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Texte intégral

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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

De Meur, G. (1979). Espaces de Fischer hermitiens (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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(2)

lINIViRSITE IIBRl Oi BMISLUS itcnm Dis sciiNCis

BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉAAATIQUES ET DE PHYSIQUE

BMP

5

IJ J Z M

r?/

C.1

ESPACES DE FISCHER HERMITIENS

THESE PRESENTEE EN VUE DE L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES I GRADE LEGAL I

ANNEE ACADEMIOUE I978 I97S Gisèle

DE MEUR

(3)

J'cU pZxvià-üi d* zxpfiÂjnQA ldi toutz ma gfLOtiladz à Hon&izuA tz Vao^z/i&zuJi F.BUEKENHOUT, qui a acczplz la cLOizction dz czXtz thè6z avzc loutz la compélzncz, Iz dgnaml&mz zi: la gznllllz66z qui lui sont coatiunizAS jz dois bzaucoup à son aidz, à szs cAitiquzs zt à la disciplinz qu'il a zu Iz bonhzuA dz m'imposzA,

Jz AzmzA.ciz zgalzmznt MzssizuAS Izs Pao^zsszuas W.KAMTOR zt A.WAGWER, pouA. IzuAS conszils zclaÙLZS zt l'intzAzt stimulant qu'ils ont bizn voulu mz tzmoignzA.

Jz dois aussi unz pAo^ondz Azconnaissancz au SzAvicz dz GêométAiz zt à tous czux qui ont ^avoAisz l'accomplisszmznt dz cz ixavail, poA Izjua

bonnz humzuA, IzuA compAzhznsion zt IzuA amitié.

Jz m'zn voudrais d'oublizA Izs pzASonnzs qui ont assumé avzc tant dz soin, dz dévouzmznt zt d'z^^icacité, la réalisation matéJiizllz dz cz mémoiAz.

En^in, jz AzmzAciz dz tout cozjua czux qui depuis toujours ont zu Iz talent zt la patience dz m'apprendre la vie zt Xavier, qui mz la rend si heureuse.

(4)

TABLE DES MATIERES

Introduction

Chapitre I : Espaces de Fischer. Résultats généraux ^ 1.1. Des groupes de B.Fischer aux espaces de Fischer 2

1.2. Quelques définitions 8

1.3. Plans de Fischer 9

1.4. Espaces de Fischer engendrés par un plan et un point

1.5. Dimension d'un espace de Fischer 19

1.6. Description de quelques classes d'espaces de Fischer 20

1.7. Constructions d'espaces de Fischer 23

1.8. Quelques résultats généraux 28

1.9. Groupes d'autormorphismes et isomorphismes d'espaces de Fischer 30

Chapitre II : Espaces symplectiques sur GF(2) 33

2.1. Généralités sur les espaces symplectiques 34 2.2. Sous-espaces de Fischer symplectiques en dimension <4 36 2.3. Sous-espaces de Fischer symplectiques en dimension n > 4 44

Chapitre III : Espaces hermitiens sur GF(4) 60

3.1. Généralités sur les espaces hermitiens 6l 3.2. Sous-espaces de Fischer hermitiens en dimension <3 63 3.3. Propriétés des espaces de Fischer hermitiens 7I 3.4. Sous-espaces de Fischer hermitiens en dimensions 4 et 5 78 3.5. Sous-espaces de Fischer hermitiens en dimension impaire 90 3.6. Sous-espaces de Fischer hermitiens en dimension paire 102

Chapitre IV : Groupes des espaces de Fischer hermitiens 105

Bibliographie

(5)

INTRODUCTION

Ce mémoire, consacré à la recherche des sous-espaces de Fischer d'une quadrique hermitienne, tire ses sources des travaux de B.Fischer et F.Buekenhout : la natiire géométrique sous-jacente, et partiellement explicitée, des êtres étudiés par Fischer, a été dégagée et développée par Buekenhout sous le nom d'espaces de Fischer; elle constitue le fondement de notre travail.

La double nature, groupale et spatiale, de ce sujet nous permet de traduire le but de notre recherche en termes de détermination des sous-groupes de PSU(n, H) engendrés par des élations.

La recherche des groupes engendrés par des élations a été poursuivie par de nom­

breux auteurs; la classification complète des sous-groupes de PSL(3, p”) due à

E.H.Moore, A.Witman et L.E.Dickson [9], fournit une réponse dans le cas de la dimension 2. En dimension 3, la question est traitée par Mitchell [26] pour p impair et

Hartley [ 19] pour p = 2.

Le sujet est reconsidéré en 1966 par Piper [27], et en 196? par J.Mac Laughlin [2h] qui le résolvent en imposant des conditions supplémentaires. Enfin, Wsigner reprit le pro­

blème initial, fit la synthèse des résultats déjà obtenus et parvint en 197^ [35] à la détermination complète des groupes engendrés psu- des élations à l'exception de ceux où chaque élation est uniquement déterminée par son centre et son axe (ces excep­

tions n'interviennent bien entendu qu'en caractéristique 2).

