Notions de base en mathématiques supérieures

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Notions de base en mathématiques supérieures

Par Prof. Jairus. Khalagai

African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

Mathématiques I

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Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons.

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http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

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Université Virtuelle Africaine

I. Mathématiques 1 : Notions de base en mathématiques supérieures ___ 3 II. Prérequis/connaissances préalables nécessaires __________________ 3 III. Volume horaire/temps ______________________________________ 3 IV. Matériel didactique _________________________________________ 4 V. Justification/importance du module ____________________________ 4 VI. Contenu _________________________________________________ 4 6.1 Aperçu________________________________________________ 4 6.2 Grandes lignes _________________________________________ 5 6.3 Représentation graphique _________________________________7 VII. Objectifs général __________________________________________ 8 VIII. Objectifs spécifiques d’apprentissage __________________________ 8 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage _____________________ 9 X. Concepts-clés (glossaire) ___________________________________ 16 XI. Lectures obligatoires ______________________________________ 18 XII. Ressources obligatoires ____________________________________ 19 XIII. Activités d’enseignement et d’apprentissage ____________________ 22 XIV. Synthèse du module _______________________________________ 47 XV. Évaluation sommative ______________________________________ 48 XVI. Références bibliographiques ________________________________ 66 XVII. Auteur principal du Module _________________________________ 67

Table des maTières

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i. mathématiques 1 : Notions de base en mathématiques supérieures

Présenté par le professeur Jairus. Khalagai, Université de Nairobi.

ii. Prérequis/connaissances préalables nécessaires

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Composée de fonctions.

La maitrise du programme de mathématiques du niveau secondaire est une condition nécessaire à la réussite de ce cours.

Ce cours est de niveau 1.

Section 2 : Relation et loi de composition interne

Pre-requis : La section1 « Les mathématiques élémentaires 1 » est un pré-requis à cette section .

Section 3 : Les groupes, sous-groupes et l’homomorphisme

Pre-requis : La section2 « Les mathématiques élémentaires 2 » est un pré-requis à cette section 3

iii. durée du cours

La durée du cours est de 120 heures.

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iV. matériel didactique

Les supports pédagogiques de ce module sont :

• Matériel d’études (Imprimés, CD, Documents en ligne)

(les documents d’évaluation anticipée sont inclus dans le matériel d’études)

• Deux activités formatives d’évaluation par section (disponibles en tout temps, mais avec date de remise déterminée). (CD, Documents en ligne)

• Références et Lectures disponibles sur sources ouvertes (CD, Documents en ligne)

• Fichiers des activités TIC :

Supportés par des logiciels sous licence Supportés par des logiciels gratuits Sans support

Fichiers vidéo

Fichiers audio (avec bande magnétique) Fichiers d’installation de logiciels gratuits

• Caculateurs graphiques et logiciels sous licence lorsque disponibles.

V. Justification/importance du module

L’enseignement des Mathématiques élémentaires sert essentiellement à mettre à niveau les connaissances acquises par les cours de mathématiques du niveau secondaire : par exemple, compréhension du système des nombres réels, des fonctions élémentaires, etc. Ce module sert aussi de base aux mathématiques universitaires en introduisant l’étudiant à la science du raisonnement, la Logique, ainsi qu’à d’autres disciplines liées.

Vi. Contenu

6.1 Aperçu

Ce module est divisé en trois sections:

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Fonctions composées

Cette section commence par la théorie des ensembles et se poursuit avec l’introduction à la logique qui explique les techniques qui permettent de distinguer les vrais arguments des faux arguments en utilisant des propositions et des opérateurs logiques (connecteurs). Une compréhension adéquate de la théorie des ensembles et

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des nombres réels est essentielle. Le besoin de pouvoir se représenter une fonction particulière amène la nécessité d’étudier sa représentation graphique. Notez que le concept de fonction peut aussi être vu comme une instruction donnée à un ensemble d’objets et concerne aussi l’étude des arrangements d’objets dans un ordre déterminé, appelés les permutations et l’analyse combinatoire.

Section 2 : Loi de composition interne

Dans cette section, nous nous penchons sur le concept de loi de composition interne et amène aussi l’étude des propriétés élémentaires des entiers comme, par exemple, la congruence. Une introduction aux structures algébriques permet de préparer le terrain pour la Section 3 du module.

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme

Cette section est consacrée à l’étude des groupes et des anneaux. Ce sont des ensembles de nombres ou d’objets qui répondent à certains axiomes prédéfinis. Le concept des sous-groupes et de sous-anneaux est aussi important à étudier dans cette section.

Dans le but d’étudier quelques cas où les axiomes sous-jacents sont moins nombreux, nous étudierons aussi les concepts associés à l’homomorphisme et à l’isomorphisme.

De plus, nous nous attarderons au concept de mappage d’une fonction représentant les relations entre différents groupes ou différents anneaux afin de trouver quelles sont les propriétés de la fonction qui interagissent avec ces entités.

6.2 Grandes lignes

Section 1 : (i) Ensembles et fonctions (ii) Fonctions composées (50 heures) Niveaul 1. Priorité A. Aucun préalable.

Théorie des ensembles (4) Logique élémentaire (8) Systèmes numériques (6) Nombres complexes (4) Relations et fonctions (8)

Fonctions élémentaires et leurs représentations graphiques (8) Permutations (7)

Combinaisons (5)

(7)

Section 2: Relation et loi de composition interne (35 heures)

Niveau 1. Priorité A. Mathématiques élémentaires, section 1 est un préalable.

