MPSI A - B Année 2017-2018. Corrigé DS Commun 2 le 25/05/18 26 mai 2018

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Partie I. Variables de Rademacher

1. a. Soit X une R-variable. Son espérance est nulle : E(X ) = P (X = 1)− P (X = −1) = 0 . Comme X ² = 1 , sa variance vaut 1 : V (X ) = E(X ² ) − E(X ) ² = E(1) − 0 = 1 . b. Comme X et Y ne prennent que les valeurs 1 et −1 ,

{XY = 1} = {(X = 1) ∩ (Y = 1)} ∪ {(X = −1) ∩ (Y = −1)}

{XY = −1} = {(X = 1) ∩ (Y = −1)} ∪ {(X = −1) ∩ (Y = 1)}.

Alors :

P (XY = 1) = P ((X = 1) ∩ (Y = 1)) + P ((X = −1 ∩ (Y = −1))

= P (X = 1) P (Y = 1) + P (X = −1) P (Y = −1) (indépendance)

= 1 2 × 1

2 + 1 2 × 1

2 = 1 2 .

De même, P (XY = −1) = 1

2 . Donc XY est une R-variable.

2. a. Comme les variables c 1 , ..., c n sont mutuellement indépendantes :

P ((c 1 = ε 1 ) ∩ ... ∩ (c n = ε n )) = P (c 1 = ε 1 )... P (c n = ε n ) = 1 2 ⁿ .

b. Soit ω ∈ Ω . Si C ⁰ (ω) = ±C(ω) , la famille (C(ω), C ⁰ (ω)) est évidemment liée.

Réciproquement, si cette famille est liée, Il existe λ ∈ R tel que C ⁰ (ω) = λC(ω) (puisque C(ω) 6= 0 ). Alors c ⁰ ₁ (ω) = λc ₁ (ω) . Comme c ₁ (ω), c ⁰ ₁ (ω) = ±1 , alors λ = ±1 donc C ⁰ (ω) = ±C(ω) .

Alors :

P ((C, C ⁰ ) liée ) = P (C ⁰ = C) + P (C ⁰ = −C).

D'une part :

P (C ⁰ = C) = X

(ε

₁

,...,ε

_n

)∈{−1,+1}

ⁿ

P ((c 1 = c ⁰ ₁ = ε 1 ) ∩ ... ∩ (c n = c ⁰ _n = ε n ))

= X

(ε

1

,...,ε

n

)∈{−1,+1}

ⁿ

P ((c 1 = ε 1 ) ∩ (c ⁰ ₁ = ε 1 ) ∩ ... ∩ (c n = ε n ) ∩ (c ⁰ _n = ε n ))

= X

(ε

₁

,...,ε

_n

)∈{−1,+1}

ⁿ

1 2 ²ⁿ

= 2 ⁿ

4 ⁿ puisque Card({−1, +1} ⁿ ) = 2 ⁿ

= 1 2 ⁿ .

D'autre part, on trouve de même que P (C ⁰ = −C) = 1

2 ⁿ . En conclusion : P ((C, C ⁰ ) liée ) = 1

2 ⁿ⁻¹ .

Partie II. Outils matriciels

1. Le sens indirect est évident. Pour le sens direct, supposons la famille (C 1 , ..., C n ) liée. Il existe une famille (λ ₁ , ..., λ _n ) ∈ R ⁿ de réels non tous nuls tels que λ ₁ C ₁ +...+λ _n C _n = 0 . L'ensemble {i ∈ J 1, n K | λ _i 6= 0} est non vide et majoré par n , il possède donc un pus grand élément j . Pour tout i ≥ j + 1 , λ _i = 0 , donc :

λ ₁ C ₁ + ... + λ _j C _j = 0 = ⇒ C _j = − λ ₁ λ j

C ₁ − ... − λj − 1 λ j

C _j−1 . Donc C j ∈ Vect(C 1 , ..., C j−1 ) .

2. Notons B n et B d les bases canoniques de R ⁿ et R ^d . Soit B = (e 1 , ..., e d ) une base de H . Notons A = (x i,j ) _i∈

J 1,n K , j∈ J 1,d K la matrice des vecteurs (e 1 , ..., e d ) dans la base canonique B n . cette matrice est de rang d , puisque la famille de vecteurs (e 1 , ..., e d ) est de rang d . Elle possède donc une matrice extraite B inversible de dimensions d × d . Notons 1 ≤ i 1 < ... < i d ≤ n les indices des lignes de la matrice A utilisées pour constituer la matrice B :

B =







x i

₁

,1 . . . x i

₁

,d

... ...

x i

_d

,1 . . . x i

_d

,d





 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Benoît SaleurS1710C

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Notons alors :

f :



 

 

 

 

H → R ^d





 x 1

...

x n





 7→





 x i

₁

...

x i

_d





 L'appication f est linéaire, et pour tout j ∈ J 1, d K :

f (e _j ) = f











 x _1,j

...

x _n,j











 =





 x _i

₁

_,j

...

x _i

_d

_,j





 .