Sur un corps de caractéristique 2, les élations deviennent des involutions et le problème rejoint le courant des grandes questions posées par la recherche des groupes simples, dont on sait grâce à Feit et Thompson qu'ils sont engendrés par une classe d'in-

volutions conjuguées. De nombreux auteurs ont étudié des classes d'involutions soumises à différentes conditions, généralement inspirées des groupes simples connus.

L'idée vient d'émettre des hypothèses sur la nature du produit de deux involutions; on pensera en premier lieu à considérer le cas où il est d'ordre 2 ou 3.

(6)

II.-

On aboutit ainsi aux classes de 3-transpositions qui ont permis à B.Fischer [13] de mettre à jour trois nouveaiix groupes simples ^^22’ ^^23 ^^2U apparentés aux groupes de Mathieu et

Des généralisations sont entreprises par Aschbacher [2] , suivi de Pollatsek [29l >

qui étudient des classes de transpositions impaires, et par Timmesfeld [33], qui envisage le cas des "root-involutions"; l'étendue de la classe de groupes ainsi cou­

verte a contraint les auteurs à leur imposer certaines .conditions forçant la quasi- simplicité des groupes engendrés.

W.Kantor [23] étend le problème des groupes engendrés par des élations, et utili­

sant conjointement les résultats des auteurs précités, il étudie et obtient une classi­

fication des sous-groupes des groupes de Chevalley engendrés par certains types d'élé­

ments (des transvections dans le cas des groupes classiques ou orthogonaux), obéis­

sant à une condition analogue à celle imposée par Fischer.

Les travaux de Fischer ont également donné lieu à des prolongements géométriques, avec d'une part, l'étude des espaces localement polaires de F.Buekenhout et X.Hubaut [5 ] et d'autre part, l'interprétation des classes de 3-transpositions par F.Buekenhout [U ] , sous la forme d'espaces linéaires symétriques à droites de 2 et 3 points, dénommmés espaces de Fischer.

Une catégorie particulière de ces espaces, où toutes les droites ont 3 points, se confond avec la classe des systèmes triples de Steiner dans lesquels tout triple de points détermine un plan affin; ces systèmes ont été étudiés par Hall [l8] , Teirlinck

[32] et Bénéteau [3] .

Le concept d'espace de Fischer, développé dans ce mémoire, nous a permis d'abor­

der géométriquement l'étude des sous-groupes de groupes primitifs classés par Fischer, et en particulier ceux de PSU(n, 4). *

*

* ♦

(7)

IV.-

Le chapiti’e II e»t roiaLif à l'otiulo d'une des principales classoa d'espacer, de Fischer, les espaces symplectiques sur GF(2).

La motivation de cette étude est due à l'inclusion de ces espaces dans la famille des sous-espaces de Fischer hermitiens en dimension impaire.

Pour aboutir à une classification complète de tous les espaces symplectiques, nous avons jugé opportun d'y inclure les espaces symplectiques en dimension paire, de dégé­

nérescence minimale; ce point de Ame nous a permis de simplifier largement l'exposé en procédant par induction sur la dimension.

Outre les résultats énoncés dans le théorème 1 (p. ) et également obtenus par

Mac Laughlin [25], nous obtenons, pour la dimension paire, les résultats complémentai­

res qui font l'objet du théorème 2 (p. UU).

De manière plus précise, nous démontrons sous des hypothèses non restrictives de connexité que les sous-espaces de Fischer de dimension n d'un espace symplectique sur GF(2), de dégénérescence minimale sont, selon la parité de n, de types suivants :

si n = 2m, espace de paires, recouvrements doubles d'espaces de paires, extérieurs de quadrique ou de cônes,

si n = 2m + 1, espaces de paires et extérieurs de quadriques, les sous-espaces d'un même type étant tous conjugués entre caix.

Le coeur du travail consiste en la détermination des sous-espaces de Fischer d'un espace hermitien sur GF(U); le chapitre III y est consacré.

Signalons tout d'abord que le fait de ne considérer que des sous-espaces connexes ne constitue pas une restriction, car nous montrons que la détermination des espaces non connexes s'obtient aisément à partir de celle des espaces connexes.

La méthode utilisée dans ce chapitre repose également sur le principe d'induction,

mais étant donné la structure des quadriques hermitiennes, nous sommes amenés à utiliser parallèlement deux inductions, portant respectivement sur les espaces de dimension

paire, et impaire (l'étoile d'un point d'une quadrique hermitienne étant une quadrique hermitienne de même parité).

(8)

III.-

Notre travail est subdivisé en h chapitres, dont le premier est consacré aux

espaces de Fischer abstraits, les 2ème et 3ème aux espaces symplectiques et hermitiens, et le Uême aux groupes des sous-espaces rencontrés.

Le premier chapitre regroupe définitions, propriétés et résultats généraux.

Reprenant les idées de Buekenhout nous associons aux groupes de Fischer des espaces linéaires, équivalents à la donnée d'un groupe engendré par une classe de 3-transposi- tions. i

Après avoir développé la notion de sous-espace , nous introduisons celle de connexité dans un espace de Fischer. Ces espaces linéaires ne sont pas dimensionnés; toutefois ils sont planaires, c'est-à-dire que la notion de plan y est clairement définie.