Loi de composition interne (7) Propriétés élémentaires des entiers (7) Congruence (7)

Introduction aux structures algébriques (7) Applications (7)

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme (35 heures)

Niveau 2. Priorité B. Mathématiques élémentaires, section 2 est un préalable.

Groupes et Sous-groupes (7) Groupes cycliques (2) Groupes de permutation (5) Groupes homomorphismes. (4) Groupes de facteurs (3)

Automorphismes (3)

Anneaux, Sous-anneaux, idéaux et anneaux de quotients (7) Théorèmes des isomorphismes pour les groupes et les anneaux (4)

(8)

Ce diagramme représente la façon dont les différentes sections du module sont in- terreliées entre elles.

L’axe central du module est situé au centre du diagramme (en rouge). Les concepts subordonnés sont joints par une ligne.

Par exemple, la théorie des ensembles est le principe moteur du diagramme. Le concept des nombres réels est subordonné au concept des ensembles. Le concept des nombres complexes est subordonné au système des nombres réels.

Homomorphismes

et Isomorphismes Groupes et

anneaux

Structure algébrique

Permutations et combinaisons

Loi de composition LES

ENSEMBLES Logique des

propositions

Les nombres réels

Les fonctions et leurs représentations

graphiques

Trigonométrie Les nombres

complexes

(9)

Vii. Objectif général

Vous serez en mesure d’enseigner dans les écoles secondaires la logique des ma- thématiques élémentaires, la théorie des ensembles, les systèmes de nombres et des structures.

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage (Objectifs éducationnels)

À la fin du module, l’étudiant devrait être en mesure de :

• Construire des arguments mathématiques;

• Faire des liens et communiquer des idées d’ordre mathématique de manière efficace et économique.

• Évaluer les formes invariantes des éléments d’un ensemble, en faire un résumé analytique et généraliser.

• Comprendre les diverses structures mathématiques ainsi que leurs similarités et leurs différences.

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iX. activités d’enseignement et d’apprentissage

Module 1 : Les mathématiques élémentaires, évaluation anticipée Section 1 : Les ensembles et les fonctions

Évaluation et Solutions

Questions d’évaluation anticipée

1. En considérant l’équation de second degré suivante : 2x² − x − 6 = 0 Les racines sont :

a.

{ }

−4,3 b.

{ }

4,−3 c. 2,−3 2

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭ d. −2,3

2

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭

2. La valeur de la fonction ^{f x}

( )

⁼²^x²⁺³^x⁺¹^où^{x =}³^{est :}

a. 19 b. 28 c. 46 d. 16

(11)

Université Virtuelle Africaine 0

3. Lequel des diagrammes suivants est la représentation graphique de y=3x (2-x)

.

b.

c. d

.

4. La solution de l’équation

sinx = −1

2 ^si 0 ≤ x^o≤ 360 ^{est :} a.

{

^{150 , 210}^o ^o

}

b.

{

^{30 ,150}^o ^o

}

c.

{

^{210 ,330}^o ^o

}

d.

{

^{30 ,330}^o ^o

}

a.

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5. Selon le triangle ABC suivant :

√5

A B

C

Lequel des énoncés suivants est vrai?

a) Cos α ⁼ 2 15 b) Sin α ⁼ 5

2 c) Tan α ^{= 2}

d) Sec α ⁼ 1 5

Section 1 : Solutions

Voici les réponses aux questions à choix multiples :

Q 1 c Q 2 b Q 3 b Q 4 c Q 5 c

(13)

Section 2 : Ralation binaire et loi de composition 1. La fonction réciproque de

f x

( )

⁼ _{x − 1}¹ ^est

(a) f⁻¹

( )

x ^{= x − 1} (b) f⁻¹

( )

x ⁼^{1− x}_x (c) f⁻¹

( )

x ⁼ ^{x + 1}_x (d) f⁻¹

( )

x ⁼ ¹_x ^{− 1} 2. Si sin

2 2

x a

= alors sin x est :

(a) a 4 − a²

(b) a 4 − a²

(c) a

(d) a 4 − a² 2

3. Une jeune fille possède trois jupes, 5 blouses et 4 foulards. Quel est le nombre de tenues vestimentaires différentes peut-elle créer ayant chacune une blouse, une jupe et un foulard?

a. 220 b. 60 c. 12 d. 150

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4. Soit le nombre complexe z = 1− i nous avons Arg z est :

(a) 45⁰ (b) 135⁰ (c) 225⁰ (d) 315⁰

5. Si a* b = a²+ ab− 1, alors 5* 3^est

(a) 39 (b) 41 (c) 23 (d) 25

Q1. c Q2. d Q3. b Q4. b Q5. a

(15)

Section 3 : Groupes, Sous-groupes et Homomorphisme

1. Parmi les loi ci-dessous, quelles sont celles qui sont des lois de composition internes dans l’ensemble IR des nombres relles : ?

(a) Mettre au carré la somme de deux nombres reels;

(b) Faire le quotient de deux nombres reels (c) Faire le quotient des carres de deux reels.

(d) Faire le produit deux nombres reels.

2. En tenant compte de la définition d’un homomorphisme, donnez un homomorphisme d’un groupe G de nombres réels par une multiplication ou une divi- sion.

