POSTBAC LOIS DE PROBABILITES continues DOC-Ex
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2.16 La loi de Fisher (ou de Fisher-Snedecor)
2.16.1 Contexte
Elle est utilisée en analyse de variance lorsque K1 et K2 désignent les variances de deux échantillons issue d’une même population normale. Les degrés de liberté sont les tailles d’échantillons – 1.
On la construit sur deux variables aléatoires, distribuées par une loi du χ² :
La variable
1 1 2 2
K F d
K d
= est distribuée par une loi de Fisher, où
K1 et K2 suivent une loi du χ² respectivement à d1 et d2 degrés de liberté 2.16.2 Distribution
Sa densité de probabilité est :
( )
( )
1
2 1
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 2 2
1 2
2
2 2
d
d d
d d
d d f x d d x
d d
d x d
− +
+
Γ
= × ×
+
Γ Γ
.
2.16.3 Paramètres et résultats Son espérance mathématique est :
( )
22 2
E X d
=d
− (d2>2)
et sa variance est :
( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 2
2
1 2 2
2 2
2 4
d d d V X
d d d
= + −
− − (d2>4).
Son mode est :
( )
( )
2 1
1 2
2 2 Mo d d
d d
= −
+ .
2.16.4 Liens avec d’autres lois
* Si d2→ +∞, alors d X1 ∼χ2
( )
d1* Si X ∼St d
( )
, alors X2 ∼F( )
1,d* Si X ∼N
( )
0 1, , alors X2 ∼F( )
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