L'existence de plans permet d'ailleurs de donner une définition purement combinatoire des espaces de Fischer.

Ensuite, nous étudions les sous-espaces engendrés par un plan et un point extérieur et nous les déterminons tous à l'exception de ceux qui sont engendrés par un plan affin de 9 points et un point extérieur adjacent à ces 9 points. Ce type d'espace fait l'objet des études citées plus haut en liaison avec les systèmes triples de Hall, [l8] , [32] et [3] .

Nous décrivons quelques classes importantes d'espaces de Fischer, à savoir les espaces affins sur GF(3) et pseudo-affins (espaces de Fischer au sens restreint), les espa­

ces de paires, les espaces symplectiques sur GF(2), les espaces orthogonaux sur GF(2) et sur GF(3), et les espaces hermitiens sur GF(ii).

Dans la suite, nous exposons quelques constructions, notamment une condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace de Fischer admette un recouvrement double, ainsi que la description de certains recouvrements triples et quadruples.

Le chapitre se clôture par des considérations d'ordre groupal, établit la liaison entre les groupes classés par Fischer et les espaces décrits dans la section précédente, et fournit une description des isomorphismes classiques ou exceptionnels entre espaces de Fischer.

(9)

V.-

L'etablissement d'une base d'induction requiert la détermination complète de tous les sous-espaces de dimension inférieure ou égale à 5; en fait, la connaissance de la dimension 5 n'est pas seulement nécessitée par la méthode utilisée, mais s'impose par l'existence d'un cas exceptionnel.

Pour démontrer les théorèmes 5 et 6 (p. 90 et 102) qui, constituent le noeud de ce chapitre, nous nous basons essentiellement sur le fait que dans un espace de Fischer connexe de dimension n, l'ensemble des points non adjacents à un point donné possède une structure de sous-espace hermitien de dimension n-2, ou d'un recouvrement double ou quadruple d'un tel espace.

Nous retrouvons comme sous-espaces, en dimension impaire, outre les espaces symplecti­

ques sur GF(2) dont la description fait l'objet d'une partie du chapitre II, les re­

couvrements triples.d'espaces de paires ainsi qu'un espace exceptionnel de 126 points.

Nous démontrons que les recouvrements triples d'espaces de paires sont les seuls sous- espaces connexes propres apparaissant en dimension paire.

Nous rétablissons le lien entre l'aspect géométrique, espaces de Fischer, et l'aspect groupal, groupes engendrés par une classe de 3-transpositions, au sein du chapitre IV.

Les sous-groupes de PSU(n, h) que nous obtenons en dimension impaire sont d'une part les groupes symplectiques ainsi que les 2 types de groupes orthogonaux sur le corps à 2 éléments, et d'autre part les groupes symétriques.

De plus, quelle que soit la parité de la dimension, nous obtenons des groupes symétri­

ques étendus par un 3-groupe abélien élémentaire.

Enfin, le groupe correspondant à l'espace exceptionnel de 126 points de la dimension 5 est en fait isomorphe au groupe orthogonal sur le corps à 3 éléments intervenant dans la construction du groupe sporadique

(10)

r 11 A r I K K [. UK kiiuiikk. hegultatk gI'Ineraux

Dans ce premier chapitre, nous définissons les espaces de Fischer, donnons quelques propriétés générales, nous décrivons quelques classes et nous donnons un aperçu des groupes d'automorphismes.

nous en d'espaces

(11)

1.1. Des groupes de B.Fischer aux espaces de Fischer.

Fischer a entrepris en 1971 II3] une classification des groupes G engendres par une classe de 3~transpositions, c'est-à-dire satisfaisant les conditions sui­

vantes. G est un groupe fini, muni d'un ensemble D d'involutions telles que 1) si X ^ D, tout élément conjugué à x dans G appartient encore à D 2) G = < D >

3) si X et y sont 2 éléments distincts de D, le sous-groupe diédrique de G engendré par x et y est d'ordre ou 6.

Fischer a démontré le théorème :

Soit G un groupe fini muni d'une classe D de 3"transpositions conjuguées tel que

0^{G) < Z(G) 0^(G) < Z(G) G' = G"

et soit G = alors G contient un sous-groupe normal simple et est isomorphe à l'un des groupes suivants :

( 1 ) Sym(n) , n > 5 (2) PS (2) , n > 2

^2n

(3) 0*^(2) , n > 2 {h) PSU^(U) , n > 4

1

(5) PO^ (3) , n ^ 4 et un sous-groupe d'indice 2

(6) ^^22 ’ ^^23 ’ ^^24

Z(G) désigne le centre de G, 0 (G) le plus grand sous-groupe normal d'ordre P

premier à p de G, G* le groupe dérive de G.

Buekenhout a montré [4] que les groupes munis d'une classe de 3-transpositions don-

(12)

3.-

naient lieu à une intéressante interprétation céométrique, et nous appellerons comme lui "espaces de Fischer" les espaces correspondant à ces groupes.