(a) f x

( )

^{= 2}^x

(b) f x

( )

^{= 6x}

(c) f x

( )

^{= x}²

(d) f x

( )

^{= x + 5}

3. Pour un groupe G si a x a b= dans G, alors x est : (a) b

(b) ba⁻¹ (c) a⁻¹b (d) a⁻¹ba⁻¹

4. Si un élément a est un anneau ℜ est tel que a²=aalors a est : (a) nilpotent

(b) caractéristique (c) idempotent (d) identité

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5. Si ℜ est un anneau et x ∈ R s’il n’y a qu’un seul élément a ∈ R^{tel que}x a= x, alors a x est :

(a) e (b) a (c) −x (d) x

1. a et d 2. b 3. d 4. c 5. d

Titre de l’évaluation anticipée : Commentaire pédagogique pour l’étudiant

Les questions de cette évaluation anticipée ont été conçues pour évaluer si votre niveau de connaissance est suffisant pour entreprendre l’étude du module.

Les questions de la Section 1 demandent la maîtrise des mathématiques du niveau secondaire. Si vous avez commis des erreurs, ceci devrait vous amener à réviser la matière en question.

Les questions des Sections 2 et 3 ont été conçues pour vérifier l’acquisition des connaissances relatives à ces mêmes sections.

Si vous avez commis des erreurs dans l’évaluation anticipée de la Section 2, vous devriez vérifier le travail effectué à la Section 1 du module. De même, si vous avez commis des erreurs dans la Section 3, vérifiez le travail effectué à la Section 2 du module.

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X. Concepts clés (glossaire)

1. Groupe abélien : dans un groupe (G, *), pour tout a,b,∈G. a * b = b * a 2. Structure algébrique : structure formée d’un ensemble donné G combiné à une

opération booléenne qui rencontre un ensemble d’axiomes prédéterminés.

3. Loi de composition interne: il s’agit d’un application qui associe à chaque couple de d’un ensemble GxG, un élément et un seul de G; a * b∈G pour tous les a,b∈G.

4. Fonction composée : une fonction obtenue lorsque l’on combine deux fonctions dans un ordre déterminé.

5. Fonction : il s’agit d’une relation où chaque élément a au plus une image.

6. Groupe : il s’agit d’un ensemble non vide, G, avec une loi, telle que (i) a * b∈G pour tous les a,b∈G.

(ii) a * b* c

( )

^{= a * b}

( )

^{* c} pour tous les a,b,c ∈G.

(iii) Il existe un élément e dans G tel que e * a = a = a * e pour tous les a ∈G et où e est nommé élément neutre.

(iv) Pour tous les a ∈G il existe

a⁻¹∈G tel que a * a⁻¹= e = a⁻¹* a Et où a⁻¹ est nommé l’inverse de a

7. Homomorphisme : Il s’agit d’une application f d’un groupe G dans un autre groupe H tel que pour n’importe quelle paire a ,b∈G. Nous avons f ab

( )

^{= f a}

( )

^{f b}

( )

^.

8. Isomorphisme : c’est un homomorphisme qui est aussi une bijection.

9. Application : il s’agit simplement d’une relation entre deux ensembles où chaque élément a une image et une seule.

10. Proposition : il s’agit d’un énoncé ayant une vraie valeur. On peut donc déduire s’il un énoncé est vrai ou faux.

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11. Anneaux : il s’agit d’un ensemble non vide, disons

R

, ayant deux loi de composition interne + et *, soit l’addition et la multiplication tel que :

(a) R +, est un groupe abélien (b) R, * estvérifie :

(i) a * b∈S pour tous les a ,b∈S.

(ii) a * b* c

( )

^{= a*b}

( )

^{* c} pour tous les a ,b,c ∈S.

(iii) Pour tous les a ,b,c ∈S.

a * b+ c

( )

= a * b+ a * c et

(

a + b

)

* c = a * c + b* c

12. Corps : il s’agit d’un anneau (R, +, *) qui est tel que tout élément de R différent de son élément neutre par la loi + soit inversible par la loi *. L’ensemble IR des nombres réel est un corps.

13. Ensemble : il s’agit d’une collection d’objets ou d’éléments qui ont les mêmes propriétés.

14. Sous-groupe : il s’agit d’un sous-ensemble H d’un groupe G, tel que H muni de la même loi que celle de G soit aussi un groupe.

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Xi. lectures obligatoires

Lecture 1

Un manuel à l’intention des étudiants du secondaire qui étudient les mathématiques par les auteurs des textes « Free High School Science », 2005, p. 38-47 (nom du fichier sur le CD : Secondary_School_Maths)

Lecture 2

Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, UniverSité de Miami, p. 1-13 (nom du fichier sur D : Abstract_and_linear_algebra_Connell)

Lecture 3

Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers (GB), 2000. (nom du fichier sur CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)

Lecture 4

Abstract Algebra: The BaSic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du fichier sur le CD: Abstract_Algebra_Ash)

Résumé et Motivatio

Toutes les lectures obligatoires sont des manuels de source ouverte. Dans leur ensemble, ils procurent des informations plus que suffisantes dans le cadre de ce cours.

Cependant, les textes contiennent des références à des activités, des lectures et des exercices qui sont aussi référencés à la section des activités d’apprentissage.

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Xii. ressources électroniques obligatoires

Wolfram MathWorld (Site visité le 29/08/06) http://mathworld.wolfram.com/

• Un guide complet et détaillé couvrant tous les sujets des mathématiques. On s’attend à ce que tous les étudiants se familiarisent avec ce site et suivent le cheminement du cours (les mots-clés et les thèmes abordés dans ce module).

Wikipédia (Site visité le 29/08/06) http://www.wikipedia.org/

• Wikipédia offre une couverture encyclopédique de tous les sujets abordés en mathématiques.

Les étudiants doivent rechercher les mots-clés sur ce site.