Comme la matrice B est inversible, ses colonnes forment une base. L'image de la base (e 1 , ..., e d ) de H par f est une base, donc f est un isomorphisme. En particulier, f est bijective.

3. Conservons les notations de la question précédente. L'ensemble f (H R ) est une partie de R ^d de même cardinal que H R , constituée de vecteurs dont les coordonnées valent +1 ou −1 . Or, il y a exactement 2 ^d vecteurs de R ^d donc les coordonnées valent +1 ou

−1 , donc card(H R ) ≤ 2 ^d .

4. Notons A la matrice de colonnes C 1 , ..., C d . La matrice A est de rang d puisque la famille (C 1 , ..., C d ) est libre. L'application :

L ∈ M _1,n ( Q ) 7→ LA ∈ Q

est linéaire, de rang d , donc son noyau est de dimension n − d ≥ 1 par la formule du rang. On en déduit qu'il existe L ∈ M 1,n ( Q ) non nul tel que LA = 0 . Comme les coecients de L sont rationnels, il existe un entier p ∈ N ^∗ tel que pL soit à coecients entiers. La matrice ligne pL est non nulle et comme pLA = 0 , pour tout i ∈ J 1, d K, pLC i = 0 .

Partie III.

1. • Soit la matrice M (ω) est inversible (et alors ω ∈ R n ), soit la famille de ses colonnes (C 1 (ω), ..., C n (ω)) est liée, et dans ce dernier cas, d'après la partie I, il existe j ∈ J 1, n − 1 K tel que C j+1 (ω) ∈ Vect(C 1 (ω), ..., C j (ω)) . Notons alors i le plus pe- tit entier dans J 1, n − 1 K tel que c i+1 (ω) ∈ Vect(C 1 (ω), ..., C i (ω)) . Alors la famille (C i (ω), ..., C n (ω)) est libre, donc ω ∈ R i . On en déduit que :

Ω =

n

[

j=1

R _j .

• Soient 1 ≤ i < j ≤ n − 1 . Motrons que R i ∩ R j = ∅ . Soit ω ∈ R j . La famille (C 1 (ω), ..., C j (ω)) est libre, donc il en va de même pour la famille (C 1 (ω), ..., C i+1 (ω)) (puisque i + 1 ≤ j et puisqu'une sous-famille d'une famille libre est libre). Donc C _i+1 (ω) 6∈ Vect(C ₁ (ω), ..., C _i (ω)) , puis ω 6∈ R _i . Ainsi, R _i ∩ R _j = ∅ .

La famille (R 1 , ..., R n ) est donc un système complet d'événements.

2. a. D'après la question précédente :

P (Ω \ R n ) = P





n−1

[

j=1

R j



 =

n−1

X

j=1

P (R j ).

Mais pour tout j ∈ J 1, n − 1 K, R j ⊂ {C j+1 ∈ Vect(C 1 , ..., C j )} , donc P (R j ) ≤ P (C j+1 ∈ Vect(C 1 , ..., C j ) . Donc :

P (M 6∈ GL _n ( R )) = P (Ω \ R _n ) ≤

n−1

X

j=1

P (C _j+1 ∈ Vect(C ₁ , ..., C _j )).

b. Notons d = dim(H j (ω)) ≤ j . D'après la partie II, Card(H j (ω) ∩ Ω n,1 )) est un ensemble ni de cardinal r ≤ 2 ^d ≤ 2 ^j . Notons D ₁ , ..., D _r les élments de H j (ω) . Alors C _j+1 ∈ H j (ω) ⇐⇒ C _j+1 = D ₁ ou C _j+1 = D ₂ ou ... ou C _j+1 = D _r , donc :

P (C i+1 ∈ H j (ω)) =

r

X

i=1

P (C j+1 = D i ).

Soit i ∈ J 1, r K. Notons d 1 , ..., d n les coordonnées de D i , et c 1 , ..., c n les coordonnées de C j+1 . D'après la partie 1 :

P (C j+1 = D i ) = P ((c 1 = d 1 ) ∩ ... ∩ (c n = d n )) = 1 2 ⁿ . Ainsi :

P (C j+1 ∈ H j (ω)) = r 2 ⁿ ≤ 2 ^j

2 ⁿ = 2 ^j−n . Conclusion :

P (C _j+1 ∈ Vect(C ₁ , ..., C _j ))

= X

d1,...,dj

∈Ω

n,1

P (C _j+1 ∈ Vect(d ₁ , ..., d _j )|C 1 = d ₁ , ..., C _j = d _j ) P (C ₁ = d ₁ , ..., C _j = d _j )