En effet, considérons un tel groupe G, il va nous permettre de construire un espace linéaire F = F(G, D) de la manière suivante :

- un point de F est un élément de D

- si X et y sont des points distincts tels que xy soit d'ordre 2 dans G, y} est une droite (de 2 points) de F

- si X et y sont des points distincts tels que xy soit d'ordre 3 dans G, {x, y, xyx ^ = yxy est une droite (de 3 points) de F.

F est un espace linéaire à droites de 2 et 3 points, déterminé par G et D; de plus les éléments de D déterminent des automorphismes de F. En effet, si p G F, l'application : F ^ F : x *“>• pxp ^ est une permutation des points de F, conser­

vant toute droite par p et fixant x G F ssi la droite (p, x) est réduite à 2 points•

Cette "symétrie" est un automorphisme involutif de F et '^0^, > sera d'ordre 1+ ou 6 selon que la droite (p, q) contiendra 2 ou 3 points.

En outre, comme D est une classe d'involutions conjuguées de G, F est un espace connexe (2 points quelconques de F peuvent être reliés par une chaîne de droites de 3 points); en effet V d^, d^ G D, 3 g E G : gd^g ^ = d^ et g = d^ , d^ . ... , d^

car G = <D > ; donc d, ... d .d,.d ... d, = d , c'est-à-dire qu'on obtient une

’ 1 n Hd n 1 a

JJ t ^ ^

chaîne de noints, d' = d d.d ,d"=d ,d'd ,...d,d d, = d, reliés entre evix

’ n b n’ n-1 n-1 1 1 a’

par des droites de 3 points ou confondus (en vertu de la définition donnée ci-dessus

' . i' ^ .

SI d .d d . = d on a soit d = d lorsque d . et d commutent.

n-1 n-1 n-1

^i+1' .. .i' .i+1'

soit (d d *^n-i^ droite de 3 points lorsque s't d ne commutent pas.) d'

n+]

(13)

u.-

En rosiutio nous obtenons nn espace linéaij’o l’ini connexe F à droite:; de i’ et 3 points, qui est symétrique par rapport à chacun de ses points (V p G F, l'applica­

tion Op est un automorphisme de F). Nous appellerons espace de Fischer un tel espace.

Proposition 1. Tout espace de Fischer détermine un groupe G engendré par un ensemble D de 3“transpositions.

Démonstration.

En effet, D est identifié à l'ensemble des points de F, et les relations entre générateurs de G sont déterminées comme suit par la structure de F ;

(dpd^) = 1 si (d^,d2) est une droite de 2 points dans F (d^ V'd^) O

(d^,d2)'^ = 1 si (d-| ,d2) est une droite de 3 points dans F (d^ ~ d2)

Proposition 2. Tout espace de Fischer détermine un groupe de permutations G sixr F engendré par les symétries a , p G F.

P

La démonstration est immédiate; remarquons cependant que si p est un point isolé de F, a se réduit à l'identité sur F.

P

Proposition 3. G est une représentation de G sur F.

Démonstration.

Nous devons montrer l'existence d'un morphisme de G sur G, c-à-d. que les pro­

duits de symétries (a a ) avec 0,0 non réduites à l'identité sont d'ordre

P q P q

2 ou 3.

Si p-T^q, aa = aa; considérons x G F, les 3 situations suivantes sont à

^ P q q P

envisager :

a) X y- P, X q

b) x~p, XT^q (ou réciproquement) c) x~p, x~q

(14)

5.-

a) a a (x) = a a (x) = x P <1 q P

b) O O (x) = a a (x) = y P q q P

c) a a (x) = a a (x) = z P q q. P

3 3 V

si P ~ q, = T = 1p; notons r le 3ème point de (p, q) rons X G F, les U situations suivantes sont à envisager :

et conside-

a) X '/’p, X T^q, X T^r b) X ~p, X ~q, X '/'T c) X ~ P, X q, X ~ r d) X ~ P, X ~ q, X ~ r O

a) T (x) = X

c)

d)

T^(x) =

T-"(x) =

Le noyau du morphisme contient évidemment l'ensemble des 3~transpositions corres­

pondant à des points isolés de F.

Nous préciserons la nature de ce noyau dans la proposition 5-

(15)

6.-

Proposition h. L'espace de Fischer F est. connexe ssi D est. une classe de 3“

transpositions conjuf^uées.

Démonstration.

Nous avons montré précédemment ( 1.1) que si D est une classe de conjugaison, F est connexe; réciproquement si F est connexe nous pouvons relier 2 points quelconques de F par une chaîne de droites de 3 points :

avec

^n-i

(p^) = i+1

c'est-à-dire d .(d^) = d n-i

i+1 dans D, et par conséquent d^ = a est conjugué à = b, V a, b G D.

(Nous notons p^ ou p^ des points de F, et d^ ou d^ les éléments corres­

pondants dans d).

Nous avons ainsi montré l'équivalence entre la notion d'espace de Fischer (connexe) et celle de groupe engendré par une classe de 3-transpositions (conjuguées); notons qu'il sera utile de ne pas exclure les espaces de Fischer non connexes, correspon­

dant à des produits directs de tels groupes.