Xiii. ressources électroniques utiles

Set Theory (Site visité le 29/08/06)

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/indexproject.html

• Vous pouvez accéder à n’importe quelle section en cliquant sur celle-ci.

• Apportez une attention particulière à la section « functions ».

• Cliquez sur le lien “NEXT” au bas de la page pour continuer.

• Cliquez sur la double flèche de 8 boutons pour voir l’animation!

Wolfram MathWorld (Site visité le 29/08/06) http://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html

• Lisez la section « Set Theory ».

• Suivez au besoin les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.

Wikipedia (Site visité le 29/08/06) http://www.wikipedia.org/

• Tapez “Set Theory” dans la boîte de recherche et appuyez sur “ENTER”.

• Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.

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MacTutor History of Mathematics

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.

• Vous pouvez y lire l’histoire de la théorie des ensembles.

Composite Functions (Site visité le 06/11/06)

http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/02functions/06composite/

index.shtml

• Lisez la première page en entier.

• Utilisez les flèches au bas de la page pour faire apparaître la prochaine page.

• La page 2 offre une activité interactive. Faites cette activité attentivement.

• Lisez la page 3 sur la notation.

• Testez votre compréhension en page 4.

Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06) http://mathworld.wolfram.com/Composition.html

• Lisez la section sur les fonctions composées (Composite Functions).

• Tapez “Composite Functions” dans la boîte de recherche et appuyez sur ENTER.

Binary Color Device (Site visité le 06/11/06)

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml

• Ceci est un casse-tête sur les lois de composition interne et les tables de groupes. Faites ce casse-tête pour développer votre compréhension.

Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06)

http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html

• Lisez la section sur les relations et lois de composition interne (Binary Ope- rations).

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Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06) http://mathworld.wolfram.com/Group.html

• Lisez la section sur la théorie des groupes.

• Tapez “Binary Operations” dans la boîte de recherche et appuyez sur EN- TER.

• Lisez la section sur les lois de composition interne.

Wikipedia (Site visité le 06/11//06)

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_Theory

• Lisez la section sur la théorie des groupes.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_

theory.html

• Lisez cette entrée pour vous familiariser à l’histoire de la théorie des groupes.

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Xiii. activités d’apprentissage

Module 1 : Les mathématiques élémentaires

Section 1, Activité 1 : Ensembles et fonctions

Objectifs spécifiques d’apprentissage

À la fin de cette activité, l’étudiant devrait être en mesure de :

• Faire la différence entre une fonction et une application.

• Établir le lien entre les ensembles et les fonctions.

• Donner des exemples d’ensembles de nombres réels et des fonctions définies sur ces ensembles.

Aperçu

Les notions d’un ensemble et d’une fonction sont les concepts fondamentaux qui ensemble, forment les fondations des Mathématiques. En effet, les différentes branches des Mathématiques partent de ces deux notions fondamentales.

Avec cette activité, nous démontrons de façon simple comment les ensembles d’éléments sont facilement extraits de notre univers. En particulier, nous voulons encourager l’étudiant à être en mesure de trouver des exemples d’application et de fonctions appliquées aux ensembles de nombres réels.

Il est de première importance que l’étudiant puisse faire la différence entre une application et une fonction, avec l’aide d’une représentation graphique. Ce cheminement aidera l’étudiant à comprendre les diverses propriétés des fonctions dans les cours plus avancés de mathématiques.

Concepts-clés

Une coorespondance : il s’agit simplement d’une relation entre des éléments de deux ensembles.

Fonction : il s’agit d’une correspondance entre deux ensembles qui est telle que chaque élément de l’un des ensembles a au plus une image dans l’autre ensemble.

Application : il s’agit d’une correspondance entre deux ensembles qui est telle que chaque élément de l’un des ensembles a une image et une seule dans l’autre ensemble. Ainsi toutes les appications sont des fonctions mais la réciproque est n’est pas vraie.

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Proposition ou assertion: il s’agit d’un énoncé ayant une vraie valeur. On peut donc déduire s’il un énoncé est vrai ou faux.

Ensemble : il s’agit d’une collection d’objets ou d’éléments qui ont les mêmes propriétés.

Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support C D qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.

1. Manuel à l’intention des étudiants du secondaire qui étudient les mathémati- ques par les auteurs des textes « Free High School Science », 2005, p. 38-47 (nom du fichier sur le CD : Secondary_School_Maths)

2. Elements of Abstract and Linear Algebra par E. H. Connell, 1999, Université de Miami, p. 1-13 (nom du fichier sur CD : Abstract_and_linear_algebra_

Connell)

Ressources électroniques sur Internet Set Theory (Site visité le 29/08/06)

http://www.mathresource.iitb.ac.in/project/indexproject.html

• Vous pouvez accéder à n’importe quelle section en cliquant sur celle-ci.

• Apportez une attention particulière à la section « functions ».

• Cliquez sur le lien “NEXT” au bas de la page pour continuer.

• Cliquez sur la double flèche de 8 boutons pour voir l’animation!

Wolfram MathWorld (Site visité le 29/08/06) http://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html

• Lisez la section « Set Theory ».

• Suivez au besoin les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.

• Tapez “Set Theory” dans la boîte de recherche et appuyez sur “ENTER”.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.

• Vous pouvez y lire l’histoire de la théorie des ensembles.

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Introduction

a) L’histoire de la machine à moudre le maïs

Jeanne se rend au marché transportant un panier de maïs à être moulu en farine. Elle met le maïs dans un contenant prévu à cet effet et tourne la poignée. Le maïs est alors moulu en farine qu’elle peut alors rapporter à la maison.

