Énoncé
Dans tout le texte,ndésigne un entier supérieur ou égal à2.
Un espace probabilisé(Ω,P)est xé. Toutes les variables aléatoires considérées sont dénies sur cet espace. Elles peuvent être à valeurs réelles ou matricielles.
Une variable aléatoire X à valeurs réelles est dite de Rademacher si et seulement si elle vérie :
X(Ω) ={−1,+1}, P(X=−1) =P(X = +1) = 1 2.
Pour abréger les énoncés, on désignera par R-variable une variable de Rademacher.
Pourq etnentiers naturels non nul, on désigne parΩq,n la partie deMq,n formée par les matrices constituées uniquement de−1 et de+1.
Partie I. Variables de Rademacher.
1. a. Calculer l'espérance et la variance d'une R-variable.
b. SoitXetY deux R-variables indépendantes. Montrer queXY est de Rademacher.
2. On considère 4 R-variables m11, m12, m21, m22 mutuellement indépendantes et la variable aléatoire
δ=
m11 m12 m21 m22
=m11m22−m21m12. a. Calculer l'espérance et la variance deδ.
b. CalculerP(δ= 0).
3. On considère des R-variablesc1,· · · , cn etc01,· · · , c0n mutuellement indépendantes.
a. Soit(ε1,· · ·, εn)∈ {−1,+1}n. CalculerP((c1=ε1)∩ · · · ∩(cn=εn)). b. On note
C=
c1
...
cn
, C0 =
c01
...
c0n
.
Pour tout ω ∈ Ω, montrer que (C(ω), C0(ω)) liée si et seulement si C0(ω) =
±C(ω). En déduireP((C, C0)liée)).
Partie II. Outils matriciels.
1. Soit(X1,· · ·, xn)la base canonique deMn,1(R)etV =X1+· · ·+Xn. Pouri∈J1, nK, exprimerXi en fonction deV et de V −2Xi. En déduire
Vect(Ωn,1) =Mn1(R).
2. SoitC1,· · ·, Cn des matrices colonnes deMn,1(R). Aucune de ces colonnes n'est nulle.
Montrer que si(C1,· · ·, Cn)est liée, il existe un unique j∈J1, n−1Ktel que (C1,· · · , Cj)libre etCj+1∈Vect(C1,· · ·, Cj).
3. Soit(C1,· · ·, Cd)une famille libre dans Mn,1(R)et H= Vect(C1,· · · , Cd). Montrer qu'il existe des entiersi1,· · ·, id tels que
1≤i1< i2<· · ·< id≤n et
H → Md,1(R)
x1
...
xn
7→
xi1
...
xid
bijective.
(on pourra penser aux matrices extraites)
4. SoitHun sous-espace deMn,1(R)de dimensiond. Montrer que Card(H ∩Ωn,1)≤2d.
5. Soitd < n et (C1,· · · , Cd) une famille libre dansMn,1(R)de colonnes à coecients dansZ. SoitH= Vect(C1,· · ·, Cd). Montrer qu'il existe une matrice ligne à coecients entiersL∈ M1,n(Z)non nulle telle que
∀X ∈ Mn,1(R), X ∈ H ⇒L X= 0.
Partie III. Matrices de Rademacher.
On considèren2variables de Rademacher mutuellement indépendantesmi,j avec(i, j)∈ J1, nK
2 et des variables aléatoires matricielles
M =
m11 · · · m1n
... ...
mn1 · · · mnn
, C1=
m11
...
mn1
,· · · , Cn=
m1n
...
mnn
.
Pour tout événement élémentaireω∈Ω, les matricesM(ω)etCi(ω)sont donc constituées uniquement de−1et de +1.
Pour toutj∈J1, n−1K, on noteRj l'événement
(C1,· · ·, Cj)libre etCj+1∈Vect(C1,· · · , Cj) On note aussiRn l'événement M est inversible .
1. Montrer queR1,· · ·, Rn est un système complet d'événements.
2. a. Montrer que
P(M non inversible )≤
n−1
X
j=1
P(Cj+1∈Vect(C1,· · ·, Cj)).
b. Fixons un événement élémentaireω ∈Ω. Pour j ∈J1, n−1K, on note Hj(ω) = Vect(C1(ω),· · · , Cj(ω)). Montrer que
P(Cj+1∈ Hj(ω))≤2j−n. En déduireP(Cj+1∈Vect(C1,· · ·, Cj))≤2j−n. c. Montrer queP(M non inversible )≤1−2n−11 .
