Section 1, Activité 2: Les fonctions composées Objectifs spécifiques d’apprentissage
À la fin de cette activité, l’étudiant devrait être en mesure de :
• Faire la démonstration que deux instructions consécutives données dans un ordre différent peuvent mener à des résultats différents.
• Vérifier que deux fonctions élémentaires composées, de deux façons diffé -rentes, peuvent produire des fonctions composées différentes.
• Dessiner ou étudier des représentations graphiques de différentes classes de fonctions comme par exemple, linéaires, quadratiques, etc.
Aperçu
La composée de la fonction f suivie de la fonction g est une fonction notée g°f, elle
est définie par g°f (x) = g(f(x)). Le fait de composer deux énoncés simples dans le but de former un autre énoncé a des répercussions importantes même dans la vie quotidienne. En effet, l’ordre dans lequel deux instructions sont données doit être
considéré avec sérieux, afin de ne pas obtenir des résultats désastreux. Au cours de
cette activité, nous démontrerons que deux fonctions élémentaires, dont les formules sont connues et combinées dans un ordre prédéterminé, pourront avoir des fonctions composées différente.
Il est aussi important d’être en mesure de représenter une fonction combinée (son graphe et sa forme). En effet, l’étudiant sera en mesure de dessiner ces représenta-tions graphiques incluant les foncreprésenta-tions linéaires, quadratiques et même trigonomé-triques.
Concepts-clés
Fonction composée : une fonction obtenue lorsque l’on combine deux fonctions dans un ordre déterminé.
Lectures
Toutes les lectures de ce module proviennent de textes de source ouverte ce qui signifie
que les auteurs des textes permettent à tous les lecteurs de les utiliser sans frais. Le support CD qui accompagne ce module contient une copie de tous ces textes. 1. Sets relations and functions par Ivo Duntsch et Gunther Gediga, Methodos
Ressources électroniques
Composite Functions (Site visité le 06/11/06)
http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/02functions/06compoSite/ index.shtml
• Lisez la première page en entier.
• Utilisez les flèches au bas de la page pour faire apparaître la prochaine
page.
• La page 2 offre une activité interactive. Faites cette activité attentivement. • Lisez la page 3 sur la notation.
• Testez votre compréhension en page 4.
Wolfram MathWorld (Site visité le 06/11/06)
http://mathworld.wolfram.com/Composition.html
• Lisez la section sur les fonctions composées (Composite Functions). • Suivez les liens pour approfondir la matière, selon vos besoins. Wikipedia (Site visité le 06/11/06)
http://www.wikipedia.org/
• Tapez “Composite Functions” dans la boîte de recherché et appuyez sur ENTER.
Introduction
a) L’histoire des enfants qui vont à la garderie éducative
Un frère et une sœur, nommés Jean et Jeanne, sont tous deux inscrits à la garderie des « Petits Amis ».
Un matin, ils se réveillent en retard et doivent se dépêcher à s’habiller et partir pour la garderie. Jeanne revêt ses chaussettes, puis ses chaussures. Mais, son frère Jean
enfile ses chaussures et ensuite ses chaussettes. Jeanne le regarde et éclate de rire,
tout en partant à la course vers la garderie, suivie de près par son frère. Question
Pourquoi Jeanne a-t’elle rit?
b) Histoire de la visite d’une brasserie
À l’école, Nabumali High School en Ouganda, un club de sciences a organisé à une visite à Jinja, pour observer les différents stades du brassage d’une boisson locale. Il était intéressant de voir de quelle façon certains équipements pouvaient transfor-mer une matière à l’intérieur de chambres spécialisées. Par exemple, une bouteille vide entrait dans une salle et en ressortait pleine, mais non capsulée. La bouteille poursuivait la chaîne et entrait dans une autre chambre pour en ressortir cette fois avec une capsule.
Salle 1 Salle 2
Boute ille vide
f
Bou teille pleine Bou teille capsu lée
Question
Pouvez-vous expliquer ce qui s’est passé dans chacune des deux chambres?
Imaginer si la bouteille commençait par passer par la salle2 avant de faire la salle1. Activité
Dans notre histoire des enfants de la garderie éducative, ce qui est clairement montré est l’importance que nous devrions attacher à l’ordre des instructions. Jeanne a ri de son frère lorsqu’elle a vu ses chaussettes par-dessus ses chaussures. En d’autres mots, son frère a combiné des instructions (une fonction), mais il a obtenu un résultat plus que malheureux.
Nous pouvons poursuivre avec ces quelques exemples supplémentaires : Exemple 1
Pensez à un nombre, mettez-le au carré et ajouter 3. Pensez à un nombre, additionnez 3, puis mettez-le au carré. Disons que le nombre est x, nous obtiendrons alors deux résultats différents, soit x2+3 and
(
x+3)
2.Exemple 2
Trouvez par vous-mêmes des exemples similaires à l’exemple 1.
Reprenons l’histoire de la brasserie en Ouganda. Nous avons noté que chaque chambre
opérait une instruction spécifique de la tâche à accomplir. C’est pourquoi chaque objet
qui entre dans la chambre en ressort transformé d’une certaine manière.
Nous pouvons aussi nous pencher sur un exemple où les instructions sont données à l’aide de formulation mathématique, avec des formules explicites :
Exemple 3
Considérons la composition des fonctions suivantes : f :x→2x et g:x→ x+5
Si nous exécutons la fonction f suivie de g , nous devons doubler x avant d’ajouter 5. Mais si nous exécutons la fonction g suivie de f, nous devons ajouter 5 à x, avant de doubler le résultat.
Aux fins de notation :
(
f go) ( )
x = f g x( ( ))
Signifie g suivi de f. Alors que
(
g fo) ( )
x =g f x( ( ))
signifie f suivi de g.Nous avons donc : x
f
2x 2x+5
g Qui représente la fonction composée g (f (x)) = 2x + 5 Alors que :
x
g
x+5 2(x+5 ) f
Qui représente la fonction composée f (g (x)) = 2 (x + 5) Exercice 4
Soit f : x→3x +1 et g : x→ x − 2
Trouver les fonctions suivantes : (a) f go
(b) g fo (c)
(
f og)
−1 (d)(
g o f)
−1Si x = 3, dessiner un diagramme pour chacune des fonctions composées ci-dessus (comme démontré à l’exemple 3).
Exercice 5
Tracer le graphe de chacune des fonctions suivantes, considérant que le domaine de chacune est l’ensemble complet IR des nombres réels.
a) f x