Question

Quelle relation pouvez-vous faire entre le maïs, la machine à moudre et la farine?

b) L’histoire des enfants nés le jour de Noël en 2005

Le 25 décembre 2005, à l’hôpital de maternité de Pumwani, située dans la capitale du Kenya, à Nairobi, les mères ayant donné naissance à un seul bébé étaient au nombre de 52. Il s’agissait du plus grand nombre de naissances recensées pour un 25 décembre depuis plusieurs années. Comme à l’habitude, chaque bébé portait une étiquette qui permettait d’identifier la mère.

Questions

1. Dans cette situation, comment peut-on identifier le bébé d’une mère?

2. Comment peut-on retrouver la mère d’un bébé?

Activité

Nous pouvons maintenant représenter l’histoire de la machine à moudre le maïs à l’aide d’un diagramme.

Le maïs

A

La farine

B f

(26)

A = Ensemble d’un contenu donné (dans notre exemple, le maïs qui doit être moulu)

f = La fonction représentant le procédé de mouture.

B = Ensemble du contenu du produit (dans notre exemple, la farine) Exemple 1

Dans cet exemple, nous définissons des deux ensembles et la correspondance entre ces deux ensembles comme étant :

Si A = {2, 3, 4} et que B = {2, 4, 6, 8}

f est la correspondance qui exprime “est un diviseur de”

par exemple 3 est un diviseur de 6

Dans ce cas, nous avons la correspondance suivante :

2

3

4

A

2 4 6 8

B f

(27)

Exemple 2

Trouvez des exemples de situations similaires et représentez-les à l’aide d’un diagramme tel que montré dans l’exemple 1.

Dans notre histoire sur les mères qui donnent naissance à un seul bébé, nous pouvons représenter le concept par le diagramme suivant :

M1 M2 M3

M4

A

B1

B2

B3

B4

B f

A = ensemble des bébés B = ensemble des mères

f = la correspondance qui exprime « bébé de »

Remarque

i. Notez que dans cette correspondance chaque élément a une image et une seule.

Dans ce cas, nous pouvons dire qu’il s’agit d’une application. Nous écrivons donc f: A→ B

ii. Notez aussi que dans cette correspondance, même si on inverse les rôles de A et B, ils n’auront toujours qu’une seule et unique image. Donc, nous avons une application bijective

(28)

B1 B2 B3

B4

B

M1

M2

M3

M4

A g

Dans cet exemple, nous avons :

B = Ensemble des mères A = Ensemble des bébés

g = La correspondance qui exprime “est la mère de ”

Dans cet exemple, nous pouvons dire que la fonction f a une fonction réciproque g.

Nous notons cette fonction réciproque g^-1 et f= g^-1 Donc pour f: A → B, nous avons f-1: B → A

Exemple 4

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} et que B = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 12}

f : x → 2x + 1

Nous avons donc l’application suivante suivant : f:(x) → 2x+ 1

(29)

1 2 3 4 5

A

2 3 4 5 7 9 11 12 B f

Pour la notation de cette application, nous pouvons aussi écrire : f(1) = 3, f(2) = 5, etc.

En général, f(x) = 2x + 1

L’ensemble A est appelé ensemble de départ de f et l’ensemble B est nommé ensemble d’arrivée de f.

Le sous-ensemble {3, 5, 7, 9, 11} de B duquel tous les éléments de A ont des ima- ges est appelé image de f. Notez qu’ici la fonction réciproque de f est donné par

f⁻¹(x) = x − 1

2 et qu’il s’agit aussi d’une fonction.

Exercice 5

Prenons un ensemble

A = {2, 4, 7, 9, 11, 12} comme ensemble de départ, trouvez les ensembles image de chacune des fonctions suivantes :

a) g(x) = 2x²+ 1

b)h(x) = x 1− x

(30)

Exercice 6

Donnez la fonction réciproque des fonctions suivantes : h(x) = x

1− x , g(x) = 2x² + 1

Exercice 7

En utilisant l’ensemble de nombres réels, comme domaines, donnez des exemples des énoncés suivants :

a) une correspondance dans IR qui n’est pas une fonction b) une correspondance dans IR qui est une fonction c) une application dont l’inverse n’est pas une fonction d) une application dont l’inverse est aussi une fonction

Illustrer chacun des exemples par une démonstration graphique. Si vous travaillez en groupe, chaque membre doit proposer un exemple pour chacun des énoncés.

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Module 1: Mathématiques élémentaires

Section 1, Activité 2: Les fonctions composées

• Faire la démonstration que deux instructions consécutives données dans un ordre différent peuvent mener à des résultats différents.

• Vérifier que deux fonctions élémentaires composées, de deux façons diffé- rentes, peuvent produire des fonctions composées différentes.

• Dessiner ou étudier des représentations graphiques de différentes classes de fonctions comme par exemple, linéaires, quadratiques, etc.

Aperçu

La composée de la fonction f suivie de la fonction g est une fonction notée g_°f, elle est définie par g_°f (x) = g(f(x)). Le fait de composer deux énoncés simples dans le but de former un autre énoncé a des répercussions importantes même dans la vie quotidienne. En effet, l’ordre dans lequel deux instructions sont données doit être considéré avec sérieux, afin de ne pas obtenir des résultats désastreux. Au cours de cette activité, nous démontrerons que deux fonctions élémentaires, dont les formules sont connues et combinées dans un ordre prédéterminé, pourront avoir des fonctions composées différente.