Proposition ~ ^

Démonstration.

Considérons le morphisme de G = •< D > dans G = < a et notons N le noyau P

de ce morphisme.

Soit gGNCG,g = d.d. ...d, : a O ... O = I sur F

"J k Pi Pj Pk Donc (a a ... o )(p)=p Vp^F

Pi P.i P

a O P,- P •O •••O O

1 -J Pk P Pk Pj Pi P

•«•d.d- ... d, d d, ... d.d. = d car l'élément d d d est déterminé par la

ij kpk jip xyx

(16)

T.

structure de F

= V ^ P

Par conséquent N C Z(G); trivialement on a Z(G) C N et donc Z(G) = N.

(17)

8.-

1.2. Quelques définitions.

Nous dirons que 2 points p et q d'un espace de Fischer sont adjacents

(resp. non adjacents), et nous noterons p ~q (resp. p q) si la droite (p, q) comprend un 3ême point (resp. ne comprend aucun autre point).

Cette relation d'adjacence, qui nous permet d'ailleurs de considérer un espace de Fischer comme un graphe, nous amène à distinguer les espaces de Fischer connexes et non connexes, ces derniers pouvant être vus comme "sommes directes" d'espaces connexes, ce que nous noterons F + F'.

Il sera également utile dans la suite, de considérer des parties d'un espace de Fischer qui ne sont reliées (directement) entre elles par aucune droite de 3 points;

nous les dirons totalement non adjacentes.

Une partie P d'un espace de Fischer est un sous-espace (de Fischer) de F s'il constitue lui-même un espace de Fischer.

Proposition 6. Tout sous-espace linéaire d'un espace de Fischer F est un sous- espace de Fischer de F.

Proposition T« Toute partie P stable pour les symétries a^, p G p dans un espace de Fischer F est un sous-espace de Fischer de F.

Démonstrations

1) S est un sous-espace linéaire de F si F 3 S et V p, q ^ S, la droite

(p, q) est incluse à S. Pour que S soit un espace de Fischer il faut en outre que V x, yGs, o^(y) ^S-

Si X y, a^(y) = y G S .

Si X ~ y, le 3ême point de (x, y), noté z, appartient à S, et donc = z ^ S.

2) P est stable pour les symétries, donc V p, q G p, CJp(q) ^ P. Nous en dédui­

sons que P . est un sous-espace linéaire de F :

si O (q) = q, la droite (p, q) est une droite de 2 points, donc (p, q) C S si a (q) = r q, (p, q, r) est une droite de 3 points incluse dans S, puisque la stabilité de S implique r ^ S.

(18)

9.-

1.3. Plans de Fischer.

Nous distinguerons parmi les sous-espaces de Fischer d'un espace de Fischer F, ceux que nous appellerons plans de Fischer : un plan de F sera un sous-espace de F engendré par 3 points non alignés. Buekenhout a classé les plans de Fischer : Proposition 8. Tout plan de Fischer est isomorphe à l'un des espaces linéaires *-

suivants :

F^ + F^ + F^ Fl + F3 Fé ou F^

(1) (2) (3) (It)

Démonstration.

- si le plan considéré est non connexe, il est clair qu'il est isomorphe à F^ + F^ + F^

ou à F^ + F3 •--- »--- -•

- si le plan est connexe, il contient au moins 2 droites de 3 points sécantes, que nous notons (a, b, c) et (a, d, e). Comme permute a et c, elle ne peut fixer à la fois d et e. Supposons donc que permute d avec un point f. Deux cas peuvent alors se produire : soit fixe le point e et dans ce cas, le plan engendré sera de type Fg, soit 0^ permute e avec un point g, et le plan engendré sera de type F^.

En effet : a) 0^ fixe e, donc d, e) = (c, f, e) qui constitue ainsi une droite de 3 points, et on vérifie sans peine que {a b c d e f} possède une structure de Fischer, et nous le notons F^

(19)

10.-

b) a^(e) = g et donc ®) ~ f, g) qui constitue ainsi une droite de 3 points.

En considérant a (e, b, g) et O (d, b, f), nous constatons que a ne peut

3, 8. 8»

fixer ni g ni f; notons h = O (g) et i = a (f). Nous obtenons ainsi les 8 8

droites de 3 points supplémentaires suivantes :

(d, h, c) = a (e, g, b) et bien entendu (a, i, f) et (a, h, g)

8

(e, i, c) = ag^(d, f, b)

En procédant de même à partir d'un autre point, nous obtenons au total 9 points, 12 droites de 3 points et aucune droite de 2 points, constituant l'espace de Fischer noté F^, de structure isomorphe à celle du plan affin d'ordre 3.

Corollaire. Tout espace de Fischer F est un espace planaire, c'est-à-dire que tout triple de points non alignés de F est inclus dans un unique plan.

(20)

I.U. Espaces de Fischer engendrés par un plan et un point.

Nous considérons à présent les espaces de Fischer engendrés par un plan de Fischer tt et un point p extérieur à tt; les deux propositions suivantes, dues à F.Buekenhout, permettent de classer les espaces engendrés de la sorte.