Partie IV. Anti-chaînes.
SoitAune partie deP(J1, nK)(les éléments deAsont donc des parties deJ1, nK). On dit queAest une anti-chaîne si et seulement si
∀(A, B)∈ A2, A6=B⇒(A6⊂B etB 6⊂A).
Dans toute cette partie, A désigne une anti-chaîne. Soit A ∈ A de cardinal |A|. On note SA l'ensemble des permutationsσdeJ1, nKtelles que la restriction deσàJ1,|A|Kdénisse une bijection deJ1,|A|KdansA.
1. Exemple. Soitk∈J1, nK. Montrer que l'ensemble des parties deJ1, nKàkéléments est une anti-chaîne.
2. Pour un élémentAdeA, quel est le cardinal deSA?
3. a. SoitA etB deux éléments distincts deA. Montrer queSA∩SB=∅.
b. Pourk≤n, on désigne parak le nombre d'éléments deAde cardinalk. Montrer
que n
X
k=0
ak n k
≤1.
c. En utilisant sans démonstration
∀k∈J0, nK, n
k
≤ n
bn/2c
,
montrer que
Card(A)≤ n
bn/2c
.
4. SoitL= l1 · · · lnune matrice ligne telle queli ≥1 pour tous lesi. Pour toute partieA deJ1, nK, on pose
CA=
c1
...
cn
avec∀i∈J1, nK, ci=
( 1 sii∈A
−1 sii /∈A. On note aussisA=LCA.
a. Montrer que siA⊂B⊂J1, nKavecA6=B alorssB−sA≥2.
b. Soit J un intervalle ouvert de R de longueur 2. On dénit un ensemble VJ de matrices colonnes par :
∀C∈ Mn,1(R), C ∈VJ⇔LC∈J.
En considérant une certaine anti-chaîne, montrer que
Card (Ωn,1∩VJ)≤ n
bn/2c
.
Montrer que cette propriété reste vraie si on suppose seulement|li| ≥1pour tous lesi.
c. Soientc1, ..., cndes variables de Rademacher mutuellement indépendantes. Notons
C=
c1
...
cn
. Montrer que sinest susamment grand :
P(C∈VJ)≤ 1
√n.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant : il existen0 ∈ N∗ tel que pour toutn≥n0, n
bn/2c
≤ 2n
√n.
Partie V. Universalité.
Dans cette partie, k désigne un entier inférieur ou égal à n. Une partie V ⊂ Ωn,1 est dite k-universelle si pour tout k-uplet (j1, ..., jk) avec 1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n et tout
W =
w1
...
wn
∈Ωn,1, il existeV =
v1
...
vn
∈ V tel que wjl =vjl pour toutl∈J1, kK.
Soientn2variables de Rademacher mutuellement indépendantesmi,javec(i, j)∈J1, nK
2. On conserve les notations introduites au début de la partie III. Soitd∈J1, nK.
1. NotonsAl'événement {{C1, ..., Cd}n'est pas k-universelle}. En remarquant que :
A⊂ [
1≤j1<...<jk≤n
[
W∈Ωn,1
d
\
i=1 k
[
m=1
{mjm,i6=wjm}
montrer queP(A)≤ n
k
2k(1−2−k)d.
2. SoitV ⊂Ωn,1 une partie universelle. D'après la question II 5, il existe une ligne Là coecients entiers telle que
∀C∈Vect(V), LC= 0.
Montrer queLpossède au-moinsk+ 1 coordonnées non nulles.
3. En déduire à l'aide de la question IV 4 (c) que sikest susamment grand :
P(C1∈Vect(V))≤P(LC1= 0)≤ 1
√k.
Partie VI. Théorème de Komlos.
On considère encoren2 variables de Rademacher mi,j avec(i, j)∈J1, nK
2. On conserve les notations introduites au début de la partie III.
1. Notons tn = b√
nc et kn = bln(n)c pour tout n ∈ N∗. On admettra que pour n susamment grand et pourj≥n−tn+ 1 :
n kn
2kn(1−2−kn)j ≤ 1 n.
a. Montrer que sinest susamment grand, pour toutj ∈Jn−tn+ 1, n−1K:
P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj))≤ 1 pln(n)+1
n ≤ 2
pln(n). On distinguera les cas selon que(C1, ..., Cj)soit kn-universel ou non.
b. En déduire que :
n−1
X
j=n−tn+1
P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj))≤ 2tn ln(n).
