,2,3} t.q. : S_N =P_α,ρ~ ⇔ ~α=~e_i etρ∈[c,c+ 1[.

Siσ_j est la substitution t.q. Θ^∗_σ

j(S_j+1) =S_j, alors : S₀ =P_~α,ρ ⇔ ~α=^tM~ei etρ∈[c,c+ 1[.

o`u M =MσN−1×. . .×Mσ0.

ensemble des param`etres acceptables d’un plan pliss´e reconnu.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Patch : probl`emes des bords

L’image d’un patch est un patch (plus grand).

D´esubstitution : probl`eme des bords.

traitement des paliers extr´emaux de droite discr`ete `a g´en´eraliser.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e

1 Plans et surfaces pliss´es

2 Substitutions g´en´eralis´ees

3 Reconnaissance de plan

4 Euclide g´en´eralis´e

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Fractions continuesd-dimensionnelles

But :

Approximation simultan´ee d’und-uplet de r´eels par des rationnels : δ >0, ~α∈[0,1]^d (q_n, ~p_n)∈N^∗×Z^d t.q. ||q_n~α−~p_n|| ≤q^−δ_n .

Principe g´en´eral :

~

α =~α₀ −→^M0 ~α₁ −→^M1 . . .^M−→ⁿ⁻¹α~_n−→^Mn . . .

o`u M_n∈GL(d+ 1,N) t.q. (1, ~α_n)∝M_n(1, ~α_n+1). Convergents : (1, ~α) ∝ M₀×. . .×M_n(1, ~α_n+1)

(qn, ~pn) ∝ M0×. . .×Mn(1, ~0).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Fractions continuesd-dimensionnelles

But :

Approximation simultan´ee d’und-uplet de r´eels par des rationnels : δ >0, ~α∈[0,1]^d (q_n, ~p_n)∈N^∗×Z^d t.q. ||q_n~α−~p_n|| ≤q^−δ_n . Principe g´en´eral :

~

α =~α₀ −→^M0 ~α₁ −→^M1 . . .^M−→ⁿ⁻¹α~_n−→^Mn . . . o`u M_n∈GL(d+ 1,N) t.q. (1, ~α_n)∝M_n(1, ~α_n+1).

Convergents : (1, ~α) ∝ M₀×. . .×M_n(1, ~α_n+1)

(qn, ~pn) ∝ M0×. . .×Mn(1, ~0).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Fractions continuesd-dimensionnelles

But :

Approximation simultan´ee d’und-uplet de r´eels par des rationnels : δ >0, ~α∈[0,1]^d (q_n, ~p_n)∈N^∗×Z^d t.q. ||q_n~α−~p_n|| ≤q^−δ_n . Principe g´en´eral :

~

α =~α₀ −→^M0 ~α₁ −→^M1 . . .^M−→ⁿ⁻¹α~_n−→^Mn . . .

o`u M_n∈GL(d+ 1,N) t.q. (1, ~α_n)∝M_n(1, ~α_n+1). Convergents : (1, ~α) ∝ M₀×. . .×M_n(1, ~α_n+1)

(qn, ~pn) ∝ M0×. . .×Mn(1, ~0).

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Algorithme d’Euclide (d= 1)

α_n+1 = 1 α_n −

1 α_n

=T(α_n).

On a : (1, α_n)∝E_an(1, α_n+1), avec : an=bα⁻¹_n c et Ea=

a 1 1 0

.

Convergence enδ = 1 :

(qn,pn)∝Ea0×. . .×Ean(1,0) ⇔ pn

q_n = 1

a0+ 1 a₁+. ..

.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Algorithme d’Euclide (d= 1)

α_n+1 = 1 α_n −

1 α_n

=T(α_n).

On a : (1, α_n)∝E_an(1, α_n+1), avec : an=bα⁻¹_n c et Ea=

a 1 1 0

.

Convergence enδ = 1 :

(qn,pn)∝Ea0×. . .×Ean(1,0) ⇔ pn

q_n = 1

a0+ 1 a₁+. ..

.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Algorithme de Brun (d= 2)

(α_n+1, β_n+1) =

( (T(α_n),_α^βn

n) si α_n≥β_n (^α_βⁿ

n,T(βn)) sinon.

On a : (1, α_n, β_n)∝B_an,εn(1, α_n+1, β_n+1), avec : (a_n, ε_n) =

(bα⁻¹_n c,1) siα_n≥β_n (bβ_n⁻¹c,2) sinon.

