D10242. Du triangle à l’hexagone
Soit ABC un triangle et Gson centre de gravité.
On désigne par A0, B0, C0 les milieux respectifs de BC, CA et AB. Les pointsP, Q, R, S, T etU sont les centres de gravité respectifs des triangles GAC0,GBC0,GBA0,GCA0,GCB0 etGAB0.
a) Justifier l’égalité des sommes de longueurs de segments : P Q+QR+RS+ST +T U+U P =P S+QT +RU.
b) Calculer l’aire de l’hexagoneP QRST U en fonction de celle du triangle ABC.
Solution
a) L’homothétie H(G,3/2) de centre G et de rapport 3/2 transforme P QRST U en P0Q0R0S0T0U0, où P0 est milieu deAC0,Q0 milieu de C0B, etc. AinsiP0Q0 = AB/2,S0T0 = A0B0/2, R0U0 = (BA+A0B0)/2. On en tireP Q+ST =RU, et de mêmeQR+T U =P S etRS+P U =QT. b) L’hexagone P0Q0R0S0T0U0 couvre le triangle ABC, à l’exception des trois triangles AP0U0, BQ0R0, CS0T0 semblables à ABC dans le rapport 1/4. Son aire est donc la fraction 1−3/42 = 13/16 de celle du triangle.
L’hexagoneP QRST U qui lui est homothétique dans le rapport 2/3 a pour aire (2/3)2(13/16) = 13/36 de l’aire du triangle.
Remarque. Jean Tutenuit et Jean-Nicolas Pasquay observent que le péri- mètre de l’hexagone est égal au demi-périmètre du triangle, de même que la somme des diagonales QT, P S, RU, les longueurs de celles-ci étant la moitié des côtés du triangle qui leur sont parallèles.
Gilbert Labadie met en évidence l’égalité P Q+ST =RU en traçant les segmentsP S (parallèle àQRetT U) etRU (parallèle àP QetST) qui se coupent enZ. Dans les parallélogrammesP QRZ etST U Z,RZ =P Qet U Z=ST.