2. Pour tout n ∈ N∗, notons pn = P(M non inversible ). Montrer que la suite (pn) tend vers0. Il s'agit du théorème de Komlos.
Corrigé
Partie I. Variables de Rademacher
1. a. SoitXune R-variable. Son espérance est nulle :E(X) =P(X= 1)−P(X=−1) = 0. CommeX2= 1, sa variance vaut1 :V(X) =E(X2)−E(X)2=E(1)−0 = 1. b. CommeX et Y ne prennent que les valeurs1et −1,
{XY = 1}={(X = 1)∩(Y = 1)} ∪ {(X=−1)∩(Y =−1)}
{XY =−1}={(X= 1)∩(Y =−1)} ∪ {(X =−1)∩(Y = 1)}.
Alors :
P(XY = 1) =P((X = 1)∩(Y = 1)) +P((X =−1∩(Y =−1))
=P(X = 1)P(Y = 1) +P(X =−1)P(Y =−1) (indépendance)
= 1 2×1
2 +1 2×1
2 = 1
2. (1)
De même,P(XY =−1) = 1
2. DoncXY est une R-variable.
2. a. D'après la question 1, m11m22 et m12m21 sont des R-variables. Par linéa- rité de l'espérance : E(δ) = 0. Comme les variables sont indépendantes, Cov)(m11m22, m12m21) = 0donc
V(δ) =V(m11m22) +V(m12m21) = 2.
b.
3. a. Comme les variablesc1, ..., cn sont mutuellement indépendantes :
P((c1=ε1)∩...∩(cn =εn)) =P(c1=ε1)...P(cn =εn) = 1 2n.
b. Soit ω ∈ Ω. Si C0(ω) = ±C(ω), la famille (C(ω), C0(ω)) est évidemment liée.
Réciproquement, si cette famille est liée, Il existe λ∈R tel queC0(ω) =λC(ω) (puisque C(ω) 6= 0). Alors c01(ω) = λc1(ω). Comme c1(ω), c01(ω) = ±1, alors λ=±1doncC0(ω) =±C(ω).
Alors :
P((C, C0)liée) =P(C0 =C) +P(C0=−C).
D'une part :
P(C0 =C) = X
(ε1,...,εn)∈{−1,+1}n
P((c1=c01=ε1)∩...∩(cn=c0n=εn))
= X
(ε1,...,εn)∈{−1,+1}n
P((c1=ε1)∩(c01=ε1)∩...∩(cn=εn)∩(c0n=εn))
= X
(ε1,...,εn)∈{−1,+1}n
1 22n
= 2n
4n puisque Card({−1,+1}n) = 2n
= 1 2n.
D'autre part, on trouve de même queP(C0=−C) = 1
2n. En conclusion : P((C, C0)liée) = 1
2n−1.
Partie II. Outils matriciels
1. Le sens indirect est évident. Pour le sens direct, supposons la famille(C1, ..., Cn)liée. Il existe une famille(λ1, ..., λn)∈Rnde réels non tous nuls tels queλ1C1+...+λnCn= 0. L'ensemble{i∈J1, nK|λi6= 0} est non vide et majoré parn, il possède donc un pus grand élémentj. Pour touti≥j+ 1,λi= 0, donc :
λ1C1+...+λjCj = 0 =⇒Cj =−λ1 λj
C1−...−λj−1 λj
Cj−1. DoncCj ∈Vect(C1, ..., Cj−1).
2. Notons Bn et Bd les bases canoniques de Rn et Rd. Soit B= (e1, ..., ed) une base de H. Notons A = (xi,j)i∈
J1,nK, j∈J1,dK la matrice des vecteurs (e1, ..., ed) dans la base canoniqueBn. cette matrice est de rangd, puisque la famille de vecteurs(e1, ..., ed)est de rang d. Elle possède donc une matrice extraite B inversible de dimensions d×d. Notons 1 ≤ i1 < ... < id ≤ n les indices des lignes de la matrice A utilisées pour constituer la matriceB :
B=
xi1,1 . . . xi1,d
... ...
xid,1 . . . xid,d
.
