supérieures
Section 3 : Les groupes, les sous-groupes et les homomorphismes Objectifs spécifiques
À la fin de cette activité, l’étudiant devrait être en mesure de :
• Nommer les axiomes pour un groupe et pour un anneau. • Donner des exemples de groupes et de sous-groupes. • Donner des exemples d’anneaux et de sous-anneaux.
• Donner des exemples d’homomorphismes entre des groupes et des isomor-phismes entre des anneaux.
• Faire la preuve de certains résultats sur les propriétés des groupes et des an-neaux.
Aperçu
Vous vous rappelez sans doute qu’à la section 2, activité 2, nous avons considéré la situation d’un organisme pouvant se reproduire et ainsi, engendrer une population. Notez que le terme population, dans notre contexte, réfère à un groupe d’individus de la même espèce. Maintenant, nous allons démontrer qu’une structure algébrique
générale peut, elle aussi, engendrer une population spécifique, ayant des axiomes bien définis.
Nous allons aussi nous pencher sur la notion des relations entre les ensembles en
utilisant des applications et où nous définirons une application entre deux groupes donnés. C’est à ce stade que le concept d’homomorphisme sera défini et expliqué.
L’étude des propriétés d’une application entre deux ensembles qui représentent des structures algébriques comme étant des groupes est des plus intéressantes et elle indique le chemin menant à l’apprentissage de l’algèbre abstraite proprement dite. Concepts-clés
Groupe : il s’agit d’un ensemble non vide, G, avec une loi de composition, telle que
(i) a*b∈G pour tous les a,b∈G.
(ii)a*
( )
b*c =(
a*b)
*c pour tous les a,b,c∈G.(iii) Il existe un élément e dans G tel que e*a=a=a*e pour tous les a∈G et où e est nommé élément neutre.
(iv) Pour tous les a∈Gil existe
a−1∈G tel que a*a−1=e=a−1*a Et où a−1est nommé l’inverse de a
Groupe abélien est un groupe (G, *) dans lequel a*b=b*a pour tout a,b,∈G.
Homomorphisme : Il s’agit d’une application f d’un groupe (G, T) dans un autre groupe (H, ^) tel que pour n’importe quelle paire a,b∈G. Nous avons. f (a T b) = f (a) ^f(b)
Isomorphisme : c’est un homomorphisme bijectif.
Anneaux : il s’agit d’un ensemble non vide, disons
R
, ayant deux loi de composition interne + et *, soit l’addition et la multiplication tel que :(a) R, + est un groupe abélien (b) R,* estvérifie :
(i) a*b∈S pour tous les a,b∈S.
(ii) a*
( )
b*c =( )
a*b *c pour tous les a,b,c∈S. (iii) Pour tous les a,b,c∈S. a*(
b+c)
=a*b+a*c eta+b
( )
*c=a*c+b*cSous-groupe : il s’agit d’un sous-ensemble H d’un groupe (G, *), tel que (H, *) est aussi un groupe.
Lectures
Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie
que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes.
Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, par Robert B. Ash (nom du fichier sur
Ressources électroniques
Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06) http://mathworld.wolfram.com/Group.html
• Lisez la section sur la théorie des groupes (Group Theory). • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.
Wikipedia (Site visité le 06/11/06) http://www.wikipedia.org/
• Tapez “Binary Operations” dans la boîte de recherche et appuyez sur EN-TER.
• Lisez la section sur les opérations booléennes (Binary Operations). • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.
Wikipedia (Site visité le 06/11//06)
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_Theory
• Lisez la section sur la théorie des groupes « Group Theory ». • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins.
MacTutor History of Mathematics
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_ theory
• Lisez cette entrée pour vous familiariser sur l’histoire de la théorie des grou-pes.
Introduction : Histoire d’une société coopérative
En 1990, dans une société au Kenya, 100 travailleurs ont décidé de former une société coopérative appelée CHUNA. Chaque travailleur contribuait sous forme de participa-tion à tous les mois. Ils établirent les règles administratives pour gérer la coopérative, incluant les termes pour accorder des prêts. Après quelques temps, il fut décidé que les agents responsables devaient rendre visite à d’autres sociétés coopératives bien
établies au pays afin de pouvoir comparer leur gestion à la leur.
