Problème G256 - Solution de Jean Drabbe
Soit n un naturel non nul.
Notons Div(n) l'ensemble des diviseurs de n la relation de divisibilité
pour a∈Div(n) , r(a,n) = la somme des exposants
apparaissant dans la décomposition de a en facteurs premiers.
D(k,n) = {a∈Div(n) r(a,n) = k}
d(k,n) = le nombre d'éléments de D(k,n) .
La propriété suivante est établie dans [3] ; [4] donne des informations intéressantes.
Propriété de Sperner - Pour tout n > 0 , le nombre maximum d'éléments d'une antichaîne de l'ordonné Div(n), coïncide avec la valeur maximum des d(k,n).
Corollaire - Pour tout naturel m , le plus grand nombre possible M de diviseurs de 2010^m tels que chacun d'eux ne divise pas les M-1 autres est le (m+1)-ième nombre octoédrique ([1],[5]) . Vérification - Comme 2010 = 2 • 3 • 5 • 67 , Div(2010^m), est isomorphe à la quatrième puissance cartésienne de Div(2^m), .
On vérifie facilement que
d(k,6^m) = k + 1 lorsque k ≤ m d(k,6^m) = 2 • m - k + 1 lorsque m+1 ≤ k ≤ 2 • m . On en déduit que le plus grand des nombres d(k,2010^m) est
d(2 • m,2010^m) , somme des produits
d(i,6^m) • (d(2 • m – i),6^m) pour 0 ≤ i ≤ 2 • m , qui vaut
2 • (1^2 + 2^2 + ... + m^2) + (m+1)^2
= (m+1) • (2 • (m+1)^2 + 1) / 3 . Dans le cas particulier m = 7 , on obtient la réponse 344 .
[1] Conway,J. & Guy,K., The Book of Numbers, Copernicus (an imprint of Springer-Verlag) (1996) .
[2] Crawley,P. & Dilworth,R., Algebraic Theory of Lattices, Prentice-Hall Inc. (1973).
[3] Engel,K., Sperner Theory (Series : Encyclopedia of Mathematics , No 65), Cambridge University Press (1997).
[4] Sperner property
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-318-topics-in-algebraic- combinatorics-spring-2006/lecture-notes/sperner.pdf
[5] http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005900