Notons alors :
f :
H →Rd
x1
...
xn
7→
xi1
...
xid
L'appicationf est linéaire, et pour toutj∈J1, dK:
f(ej) =f
x1,j
...
xn,j
=
xi1,j
...
xid,j
.
Comme la matriceBest inversible, ses colonnes forment une base. L'image de la base (e1, ..., ed)deHparf est une base, doncf est un isomorphisme. En particulier,f est bijective.
3. Conservons les notations de la question précédente. L'ensemblef(HR) est une partie deRd de même cardinal que HR, constituée de vecteurs dont les coordonnées valent +1ou−1. Or, il y a exactement2dvecteurs deRd donc les coordonnées valent+1ou
−1, donccard(HR)≤2d.
4. Notons A la matrice de colonnes C1, ..., Cd. La matrice A est de rang d puisque la famille(C1, ..., Cd)est libre. L'application :
L∈ M1,n(Q)7→LA∈Q
est linéaire, de rangd, donc son noyau est de dimensionn−d≥1 par la formule du rang. On en déduit qu'il existe L ∈ M1,n(Q) non nul tel que LA = 0. Comme les coecients deLsont rationnels, il existe un entierp∈N∗tel quepLsoit à coecients entiers. La matrice ligne pL est non nulle et comme pLA = 0, pour tout i ∈ J1, dK, pLCi= 0.
Partie III.
1. • Soit la matrice M(ω) est inversible (et alors ω ∈ Rn), soit la famille de ses co- lonnes(C1(ω), ..., Cn(ω))est liée, et dans ce dernier cas, d'après la partie I, il existe j ∈ J1, n−1K tel que Cj+1(ω) ∈Vect(C1(ω), ..., Cj(ω)). Notons alors i le plus pe- tit entier dansJ1, n−1K tel que ci+1(ω) ∈ Vect(C1(ω), ..., Ci(ω)). Alors la famille (Ci(ω), ..., Cn(ω))est libre, doncω∈Ri. On en déduit que :
Ω =
n
[
j=1
Rj.
• Soient 1 ≤ i < j ≤ n−1. Motrons que Ri ∩Rj = ∅. Soit ω ∈ Rj. La famille (C1(ω), ..., Cj(ω))est libre, donc il en va de même pour la famille(C1(ω), ..., Ci+1(ω)) (puisque i+ 1 ≤ j et puisqu'une sous-famille d'une famille libre est libre). Donc Ci+1(ω)6∈Vect(C1(ω), ..., Ci(ω)), puisω6∈Ri. Ainsi,Ri∩Rj =∅.
La famille(R1, ..., Rn)est donc un système complet d'événements.
2. a. D'après la question précédente :
P(Ω\Rn) =P
n−1
[
j=1
Rj
=
n−1
X
j=1
P(Rj).
Mais pour tout j ∈ J1, n−1K, Rj ⊂ {Cj+1 ∈ Vect(C1, ..., Cj)}, donc P(Rj) ≤ P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj). Donc :
P(M 6∈GLn(R)) =P(Ω\Rn)≤
n−1
X
j=1
P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj)).
b. Notons d = dim(Hj(ω)) ≤ j. D'après la partie II, Card(Hj(ω)∩Ωn,1)) est un ensemble ni de cardinal r ≤2d ≤2j. Notons D1, ..., Dr les élments deHj(ω). AlorsCj+1∈ Hj(ω)⇐⇒Cj+1=D1 ouCj+1=D2 ou ... ouCj+1=Dr, donc :
P(Ci+1∈ Hj(ω)) =
r
X
i=1
P(Cj+1=Di).