Il est aussi important d’être en mesure de représenter une fonction combinée (son graphe et sa forme). En effet, l’étudiant sera en mesure de dessiner ces représenta- tions graphiques incluant les fonctions linéaires, quadratiques et même trigonomé- triques.

Concepts-clés

Fonction composée : une fonction obtenue lorsque l’on combine deux fonctions dans un ordre déterminé.

Lectures

Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.

1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers (UK) 2000. (File name on CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch)

(32)

Ressources électroniques

Composite Functions (Site visité le 06/11/06)

http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/02functions/06compoSite/

index.shtml

• Lisez la première page en entier.

• Utilisez les flèches au bas de la page pour faire apparaître la prochaine page.

• La page 2 offre une activité interactive. Faites cette activité attentivement.

• Lisez la page 3 sur la notation.

• Testez votre compréhension en page 4.

http://mathworld.wolfram.com/Composition.html

• Lisez la section sur les fonctions composées (Composite Functions).

• Tapez “Composite Functions” dans la boîte de recherché et appuyez sur ENTER.

(33)

Introduction

a) L’histoire des enfants qui vont à la garderie éducative

Un frère et une sœur, nommés Jean et Jeanne, sont tous deux inscrits à la garderie des « Petits Amis ».

Un matin, ils se réveillent en retard et doivent se dépêcher à s’habiller et partir pour la garderie. Jeanne revêt ses chaussettes, puis ses chaussures. Mais, son frère Jean enfile ses chaussures et ensuite ses chaussettes. Jeanne le regarde et éclate de rire, tout en partant à la course vers la garderie, suivie de près par son frère.

Question

Pourquoi Jeanne a-t’elle rit?

b) Histoire de la visite d’une brasserie

À l’école, Nabumali High School en Ouganda, un club de sciences a organisé à une visite à Jinja, pour observer les différents stades du brassage d’une boisson locale.

Il était intéressant de voir de quelle façon certains équipements pouvaient transfor- mer une matière à l’intérieur de chambres spécialisées. Par exemple, une bouteille vide entrait dans une salle et en ressortait pleine, mais non capsulée. La bouteille poursuivait la chaîne et entrait dans une autre chambre pour en ressortir cette fois avec une capsule.

Salle 1 Salle 2

Boute ille vide

f

Bou teille pleine Bou teille

capsu lée

g

(34)

Question

Pouvez-vous expliquer ce qui s’est passé dans chacune des deux chambres?

Imaginer si la bouteille commençait par passer par la salle2 avant de faire la salle1.

Activité

Dans notre histoire des enfants de la garderie éducative, ce qui est clairement montré est l’importance que nous devrions attacher à l’ordre des instructions. Jeanne a ri de son frère lorsqu’elle a vu ses chaussettes par-dessus ses chaussures. En d’autres mots, son frère a combiné des instructions (une fonction), mais il a obtenu un résultat plus que malheureux.

Nous pouvons poursuivre avec ces quelques exemples supplémentaires : Exemple 1

Pensez à un nombre, mettez-le au carré et ajouter 3. Pensez à un nombre, additionnez 3, puis mettez-le au carré. Disons que le nombre est x, nous obtiendrons alors deux résultats différents, soit x +² 3^and

(

^{x +}³

)

²^.

Exemple 2

Trouvez par vous-mêmes des exemples similaires à l’exemple 1.

Reprenons l’histoire de la brasserie en Ouganda. Nous avons noté que chaque chambre opérait une instruction spécifique de la tâche à accomplir. C’est pourquoi chaque objet qui entre dans la chambre en ressort transformé d’une certaine manière.

Nous pouvons aussi nous pencher sur un exemple où les instructions sont données à l’aide de formulation mathématique, avec des formules explicites :

Exemple 3

Considérons la composition des fonctions suivantes : f : x → 2x ^et g : x → x + 5

Si nous exécutons la fonction f suivie de g , nous devons doubler x avant d’ajouter 5. Mais si nous exécutons la fonction g suivie de f, nous devons ajouter 5 à x, avant de doubler le résultat.

(35)

Aux fins de notation :

(

^{f g}^o

) ( )

^x ⁼ ^{f g x}

( ( ) )

Signifie g suivi de f. Alors que

(

^{g f}^o

) ( )

^x ⁼^{g f x}

( ( ) )

signifie f suivi de g.

Nous avons donc :

x

f

2x 2x+5

g

Qui représente la fonction composée g (f (x)) = 2x + 5 Alors que :

x

g

x+5 2(x+5 )

f

Qui représente la fonction composée f (g (x)) = 2 (x + 5) Exercice 4

Soit f : x→3x +1 et g : x→ x − 2

Trouver les fonctions suivantes : (a) f go

(b) g fo (c)

(

f og

)

⁻¹

(d)

(

g o f

)

⁻¹

Si x = 3, dessiner un diagramme pour chacune des fonctions composées ci-dessus (comme démontré à l’exemple 3).

(36)

Exercice 5

Tracer le graphe de chacune des fonctions suivantes, considérant que le domaine de chacune est l’ensemble complet IR des nombres réels.

a) f x

( )

^{= 2x − 3}

b) g x

( )

^{= 4x}²^{− 12x}

c) h x

( )

^{= x}³^{− 3x + 1}

d) ^{k x}

( )

⁼^{2 sin}^x

(37)

Module 1 : Mathématiques élémentaires

Section 2 : Les Loi de compositions internes

À la fin de cette activité, l’étudiant sera en mesure de :

• Donner des exemples de lois de composition interne sur différentes opéra- tions.