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Comme les variables aléatoires C j+1 et (C 1 , ..., C j ) sont indépendantes : P (C j+1 ∈ Vect(d 1 , ..., d j |C 1 = d 1 , ..., C j = d j )

= P (C _j+1 ∈ Vect(d ₁ , ..., d _j )) ≤ 2 ^j−n . Donc :

P (C j+1 ∈ Vect(C 1 , ..., C j )) ≤ 2 ^j−n X

d

₁

,...,d

_n

∈Ω

n,1

P (C 1 = d 1 , ..., C j d j )

| {z }

2

^−nj

= 2 ^j−n Card(Ω ^j _n,1 )

| {z }

=2

^nj

2 ^−nj

= 2 ^j−n . c. D'après les questions a et b :

P (M 6∈ GL n ( R )) ≤

n−1

X

j=1

2 ^j−n =

n−1

X

j=1

2 ^−j = 1 2

1 − 2 ⁻ⁿ⁺¹

1 − ¹ ₂ = 1 − 1 2 ⁿ⁻¹ .

Partie IV. Anti-chaînes

1. Notons A k l'ensemble des parties à k éléments de J 1, n K. Considérons deux parties à k éléments : si l'une des deux est incluse dans l'autre, elles sont égales car elles ont le même nombre d'éléments. Par contraposition, cela prouve que A k est une anti-chaîne.

2. Soit A un élément d'une anti-chaîne. Classons les éléments de S A selon leur restriction à J 1, |A| . Cette restriction est une bijection entre deux ensembles de cardinal |A| . Il existe donc |A|! classes. Comme σ ∈ S A est une permutation de J 1, n K, la restriction de σ à J |A| + 1, n K est encore une bijection mais entre des ensembles de cardinal n − |A| . Chaque classe contient donc (n − |A|)! éléments. On en déduit

Card(S A ) = |A|!(n − |A|)!.

3. a. Comme A et B sont distincts aucun des deux n'est inclus dans l'autre. Supposons

|A| ≤ |B| et considérons un σ ∈ S _A ∩ S _B . Alors pour tout a ∈ A , il existe i ∈ J 1, |A| K tel que σ(i) = a . Comme i ∈ J 1, |B| K car |A| ≤ |B| , on a aussi a = σ(i) ∈ B . On en déduit A ⊂ B ce qui est impossible dans une anti-chaîne.

b. Comme les S A sont disjoints pour les A ∈ A , [

A∈A

S A ⊂ S n ⇒ X

A∈A

Card(S A ) ≤ n! ⇒ X

A∈A

|A|!(n − |A|)! ≤ n!.

En regroupant les A de même cardinal k (il y en a a k ), on obtient

n

X

k=0

a _k k!(n − k)! ≤ n! ⇒

n

X

k=0

a _k

n k

≤ 1.

c. En utilisant l'inégalité donnée par l'énoncé,

1 ≥

n

X

k=0

a k n k

≥

n

X

k=0

a k n bn/2c

⇒ n

bn/2c

≥

n

X

k=0

a k = Card(A)

en classant les éléments de A suivant leur nombre d'éléments.

4. a. Par dénition du produit ligne par colonne, S _A = P

i∈A l _i − P

i∈A l _i . Or A ⊂ B entraine B ⊂ A . On en déduit

S _B − S _A = X

i∈B∩A

l _i + X

i∈A∩B

l _i = 2 X

i∈B∩A

l _i ≥ 2

car B ∩ A 6= ∅ ( a 6= B ) et l _i ≥ 1 .

b. On peut associer à chaque colonne C ∈ Ω _n,1 ∩ V _J une partie A de J 1, n K telle que C A = C . Notons A l'ensemble des parties ainsi formées. C'est une anti-chaîne car par dénition de V J , pour tout couple (A, B) ∈ A ² , |s A −s B | = |LC A −LC B | < 2 . D'après a., cela interdit une inclusion entre A et B . On a formé ainsi une anti- chaîne de cardinal Card(Ω n,1 ∩ V J ) . De la question 3.b., on déduit

Card(Ω _n,1 ∩ V _J ) ≤ n

bn/2c

. Si L = l ₁ · · · l _n

est une matrice ligne telle que |l i | ≥ 1 pour tous les i , on adapte aux signes des coecients de L l'association entre les parties de J 1, n K et les colonnes formées de ±1 .

Pour toute colonne C formée de ±1 , on dénit une partie A de J 1, n K, par

C =





 c 1

...

c n





 avec ∀i ∈ J 1, n K , i ∈ A ⇔ l i c i ≥ 1.

Ceci dénit encore une bijection entre les parties de J 1, n K et les colonnes de ±1 qui permet de raisonner comme dans le premier cas..

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