Après ces visites, ils notèrent qu’il serait opportun d’assouplir certaines de leurs règles de gestion pour qu’elles soient plus cohérentes avec celles des autres sociétés coopératives.
Questions
1. Pourquoi ont-ils établi des règles après avoir formé la société coopérative?
2. Quelle est l’importance ou la signification que l’on devrait attacher aux visites
faites aux autres coopératives? Activité
Dans notre histoire, nous constatons qu’une société coopérative nécessite
l’établis-sement de règles afin de créer une structure opérationnelle. Les axiomes qui sont
satisfaits par les éléments d’un ensemble non vide, comme c’est le cas avec le groupe G.
Question
Trouvez d’autres Situations où un groupe de personnes ou d’objets régit par un en-semble de règles qui s’apparenterait aux axiomes d’un groupe?
Exemple 1
Prenons un ensemble Z de nombres entiers relatifs et l’opération d’addition (+). Nous avons que :
(i) a + b ∈ Z pour tous les a, b, ∈ Z
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c pour tous les a, b, c ∈ Z (iii) Il y a 0 ∈ tel que
a + o = a = o + a pour tous les a ∈ Z (iv) Pour tous les a ∈ Z, il y a -a ∈ Z tel que
a + -a = o = -a + a
Exercice 2
Vérifiez si l’ensemble IR muni de l’addition est aussi un groupe.
Notez que si pour n’importe quel groupe {G, *} nous avons que pour n’importe quel éléments x, y ∈ G,
x *y = y *x alors, G est un groupe abélien. Ici, le groupe {R, +} est abélien.
La deuxième question tirée de notre histoire d’une société coopérative est reliée principalement au concept de comparaison. Il s’agit de savoir si la structure mise en place par le CHUNA se compare avantageusement ou non à celle des autres sociétés coopératives. De la même manière, les structures des groupes peuvent être
facilement comparées grâce aux applications. Donc, pour n’importe quelle paire de groupes, disons G et H, une application peut être définie entre eux afin de comparer
leurs structures. En particulier, un homomorphisme f: G→H est une application qui conserve la structure. En d’autres termes, G et son image par f noté f(G) dans H sont le même groupe structurellement.
Notons que si un homomorphisme est une bijection, il est alors appelé un isomor-phisme.
Exemple 3
Si G et H sont deux groupes et e’ est l’élément neutre de de H. Alors l’application f:G→H donné par
f(x) = e’ est un homomorphisme.
En effet, pour toutes les paires x, y ∈ G, f(xy) = e’ = e’ e’ = f(x)f(y)
Exercice 4
Si G est le groupe {R+ , .} des nombres réels positifs mini de la multiplication et si H est le groupe d’addition {R, +} des nombres réels. Montrer que l’application f:G→H donné par
Remarques (5)
1. Un sous-groupe H de G est une partie de G notée H ⊂ G qui est aussi un groupe muni de la même loi que G.
2. L’élément neutre d’un sous-groupe H d’un groupe G est le même que l’identité du groupe G.
3. En conséquence, toutes les considérations peuvent aussi être extraites des
sous-groupes afin de trouver les résultats sous-jacents.
4. Le théorème donné ci-dessous est utile pour déterminer les sous-groupes. Théorème (6)
G est un groupe. Un sous-ensemble non vide H de G est un sous-groupe de G si et seulement si pour a, b ∈ H, ab-1 ∈ H
Exercice 7
a. Soient H et K sont des sous-groupes d’un groupe G, démontrez que H ∩ K est aussi un sous-groupe de G.
b. Soient H est un sous-groupe d’un groupe G, démontrez que Ha = H si et seulement si a ∈ H.
c. Si G et H sont des groupes et que Φ:G →H est un homomorphisme, démontrez que Ker(Φ) est un sous-groupe de H.
Où Ker(Φ) = {x dans G: Φ (e) = e’}et e et e’ sont les neutres respectifs de G et H Im Φ = {Φ(x)/ x G}
Exercice 8
Lisez le chapitre 1 de Basic Algebra par Ash ( pp 1-18) et complétez l’exercice de la p.19. Corrigez votre travail avec les réponses données au chapitre « Answers ».