Proposition 9. Un'espace de Fischer F engendré par un plan de Fischer tt et un point P extérieur à ir réalise l'une des situations suivantes :

F = F^

F = F^

F = F^

F = Fg

+ F^ + F^ + F^ (1)

+ F^ + F^ (2)

""3 (3)

+ Fi (4)

"^1 (5)

F = < Fg, P > avec p adjacent à au moins un point du Fg (6) F = <F^, P > avec p adjacent à tous les points du F^ (T) Démonstration.

Nous avons a priori 4 cas à considérer, selon le type de tt. 2er_cas : tt est de type F^ ^

- si P n'est adjacent à aucun point de tt, F = F + F

1 1 + F^ + F^ (1) - si P est adjacent à un seul point de tt, F = Fj + F, + Fi (2) - si P est adjacent à 2 points de tt, F = Fg + (4) - si P est adjacent aux 3 points de tt, F est de type (6),

2ème cas : TT est de type F^ + F^

- si P n'est adjacent à aucun point de tt, F = F + F

3 1 (2)

- si P est adjacent au point isolé de tt Toniquement, !F = F^ + F^ (3) - si P n'est pas adjacent au point isolé de tt., mais adjacent à au moins un

autre point de tt, F = Fg + F^ ou F = F^ + F^ (4) ou (5) -si p est adjacent à la fois au point isolé et à (au moins) un autre point de

TT, il engendre avec ceux-ci un plan de type F^, qui engendre avec un autre point de TT un espace de type (6).

(21)

12.-

3ème_cas : tt est de type

- si Tl II'est adjacent à aucun point de tt, F = Fg + ())) - si P est adjacent à au moins un point de tt» F est de type (6).

4ème_cas : tt est de type F^

- si P n'est adjacent à aucun point de tt, F = F^ + F^ (5)

- si P est adjacent à un point (r) et non adjacent à un point (s) du plan tt,

< P, r, s > est de type Fg, et donc F est de type (6)

- si P est adjacent à tous les points de tTï F est de type (î).

Ce dernier cas termine la démonstration de cette proposition; nous avons pu re­

marquer l'importance des espaces de Fischer des types (6) et (T), qui ne sont pas encore analysés. Le but de la proposition suivante est de décrire les espaces de Fischer de type (6).

Proposition 10. Un espace de Fischer engendré par un plan de Fischer tt de type Fg et un point p n'appartenant pas à 1T et adjacent à au moins un point de tt est un espace de 10, 12, l8 ou 36 points ^ ^

Démonstration.

Nous distinguons U cas, puisque p peut être adjacent à 3, 5 ou 6 points du Fg 2er_cas : si p est adjacent à 3 points de tt, nous montrons que < Fg, p ^ = F^q

Nous avons la configuration suivante : avec p ~ a P 7^ c par exemple,

(*) De tels espaces, notés F sont décrits en 1.6 et 1.7.

(22)

1

Considérons les transformés des points a, b et d par la symétrie Op(a) = a'»

OpCb) = V et cfp('i) “ sont trois nouveaux points, satisfaisant a\ix aligne­

ments suivants : (a'd'e), (a'b'c), (b'd'f) et évidemment (paa'), (pbb')»

Nous constatons que l'ensemble de 10 points décrit ainsi est fermé linéairement et constitue un espace de Fischer que nous notons

2ème_cas : si p est adjacent à 4 points de ïï, nous montrons que < F^, p >■ = Nous avons la configuration suivante :

avec p ~ a

”b

^ e - f

p </> c par exemple,

d ^r-p

Nous obtenons 4 nouveaux points a' = a (a), b' = a (b), e' = a (e) et f = a (f)

P P P P

satisfaisant aux alignements suivants : (a'e'd), (a'b'c), (b'f'd), (e'f'c) et évidemment (pa'a), (pb'b), (pe'e) et (pf'f); ils constituent un plan de Fischer de 6 points avec les points c et d :

ainsi que les 4 plans de Fischer suivants :

(23)

1H.-

En considérant a (ïï„) et a (tTi ), nous constatons q.ue l'image par a du point

Sé <L Bu ^ S.

f, que nous notons x, doit être non adjacent à d et à e

Nous constatons à présent que l'ensemble de 12 points ainsi obtenus est fermé linéairement et constitue un espace de Fischer que nous notons

^me_cas : si p est adjacent à 5 points de tt, nous montrons que P ^ ^l8‘

Nous avons la configuration suivante : '

Nous avons < p, (ade) > = F^(l),

< P, (bdf) > = F^(2) dans la configuration suivante : Considérons ag(ff'f") = (cc'c"), ce qui nous donne 2 nouveaux points supplémentaires, pour compléter les plans de Fischer

c'est-à-dire 9 points supplémentaires . Il

c

(24)

15.-

^3(3^ = > ot b, > .

Etant donné que c d et c -7^ p, nous voyons que c </- d', tandis que les relations d'adjacence entre les I8 points obtenus ainsi sont déterminés par la structure des

U plans de Fischer de type F .

