Section 2 : Les Loi de compositions internes Objectifs spécifiques d’apprentissage
À la fin de cette activité, l’étudiant sera en mesure de :
• Donner des exemples de lois de composition interne sur différentes opéra-tions.
• Déterminer les propriétés de commutativité et d’associativité de quelques lois de composition interne.
• Déterminer certaines relations d’équivalence sur certaines structures algébri-ques.
Aperçu
Le concept touchant les lois de composition interne est essentiel puisqu’il mène directement à la création de structures algébriques.
Les lois de composition interne fort connues que sont l’addition (+) et la multiplication (x) constituent avec l’ensemble des nombres réels IR une des structures algébriques familières.
Les propriétés de commutativité et d’associativité peuvent être facilement prouvées en ce qui concerne ces opérations sur IR.
Cependant, au cours de cette activité nous définissons et nous abordons des lois de
composition interne plus générales qui seront notées par *.
Par exemple, pour une paire de points x et y, dans un ensemble G, x * y indique un choix d’ordre des deux points. Il est donc clair, que x * y n’est pas nécessairement égal à y * x
.
Nous nous intéresserons à des exemples de structures algébriques plus générales qui découlent de ces lois de composition interne.Concepts-clés
1) Structure algébrique : structure formée d’un ensemble donné G combiné à une loi de composition qui rencontre un ensemble d’axiomes prédéterminés. 2) Une loi de composition interne : il s’agit d’une relation qui associe à chaque
Lectures
Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie
que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.
1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos pub-lishers (UK) 2000. (File name on CD: Sets_Relations_Functions_Duntsch) Ressources électroniques
Binary Color Device (Site visité le 06/11/06)
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/BinaryColorDevice.shtml
• Ceci est un casse-tête sur les lois de composition et les tables de groupes. Faites ce casse-tête pour développer votre compréhension.
Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06)
http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html
• Lisez la section sur les opérations booléennes (Binary Operations). • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.
Wikipedia (Site visité le 06/11/06) http://www.wikipedia.org/
• Tapez “Binary Operations” dans la boîte de recherche et appuyez sur EN-TER.
• Lisez la section sur les opérations booléennes (Binary Operations). • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins. .
Introduction : L’histoire du système de reproduction
Dans la vie de tous les jours, les relations entre les êtres humains sont souvent sim-ples : une personne entreprend une relation avec une personne de sexe opposé. Ils reproduisent d’autres individus qui, ensemble, forment une famille. Il s’ensuit que des familles, ayant une relation en commun, forment un clan et différents clans peuvent former une tribu, etc.…
On peut noter que dans le domaine de l’écologie, il en est de même. Prenons, par exemple, un organisme vivant qui est capable de se reproduire (produire d’autres organismes de la même espèce que lui), les organismes créés forment par la suite une population. Si différentes populations demeurent ensemble, chaque organisme est membre d’une communauté, etc.
Question
Quel est le mécanisme qui fait en sorte de rapprocher deux individus (des êtres humains ou d’autres organismes vivants) pour enclencher le processus de reproduction? Activité
Dans le cas des êtres humains, nous pouvons dire que c’est le mariage qui amène un homme et une femme à se joindre pour former une famille après qu’il y ait eu procréation. Pour les mathématiques, le concept de mariage peut être vu comme une relation entre deux individus. Si nous transposons cette relation, nous avons :
XF1 XH1 XH8 XF5
xF2 XH2 XF8
xF 4 XF6 XH11 XH5 XF7
A H = ensemble des hommes d’une société A et
F = ensemble des femmes de A
R la relation qui signifie x épouse y
Il est donc clair que si x Ry alors yRx alors on peut dire que la relation est symé-trique.
Question
Définissez quelques relations sur des ensembles de votre choix et vérifiez si elles
sont symétriques.
En règle générale, nous pouvons affirmer que si une relation R relie des éléments
d’un même ensemble E on dit que c’est une relation binaire sur E. De plus :
a) R est réflexive dans E si xRx pour tout x de E;
b) R est symétrique dans E si pour tout couple (x, y) de E2 si xRy alors yRx
c) R est transitive dans E si pour tout triplet (x, y, z) de E3 si xRy et yRz alors
xRz
De même, nous affirmons que si la relation R définie dans un ensemble E satisfait toutes les 3 propositions (la relation est réflexive, symétrique et transitive) alors elle
est une relation d’équivalence. Exemple 1
Si U est l’ensemble de tous les individus d’une communauté, lequel des énoncés suivants est une relation d’équivalence entre eux
i. est un oncle de ii. est un frère de
Dans l’énoncé (i), si la relation « est un oncle de » n’est pas symétrique. En effet x
est un oncle de y n’implique pas que y est un oncle de x. Nous pouvons affirmer
que la relation « est un oncle de » n’est pas une relation d’équivalence.
Cependant, l’énoncé (ii), si R est la relation « est un frère de» est une relation d’équi-valence. En effet :
• R est réflexive : tout individu de U est son propre frère;
• R est symétrique : Si pour deux individus x et y quelconques de U, si x est frère de y alors y est frère de x;
• R est transitive : Si pour trois individus x, y et z quelconques de U, si x est frère de y et y est frère de z alors x est frère de z.
Exercice 2
Lequel de ces énoncés ci-dessous est une relation d’équivalence sur l’ensemble des êtres humains?
i. est un ami de
ii. est un membre de la famille de Exercice 3
a) Déterminer si la loi de composition * sur l’ensemble IR des nombres réels est une relation commutative ou associative pour chacun des énoncés suivants :
i. x * y = y2x ii. x * y = xy + x
b) Définissez la relation ~ sur l’ensemble des nombres entiers suivants : a ~ b si et seulement si a + b est pair. Déterminez si ~ est une relation équivalence sur IR.
c) Donnez un exemple d’une relation d’équivalence sur l’ensemble IR des nombres réels.
Si vous travaillez en groupe, chaque membre devrait proposer un exemple.
d) Compléter les exercices 2.4.1 de la page 34 que vous trouverez dans Sets, Re-lations and Functions by Duntsch and Gediga (solutions aux pp. 48 – 49).