MPSI B Année 2018-2019. DS 8 le 22/03/19 29 juin 2019

MPSI B Année 2018-2019. DS 8 le 22/03/19 29 juin 2019

Exercice 1

Cet exercice repose sur l'utilisation de sommes de Riemann. Il convient de citer le théo- rème utilisé et de préciser la fonction à laquelle on l'applique.

Deux suites (a n ) n∈ N

et (b n ) n∈ N

sont dénies par :

∀n ∈ N ^∗ , a _n =

n−1

X

k=0

n

(n + k) ² , b _n = 1 2 −

n−1

X

k=0

n (n + k) ² .

1. Calculer

Z 1

0

dx (1 + x) ² . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de (a _n ) _{n∈ N}

. 3. Soit F ∈ C ² ([a, b]) .

a. Appliquer à la fonction F la formule de Taylor avec reste intégral entre a et b à l'ordre 1 .

b. En déduire l'existence d'un c ∈ [a, b] tel que

F (b) = F(a) + (b − a)F ⁰ (a) + (b − a) ²

2 F ⁰⁰ (c) (reste de Lagrange) . 4. a. Pour n ∈ N ^∗ , en utilisant la question 3.b. à des intervalles et à une fonction

soigneusement précisés, montrer que nb n est une somme de Riemann.

b. En déduire un développement limité de la suite (a n ) _n∈N

.

Exercice 2

Soit n et m deux nombres entiers positifs ou nuls et x un nombre réel. On considère l'intégrale

J _n,m (x) = Z x

0

(x − t) ⁿ t ^m dt.

1. Exprimer J n,m (x) en fonction de J _n−1,m+1 (x) pour n ≥ 1 . 2. En déduire une expression de J n,m (x). (on calculera J 0,n+m (x) )

3. En développant le binôme (x − t) ⁿ , donner une nouvelle expression de J _n,m (x) .

4. Déduire des questions précédentes la valeur des sommes

n

X

p=0

(−1) ^p

p!(n − p)!(m + p + 1) .

5. Soit x un nombre réel. Calculer successivement sous les hypothèses a., b., c., d. l'inté- grale

F (x) = Z x

0

f (x − t)f (t)dt.

a. f (t) = e ^t .

b. f (t) = t ^k où k ∈ N.

c. f (t) = _1−t ¹ en supposant x < 1 . d. f (t) =

1 si t ∈ [0, 1]

0 si t / ∈ [0, 1]

Problème 1

Dans ce problème, α et β sont des entiers naturels non nuls. Lorsque k ∈ N, on désigne par C k [X] l'ensemble formé par le polynôme nul et les polynômes à coecients complexes de degré inférieur ou égal à k .

On considère deux polynômes à coecients complexes A et B respectivement de degré α et β . Le plus grand diviseur commun à A et B est noté A ∧ B .

On dénit une fonction Φ par :

Φ : (

C β−1 [X ] × C α−1 [X ] → C α+β−1 [X ] (P, Q) →P A + QB 1. Préciser les dimensions de C α+β−1 [X ] et C β−1 [X ] × C α−1 [X ] .

2. Soit a ∈ C et N a la partie de C α+β−1 [X ] formée par les polynômes admettant a pour racine.

Montrer que N a est un hyperplan de C α+β−1 [X] . Quelle est sa dimension ?

3. Soit Q ∈ C α+β−1 [X] et M(Q) la partie de C α+β−1 [X ] formée par les multiples de Q . Montrer que M(Q) est un sous-espace vectoriel de C α+β−1 [X ] . Quelle est sa dimen- sion ?

4. Montrer que Φ est linéaire.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

MPSI B Année 2018-2019. DS 8 le 22/03/19 29 juin 2019

5. Montrer les implications suivantes puis conclure.

(a) Φ injective ⇒A ∧ B = 1

(b) Φ surjective ⇒A ∧ B = 1

(c) A ∧ B = 1 ⇒Φ injective

(d) A ∧ B = 1 ⇒Φ surjective

Pour chaque implication, vous devrez présenter deux démonstrations diérentes.

6. Montrer que :

deg(A ∧ B) = α + β − rg(Φ)

Problème 2

Dénissons diverses fonctions dans R. Pour tout réel x : λ(x) =

Z x

0

e ^−t

dt, f (x) = Z 1

0

e ^−x(1+t

⁾

1 + t ² dt, g(x) = Z 1

0

e ^−x(1+t

⁾ dt Notons que λ est l'unique primitive de t ∈ R 7→ e ^−t

s'annulant en 0 .

Le but de cet exercice est de démontrer que :

x→+∞ lim λ(x) =

√ π

2 (intégrale de Gauss) 1. Soit a ∈ [1, 2] . Dénissons une fonction ϕ dans R par :

∀x ∈ R , ϕ(x) = e ^−ax − 1 + ax.

On pourra utiliser une formule de Taylor à préciser.

a. Montrer que ϕ est à valeurs positives sur R.

b. Montrer que pour tout x réel : x ≥ − ln(2)

a ⇒ ϕ(x) ≤ a ² x ² ⇒

e ^−ax − 1 x + a

≤ a ² |x| pour x 6= 0.

Ces inégalités permettent de montrer que f est dérivable sur R + et que :

∀x ∈ R + , f ⁰ (x) = −g(x).

Cette propriété est admise et sera utile dans la n du problème.

2. Pour tout x ∈ R + , posons :

h(x) = f (x ² ) + λ(x) ² . a. Calculer h(0) .

b. Montrer que pour tout x > 0 :

λ(x) = x Z 1

0

e ^−x

^t

dt.

c. En déduire que h est constante sur R + .

d. Montrer que pour tout x ∈ R + , 0 ≤ f(x) ≤ e ^−x . En déduire la limite de f (x) quand x tend vers +∞ .

e. Montrer enn que :

x→+∞ lim λ(x) =

√ π 2 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2