Nous avons donc construit un espace de Fischer de I8 points, noté F18‘

Uème cas : si p est adjacent aux 6 points de tt, nous montrons que P ^ “ ^36' 1°) Etant donné que p est adjacent à tous les points du F^, il engendre avec ses U droites de 3 points U plans de Fischer F^. Considérons l'un de ceux-ci, que nous noterons F_(o), contenant les noints a , b , ..., i , et le plan tt de

9 * 0 0 O

points a^ b^ c^ a^ b^ et c^, constituant une configuration que nous décrivons ci-dessous.

Nous notons x^ un point engendré par jonction de avec un point y^ de F^(o) lorsque x^ est non adjacent à x^ G Fg(o); nous obtenons ainsi un total de I8 points ^* •••5 ...s

Nous montrons que l'ensemble de points > *^i» •••> ^^o^ possède une structure de plan de Fischer F_ et que Vx ^a,a, ~x.

________________ ______________________ 9 o o’ 1 O

l.'ln effet, nous savons que a, a ; en outre Vx ^ a. GF_(o) on a a, ~x :

’ ^ 1 ' o’ o o 9 1 o

par hypothèse nous savons que a^ ~ b^; a^ ~ c^; a^ ~ i^ = p et nous en dédui­

sons a. ~ e : d'autre part, les deux droites (a. b c.) et (a, b, c ) engen-

10 loi i1o°

drent avec i^ ^ p chacune un plan de Fischer F^( 1 ) et F^(2) et par -conséquent

(25)

16

a. ~ d

1 0 et a a^ ~ g

1 ~^o et a

6i et i, et

(De manière identique, on peut montrer que ~ et ~x^ ^ c^).

Ensuite nous considérons les points obtenus pair la construction suivante :

< a^, (3-^’f^Q) donne les nouveavix points d^ et

<a,, >= Fg(2)

Nous avons x^ ~ ^ ^o ^ précisément {b^, c^ ..., i^}Ua^

possède une structure de F„, image par a de F_(o).9» U JT y

2°) Nous nous demandons à présent ce que donne la jonction de x^ ^ ^9(0) avec un point ; nous noterons et z^ les points obtenus par les jonctions respectives de x^ avec y^ et x^ avec y^, les points x^, y^ et z^ étant alignés dans F^(o) et différents de a^.

Nous allons successivement prouver que le point z^ (resp. z^), z^ étant dif­

férent de z^, est un nouveau point, non adjacent à z^, z^ et z^ (resp. z^) mais adjacent aux autres points (de type 0 et I).

Considérons par exemple l'espace de Fischer a^ , c^, g^ > , dont la struc­

ture est celle d'un plan de Fischer F^, puisque a^ ~ i^, i^ étant 3ème point de la droite <^q) , rend impossible une structure de Fg.

Nous sommes donc en présence de la configuration : avec deux nouveaux points f^ et g^.

En effet, f„ f car (i ,f ) ^ c .

2 O 00 1

De meme g^ Rq

En outre, f^ ^ f^ car (a^ ,f^)

par Sq ^2' Rg ^1 *--- ---*

Sq • f2

'il ~ ——i 1

^ "T

b < --- - 0

se complète

a < ►--- < 1 '4 1

(26)

17.-

L'espace ^ comportant une paire (c^ -7^ c^) a une struc­

ture de

d'où il résulte que f_ ~ c

^ 2 O

et

Ce raisonnement pouvant se répéter pour ^ a au lieu de c , et pour

O o’ ^

(i^jf^,c^) au lieu de (i^^f^^c^), nous démontrons ainsi que z^, non adjacent â z^ et z^, est adjacent aux autres points x^ et x^, sauf éventuellement si (x^^z^) sont alignés avec a^. Nous pouvons lever cette restriction en considé­

rant les configurations suivantes la première qui montre pourquoi f. ~ ^o’ ^2

la seconde qui montre que f^ ~ a

b„

0Ü c^ ~ a structure de

c. ~ e 1 O c, ~ 1

1 O

En résiomé, les nouveaux points x^ et x^ sont adjacents à tous les anciens points x^ , i = 0 ou 1.

3°) Nous procédons à présent à la construction d'un espace de Fischer de 12 au dessus de chaque droite de F^(o) ne contenant pas a^, points, noté F

(27)

10.-

Nous savons que si (x ,y ,z ) est une telle droite, ^ (x , y , z ), x, > a une

O OO OOOl

structure de F^-, et que le point y^ est non adjacent à 2 points (y^ et y^) de ce Fg;

Nous savons, en vertu d'un résultat précédent que dans ce cas l'espace engendré par le Fg et y^ a une structure de ^-^2’

Par ce qui précède (2°) nous pouvons dire que ce F^2 constitué des points que nous

avons baptisés x^, y^, z^ avec i = 0, 1, 2, ou 3

♦ Z

4°) Il nous reste enfin à montrer que le processus se généralise pour les droites de F^(o) contenant a^, en d'autres termes à montrer l'existence analogue des points a^ et a^. Ceci se fait aisément, en recommençant le procédé de construc­

tion, à partir cette fois de F^(o) et d'un autre point, par exemple f^.