Ba,1=





a 1 0 1 0 0 0 0 1



 et Ba,2 =





a 0 1 0 1 0 1 0 0





Convergence enδ >0presque partout.

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Exemple

Euclide : π

4 (an)n= (1,3,1,1,1,15, . . .) p7

q7

= 355

452= 0.7853982. . .

e

3 (an)n= (1,9,1,1,1,5, . . .) p9

q9

= 550

607= 0.906095. . .

Brun : π

4,e 3

(a_n, ε_n)_n= ((1,2),(1,1),(6,1),(1,2),(1,1),(1,1), . . .) p₁₇⁽¹⁾

q₁₇,p₁₇⁽²⁾ q₁₇

!

=

65990

84021,76131 84021

= (0.7853988. . .,0.906094. . .)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Exemple

Euclide : π

4 (an)n= (1,3,1,1,1,15, . . .) p7

q7

= 355

452= 0.7853982. . .

e

3 (an)n= (1,9,1,1,1,5, . . .) p9

q9

= 550

607= 0.906095. . . Brun :

π 4,e

3

(a_n, ε_n)_n= ((1,2),(1,1),(6,1),(1,2),(1,1),(1,1), . . .) p₁₇⁽¹⁾

q₁₇,p₁₇⁽²⁾ q₁₇

!

=

65990

84021,76131 84021

= (0.7853988. . .,0.906094. . .)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1, α0, β0) = (1,¹¹₁₄,¹⁹₂₁)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,¹¹₁₄,¹⁹₂₁)∝B1,2(1,³³₃₈,₁₉² )

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,³³₃₈,₁₉²)∝B1,1(1,₃₃⁵,₃₃⁴ )

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,₃₃⁵,₃₃⁴)∝B6,1(1,³₄,⁴₅)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,³₄,⁴₅)∝B1,2(1,³₄,¹₄)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,³₄,¹₄)∝B1,1(1,¹₃,¹₃)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,¹₃,¹₃)∝B3,1(1,0,1)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Lien avec les substitutions g´en´eralis´ees

Num´eration G´eom´etrie

d-uplet ~α∈[0,1]^d plan pliss´eP_(1,~α) (1, ~α_n) =M_n(1, ~α_n+1) P_(1,~αn)= Θ^∗_σn(P_(1,~αn+1))

avec^tMnmatrice d’incidence deσn

(1,0,1)∝B1,2(1,0,0)

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Plans et surfaces pliss´es Substitutions g´en´eralis´ees Reconnaissance de plan Euclide g´en´eralis´e Retour sur la reconnaissance de plan

D´eterminer si une surface est plane : “d´evelopper” cette surface.

d´eveloppement fini (plan plat) ⇔plan rationnel ; d´eveloppement infini ⇔plan irrationnel ;

erreur de d´esubstitution ⇔ surface non plane (δ >0).

Choix des substitutions (ex. Brun) :

Conclusion

Dans cet expos´e :

Sch´ema de reconnaissance d’hyperplan discret (infini).

Lien avec les fractions continues multidimensionnelles.

Pas dans cet expos´e :

Algorithme dans le cas fini (probl`eme des bords). Polygonalisation, version incr´ementale. . .

Pas dans cet expos´e non plus :

Codimensions sup´erieures (pavage de Penrose. . . ). G´en´eration de domaines fondamentaux (motifs fractals).

Conclusion

Dans cet expos´e :

Sch´ema de reconnaissance d’hyperplan discret (infini).

Lien avec les fractions continues multidimensionnelles.

Pas dans cet expos´e :

Algorithme dans le cas fini (probl`eme des bords).

Polygonalisation, version incr´ementale. . .

Pas dans cet expos´e non plus :

Codimensions sup´erieures (pavage de Penrose. . . ). G´en´eration de domaines fondamentaux (motifs fractals).

Conclusion

Dans cet expos´e :

Sch´ema de reconnaissance d’hyperplan discret (infini).

Lien avec les fractions continues multidimensionnelles.

Pas dans cet expos´e :

Algorithme dans le cas fini (probl`eme des bords).

Polygonalisation, version incr´ementale. . . Pas dans cet expos´e non plus :

Codimensions sup´erieures (pavage de Penrose. . . ).

G´en´eration de domaines fondamentaux(motifs fractals).