A147 La partition égyptienne de 2005 Solution
Des solutions ont été trouvées par Jean Moreau de Saint Martin, Paul Voyer et Némésis.
Une partition de 2005 en dix termes s’obtient assez aisément :
2005 = 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 32 + 48 + 160 + 288 +1440
et 1 = 1/3 +1/4 +1/6 +1/8 +1/16 +1/32 +1/48 +1/160 +1/288 +1/1440 (solution de Jean Moreau de Saint Martin)
2005 = 2 + 3 + 9 + 45 + 80 + 120 + 162 + 324 + 540 + 720
et 1 = 1/2 + 1/3 +1/9 + 1/45 + 1/80 +1/120 + 1/162 + 1/324 + 1/540 + 1/720
2005 = 2 + 3 + 8 + 60 + 144 + 180 + 216 + 240 + 432 + 720
et 1 = 1/2 +1/3 +1/8 +1/60 +1/144 +1/180 +1/216 +1/240 +1/432 +1/720
Mais il y a bien mieux et Némésis a trouvé plusieurs solutions avec 7 termes seulement qui constituent donc à ce jour la partition optimale :
2005=2 + 3 + 7 + 54 + 364 + 756 + 819
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/54 + 1/364 + 1/756 + 1/819
2005 = 2 + 3 + 7 + 56 + 364 + 429 + 1144
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/56 + 1/364 + 1/429 + 1/1144
2005 = 2 + 3 + 7 + 63 + 180 + 700 + 1050
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/63 + 1/180 + 1/700 + 1/1050
2005 = 2 + 3 + 7 + 84 + 104 + 741 + 1064
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/84 + 1/104 + 1/741 + 1/1064
2005 = 2 + 3 + 8 + 39 + 104 + 172 + 1677
1= 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/39 + 1/104 + 1/172 + 1/1677
2005 = 2 + 3 + 9 + 28 + 65 + 260 + 1638
1= 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/28 + 1/65 + 1/260 + 1/1638
2005 = 2 + 3 + 10 + 24 + 44 + 682 + 1240
1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/24 + 1/44 + 1/682 + 1/1240
2005 = 2 + 3 + 10 + 28 + 40 + 186 + 1736
1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/28 + 1/40 + 1/186 + 1/1736
2005 = 2 + 3 + 10 + 30 + 38 + 155 + 1767
1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/30 + 1/38 + 1/155 + 1/1767
2005 = 2 + 3 + 12 + 20 + 32 + 880 + 1056
1 = 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/20 + 1/32 + 1/880 + 1/1056 2005 = 2 + 3 + 14 + 20 + 30 + 88 + 1848
1 = 1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/20 + 1/30 + 1/88 + 1/1848
2005 = 2 + 4 + 5 + 24 + 165 + 760 + 1045
1= 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/24 + 1/165 + 1/760 + 1/1045
2005 = 2 + 4 + 6 + 13 + 264 + 572 + 1144
1= 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/13 + 1/264 + 1/572 + 1/1144
2005 = 2 + 4 + 6 + 13 + 270 + 540 + 1170
1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/13 + 1/270 + 1/540 + 1/1170
2005 = 2 + 4 + 6 + 18 + 39 + 792 + 1144
1= 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/18 + 1/39 + 1/792 + 1/1144
2005 = 2 + 4 + 6 + 19 + 38 + 264 + 1672
1= 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/19 + 1/38 + 1/264 + 1/1672
2005 = 2 + 4 + 7 + 14 + 42 + 88 + 1848
1 = 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/42 + 1/88 + 1/1848
2005 = 2 + 5 + 6 + 10 + 60 + 62 + 1860
1= 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/60 + 1/62 + 1/1860
A noter que pour l’année 2004 Christian Romon a amélioré la solution du problème A101 avec seulement 8 termes et la décomposition suivante :
2004 = 2 + 4 + 9 +12 + 43 + 56 + 72 + 1806 et 1 = 1/2 + 1/4 +1/9 +1/12 + 1/43 +1/56 + 1/72 +1/1806
Némésis de son côté a trouvé une décomposition en six termes qui est la suivante 2004 = 2 + 3 + 7 + 48 + 432 + 1512 et 1 = 1/2+1/3 + 1/7 +1/48 +1/432 +1/1512 et vingt quatre en sept termes telles que par exemple 2004 = 2 + 3 + 7 + 56 + 336 + 480 + 1120 et 1 = 1/2 + 1/3 +1/7 + 1/56 +1/336 +1/480 +1/1120, 2004 = 2 + 3 + 7 + 60 + 252 + 420 + 1260 et 1 = 1/2 + 1/3 +1/7 + 1/60 +1/252 +1/420 + 1/1260 etc… Bravo !