• Déterminer les propriétés de commutativité et d’associativité de quelques lois de composition interne.

• Déterminer certaines relations d’équivalence sur certaines structures algébri- ques.

Aperçu

Le concept touchant les lois de composition interne est essentiel puisqu’il mène directement à la création de structures algébriques.

Les lois de composition interne fort connues que sont l’addition (+) et la multiplication (x) constituent avec l’ensemble des nombres réels IR une des structures algébriques familières.

Les propriétés de commutativité et d’associativité peuvent être facilement prouvées en ce qui concerne ces opérations sur IR.

Cependant, au cours de cette activité nous définissons et nous abordons des lois de composition interne plus générales qui seront notées par *.

Par exemple, pour une paire de points x et y, dans un ensemble G, x * y indique un choix d’ordre des deux points. Il est donc clair, que x * y n’est pas nécessairement égal à y * x

.

Nous nous intéresserons à des exemples de structures algébriques plus générales qui découlent de ces lois de composition interne.

Concepts-clés

1) Structure algébrique : structure formée d’un ensemble donné G combiné à une loi de composition qui rencontre un ensemble d’axiomes prédéterminés.

2) Une loi de composition interne : il s’agit d’une relation qui associe à chaque couple d’éléments d’un ensemble G, un et seulement un élément de G.

(38)

Lectures

1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos publishers (UK) 2000. (File name on CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch) Ressources électroniques

Binary Color Device (Site visité le 06/11/06)

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml

• Ceci est un casse-tête sur les lois de composition et les tables de groupes.

Faites ce casse-tête pour développer votre compréhension.

http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html

• Lisez la section sur les opérations booléennes (Binary Operations).

.

(39)

Introduction : L’histoire du système de reproduction

Dans la vie de tous les jours, les relations entre les êtres humains sont souvent simples : une personne entreprend une relation avec une personne de sexe opposé. Ils reproduisent d’autres individus qui, ensemble, forment une famille. Il s’ensuit que des familles, ayant une relation en commun, forment un clan et différents clans peuvent former une tribu, etc.…

On peut noter que dans le domaine de l’écologie, il en est de même. Prenons, par exemple, un organisme vivant qui est capable de se reproduire (produire d’autres organismes de la même espèce que lui), les organismes créés forment par la suite une population. Si différentes populations demeurent ensemble, chaque organisme est membre d’une communauté, etc.

Question

Quel est le mécanisme qui fait en sorte de rapprocher deux individus (des êtres humains ou d’autres organismes vivants) pour enclencher le processus de reproduction?

Activité

Dans le cas des êtres humains, nous pouvons dire que c’est le mariage qui amène un homme et une femme à se joindre pour former une famille après qu’il y ait eu procréation. Pour les mathématiques, le concept de mariage peut être vu comme une relation entre deux individus. Si nous transposons cette relation, nous avons :

XF1 XH1 XH8 XF5

xF2 XH2 XF8

xF 4 XF6 XH11 XH5 XF7

A H = ensemble des hommes d’une société A et

F = ensemble des femmes de A R la relation qui signifie x épouse y

Il est donc clair que si x R y alors yR x alors on peut dire que la relation est symé- trique.

(40)

Question

Définissez quelques relations sur des ensembles de votre choix et vérifiez si elles sont symétriques.

En règle générale, nous pouvons affirmer que si une relation R relie des éléments d’un même ensemble E on dit que c’est une relation binaire sur E. De plus :

a) R est réflexive dans E si xRx pour tout x de E;

b) R est symétrique dans E si pour tout couple (x, y) de E² si xRy alors yRx c) R est transitive dans E si pour tout triplet (x, y, z) de E³ si xRy et yRz alors

xRz

De même, nous affirmons que si la relation R définie dans un ensemble E satisfait toutes les 3 propositions (la relation est réflexive, symétrique et transitive) alors elle est une relation d’équivalence.

Exemple 1

Si U est l’ensemble de tous les individus d’une communauté, lequel des énoncés suivants est une relation d’équivalence entre eux

i. est un oncle de ii. est un frère de

Dans l’énoncé (i), si la relation « est un oncle de » n’est pas symétrique. En effet x est un oncle de y n’implique pas que y est un oncle de x. Nous pouvons affirmer que la relation « est un oncle de » n’est pas une relation d’équivalence.

Cependant, l’énoncé (ii), si R est la relation « est un frère de» est une relation d’équi- valence. En effet :

• R est réflexive : tout individu de U est son propre frère;

• R est symétrique : Si pour deux individus x et y quelconques de U, si x est frère de y alors y est frère de x;

• R est transitive : Si pour trois individus x, y et z quelconques de U, si x est frère de y et y est frère de z alors x est frère de z.

Nous pouvons donc affirmer que R est une relation d’équivalence.

(41)

Exercice 2

Lequel de ces énoncés ci-dessous est une relation d’équivalence sur l’ensemble des êtres humains?

i. est un ami de

ii. est un membre de la famille de Exercice 3

a) Déterminer si la loi de composition * sur l’ensemble IR des nombres réels est une relation commutative ou associative pour chacun des énoncés suivants : i. x * y = y²x

ii. x * y = xy + x

b) Définissez la relation ~ sur l’ensemble des nombres entiers suivants : a ~ b si et seulement si a + b est pair. Déterminez si ~ est une relation équivalence sur IR.

c) Donnez un exemple d’une relation d’équivalence sur l’ensemble IR des nombres réels.

Si vous travaillez en groupe, chaque membre devrait proposer un exemple.

d) Compléter les exercices 2.4.1 de la page 34 que vous trouverez dans Sets, Re- lations and Functions by Duntsch and Gediga (solutions aux pp. 48 – 49).