Soiti∈J1, rK. Notonsd1, ..., dnles coordonnées deDi, etc1, ..., cnles coordonnées deCj+1. D'après la partie 1 :
P(Cj+1=Di) =P((c1=d1)∩...∩(cn =dn)) = 1 2n. Ainsi :
P(Cj+1∈ Hj(ω)) = r 2n ≤ 2j
2n = 2j−n. Conclusion :
P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj))
= X
d1,...,dj
∈Ωn,1
P(Cj+1∈Vect(d1, ..., dj)|C1=d1, ..., Cj=dj)P(C1=d1, ..., Cj=dj)
Comme les variables aléatoiresCj+1 et(C1, ..., Cj)sont indépendantes :
P(Cj+1∈Vect(d1, ..., dj|C1=d1, ..., Cj=dj)
=P(Cj+1∈Vect(d1, ..., dj))≤2j−n. Donc :
P(Cj+1∈Vect(C1, ..., Cj))≤2j−n X
d1,...,dn∈Ωn,1
P(C1=d1, ..., Cjdj)
| {z }
2−nj
= 2j−nCard(Ωjn,1)
| {z }
=2nj
2−nj
= 2j−n. c. D'après les questions a et b :
P(M 6∈GLn(R))≤
n−1
X
j=1
2j−n=
n−1
X
j=1
2−j= 1 2
1−2−n+1
1−12 = 1− 1 2n−1.
Partie IV. Anti-chaînes
1. Notons Ak l'ensemble des parties à k éléments deJ1, nK. Considérons deux parties à kéléments : si l'une des deux est incluse dans l'autre, elles sont égales car elles ont le même nombre d'éléments. Par contraposition, cela prouve queAk est une anti-chaîne.
2. SoitAun élément d'une anti-chaîne. Classons les éléments deSAselon leur restriction à J1,|A|. Cette restriction est une bijection entre deux ensembles de cardinal |A|. Il existe donc|A|!classes. Commeσ∈SAest une permutation deJ1, nK, la restriction de σàJ|A|+ 1, nKest encore une bijection mais entre des ensembles de cardinaln− |A|. Chaque classe contient donc(n− |A|)!éléments. On en déduit
Card(SA) =|A|!(n− |A|)!.
3. a. CommeAetBsont distincts aucun des deux n'est inclus dans l'autre. Supposons
|A| ≤ |B| et considérons un σ ∈ SA ∩SB. Alors pour tout a ∈ A, il existe i ∈ J1,|A|K tel que σ(i) = a. Comme i ∈ J1,|B|K car |A| ≤ |B|, on a aussi a=σ(i)∈B. On en déduitA⊂B ce qui est impossible dans une anti-chaîne.
b. Comme lesSA sont disjoints pour lesA∈ A, [
A∈A
SA⊂Sn⇒ X
A∈A
Card(SA)≤n!⇒ X
A∈A
|A|!(n− |A|)!≤n!.
En regroupant lesAde même cardinalk (il y en aak), on obtient
n
X
k=0
akk!(n−k)!≤n!⇒
n
X
k=0
ak
n k
≤1.
c. En utilisant l'inégalité donnée par l'énoncé,
1≥
n
X
k=0
ak n k
≥
n
X
k=0
ak n bn/2c
⇒ n
bn/2c
≥
n
X
k=0
ak = Card(A)
en classant les éléments deAsuivant leur nombre d'éléments.
4. a. Par dénition du produit ligne par colonne,SA=P
i∈Ali−P
i∈Ali. OrA⊂B entraineB ⊂A. On en déduit
SB−SA= X
i∈B∩A
li+ X
i∈A∩B
li= 2 X
i∈B∩A
li≥2
carB∩A6=∅ (a6=B) etli≥1.
b. On peut associer à chaque colonneC∈Ωn,1∩VJ une partieAdeJ1, nKtelle que CA=C. NotonsAl'ensemble des parties ainsi formées. C'est une anti-chaîne car par dénition deVJ, pour tout couple(A, B)∈ A2,|sA−sB|=|LCA−LCB|<2. D'après a., cela interdit une inclusion entreA et B. On a formé ainsi une anti- chaîne de cardinalCard(Ωn,1∩VJ). De la question 3.b., on déduit
Card(Ωn,1∩VJ)≤ n
bn/2c
. Si L = l1 · · · ln
est une matrice ligne telle que |li| ≥ 1 pour tous les i, on adapte aux signes des coecients deL l'association entre les parties deJ1, nKet les colonnes formées de±1.
Pour toute colonneC formée de±1, on dénit une partieAdeJ1, nK, par
C=
c1
...
cn
avec∀i∈J1, nK, i∈A⇔lici≥1.
Ceci dénit encore une bijection entre les parties deJ1, nK et les colonnes de±1 qui permet de raisonner comme dans le premier cas..