(42)

Module 1 : Notions et outils de bases en mathématiques supérieures

Section 3 : Les groupes, les sous-groupes et les homomorphismes

Objectifs spécifiques

• Nommer les axiomes pour un groupe et pour un anneau.

• Donner des exemples de groupes et de sous-groupes.

• Donner des exemples d’anneaux et de sous-anneaux.

• Donner des exemples d’homomorphismes entre des groupes et des isomorphismes entre des anneaux.

• Faire la preuve de certains résultats sur les propriétés des groupes et des anneaux.

Aperçu

Vous vous rappelez sans doute qu’à la section 2, activité 2, nous avons considéré la situation d’un organisme pouvant se reproduire et ainsi, engendrer une population.

Notez que le terme population, dans notre contexte, réfère à un groupe d’individus de la même espèce. Maintenant, nous allons démontrer qu’une structure algébrique générale peut, elle aussi, engendrer une population spécifique, ayant des axiomes bien définis.

Nous allons aussi nous pencher sur la notion des relations entre les ensembles en utilisant des applications et où nous définirons une application entre deux groupes donnés. C’est à ce stade que le concept d’homomorphisme sera défini et expliqué.

L’étude des propriétés d’une application entre deux ensembles qui représentent des structures algébriques comme étant des groupes est des plus intéressantes et elle indique le chemin menant à l’apprentissage de l’algèbre abstraite proprement dite.

Concepts-clés

Groupe : il s’agit d’un ensemble non vide, G, avec une loi de composition, telle que

(i) a * b∈G pour tous les a,b∈G.

(ii)a * b* c

( )

^{= a * b}

( )

^{* c} pour tous les a,b,c ∈G.

(iii) Il existe un élément e dans G tel que e * a = a = a * e pour tous les a ∈G et où e est nommé élément neutre.

(43)

(iv) Pour tous les a ∈G ^{il existe}

a⁻¹∈G tel que a * a⁻¹= e = a⁻¹* a Et où a⁻¹est nommé l’inverse de a

Groupe abélien est un groupe (G, *) dans lequel a * b = b * a pour tout a,b,∈G.

Homomorphisme : Il s’agit d’une application f d’un groupe (G, T) dans un autre groupe (H, ^) tel que pour n’importe quelle paire a ,b∈G. Nous avons. f ^{(a T b)}

= f ^{(a) ^}f(b)

Isomorphisme : c’est un homomorphisme bijectif.

Anneaux : il s’agit d’un ensemble non vide, disons

R

, ayant deux loi de composition interne + et *, soit l’addition et la multiplication tel que :

(a) R +, est un groupe abélien (b) R, * estvérifie :

(i) a * b∈S pour tous les a ,b∈S.

(ii) a * b* c

( )

^{= a*b}

( )

^{* c} pour tous les a ,b,c ∈S.

(iii) Pour tous les a ,b,c ∈S. a * b+ c

( )

= a * b+ a * c et a + b

( )

* c = a * c + b* c

Sous-groupe : il s’agit d’un sous-ensemble H d’un groupe (G, *), tel que (H, *) est aussi un groupe.

Lectures

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du fichier sur le CD: Abstract_Algebra_Ash)

(44)

Ressources électroniques

Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06) http://mathworld.wolfram.com/Group.html

• Lisez la section sur la théorie des groupes (Group Theory).

Wikipedia (Site visité le 06/11//06)

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_Theory

• Lisez la section sur la théorie des groupes « Group Theory ».

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_

theory

• Lisez cette entrée pour vous familiariser sur l’histoire de la théorie des groupes.

(45)

Introduction : Histoire d’une société coopérative

En 1990, dans une société au Kenya, 100 travailleurs ont décidé de former une société coopérative appelée CHUNA. Chaque travailleur contribuait sous forme de participa- tion à tous les mois. Ils établirent les règles administratives pour gérer la coopérative, incluant les termes pour accorder des prêts. Après quelques temps, il fut décidé que les agents responsables devaient rendre visite à d’autres sociétés coopératives bien établies au pays afin de pouvoir comparer leur gestion à la leur.

Après ces visites, ils notèrent qu’il serait opportun d’assouplir certaines de leurs règles de gestion pour qu’elles soient plus cohérentes avec celles des autres sociétés coopératives.

Questions

1. Pourquoi ont-ils établi des règles après avoir formé la société coopérative?

2. Quelle est l’importance ou la signification que l’on devrait attacher aux visites faites aux autres coopératives?

Activité

Dans notre histoire, nous constatons qu’une société coopérative nécessite l’établis- sement de règles afin de créer une structure opérationnelle. Les axiomes qui sont satisfaits par les éléments d’un ensemble non vide, comme c’est le cas avec le groupe G.

Question

Trouvez d’autres Situations où un groupe de personnes ou d’objets régit par un ensemble de règles qui s’apparenterait aux axiomes d’un groupe?

Exemple 1

Prenons un ensemble Z de nombres entiers relatifs et l’opération d’addition (+).

Nous avons que :

(i) a + b ∈ Z pour tous les a, b, ∈ Z

(ii) a + (b + c) = (a + b) + c pour tous les a, b, c ∈ Z (iii) Il y a 0 ∈ tel que

a + o = a = o + a pour tous les a ∈ Z (iv) Pour tous les a ∈ Z, il y a -a ∈ Z tel que

a + -a = o = -a + a

Par conséquent, {Z ,+ } est un groupe.