Il est clair que l'on obtient ainsi les mêmes points x^ que précédemment, lorsque x ^ f, et en outre deux nouveaux points, appelés naturellement a^ et a^. On construira finalement le dernier ^-^2* dessus de la droite ^’q) grâce à une dernière itération du processus, par le choix d'un dernier point, par exemple g-], à combiner avec F^(o).

Nous sommes ainsi en présence d'un espace de Fischer de 36 points, noté F^g nous connaissons toutes les adjacences par ce qui précède.

/

dont

(28)

19.-

1.“^. Dimension d'un espace de Fischer.

Nous avons pu parler de plans de Fischer dans les paragraphes précédents, car les espaces de Fischer engendrés par une droite et un point extérieur sont bien dimensionnés (c'est-à-dire ne peuvent pas nécessiter plus de trois points pour être engendrés).

Mais il n'est pas possible de parler plus généralement de la dimension d'un es­

pace de Fischer quelconque.

Il suffit pour s'en convaincre de considérer l'exemple de l'espace ^^6’

ci peut d'une part être engendré par U points de la ma.nière suivante ; 3 points a, b, c tels que < a, b, c_ > “ 4ème point ^ adjacent à 8 points de ce F^ et non adjacent au dernier point; d'autre part, un autre choix de points peut rendre nécessaire de considérer 5 points pour engendrer F^g : soit /a, b, et c tels que < a, £ ^ = Fg, un point d adjacent à 4 points de

ce Fg et non adjacent aux 2 autres, qui engendre ainsi avec Fg un espace F^^»

et enfin un 5ème point e_ adjacent aux points de ce F^^»

Par contre, il sera très souvent utile de considérer la dimension d'un espace de Fischer F plongé, par exemple, dans un espace projectif P; pour éviter tou­

te confusion, nous parlerons alors de la dimension projective de F, désignant ainsi la dimension du plus petit sous-espace projectif de P qui contient F.

Il faut remarquer qu'un espace de Fischer peut avoir de la sorte plusieurs dimen­

sions projectives possibles.

(29)

20.-

1.6. Ücücription de quelques classes d'espaces de Fischer.

1.6.1. Les espaces linéaires dont toutes les droites ont 2 points constituent évidemment des espaces de Fischer.

1.6.2. Espaces affins et pseudo-affins.

Le plan affin AG(2, 3), noté F^ dans notre contexte, et plus généralement,

AG(n, 3) ainsi que tous les espaces linéaires dont tous les plans sont isomorphes à des plans affins F^, constituent une classe d'espaces de Fischer. Ce sont les seuls espaces de Fischer sans droite de 2 points.

1.6.3. Espaces de paires.

Les points sont les (2) paires choisies dans un ensemble îî de m éléments;

les droites de 3 points sont les ensembles {{ab}, {bc}, {ca}} où a, b, c ^ Çl.

La symétrie de centre {ij}, est la permutation induite sur les paires par la transposition (i j) dans fî.

En particulier, pour m = 3, H, 5» 6 nous obtenons des espaces de Fischer de 3, 6, 10 et 15 points, que nous notons F2(P2)»

généralement nous notons un espace de paires désignant le nombre de

• ^ ^ ni(m - 1 )

points de cet espace; n = ---.

1.6.J+. Espaces symplectiques.

Les points sont ceux de l'espace projectif FG(2N+1, 2) muni d'une polarité sym­

plectique TT, et 2 points p et q sont adjacents si et seulement si p ^ Dans ce cas, la droite de 3 points projective (p, q, r) est une droite de l'es­

pace de Fischer. La symétrie a , de centre p £ PG(2N+1 , 2), est la perspectivité P

I) de PG(2N+1, 2) de centre p et d'axe ir(p). Nous notons ^n^^2N+1^

cet espace de Fischer; le nombre de points n = 2 2N+2 - 1.

(30)

21

1.6.5- Espaces orthogonaux sur GF(2).

Les points sont ceux de l'espace projectif PG(N, 2) extérieurs à une quadrique donnée (et son noyau en dimension paire). Les droites de 3 points de l'es­

pace de Fischer sont les non-sécantes à la quadrique Qj^ dans PG(N, 2).

La symétrie o^, de centre p^PG(N, 2) - Q^j, est la perspectivité I) de centre p, axe Tr(p) - où ir désigne la polarité induite par - qui conserve la quadrique

Nous notons espace de Fischer; le nombre de points n dépend de la parité de la dimension N, et du type de quadrique Q.

En dimension paire, |Qjj| = 2^ - 1; en dimension impaire, pour une quadrique ellip­

tique, I*^.2N-1^ ~ 2^^^^ - 1 - 2^, et pour une quadrique hyperbolique.

I *^2N- 1 I ^

2N+1 1 ^ 2^

1.6.6. Espaces orthogonaux sur GF(3).

Etant donné une forme quadratique non dégénérée Q(x) dans PG(N, 3), appelons F^ (respectivement F ) l'ensemble des points où Q(x) = 1 (resp. - 1) et

la quadrique où Q(x) s'annule. F^ (respectivement F ) est un espace de Fischer, dont les droites de 3 points sont les tangentes à dans PG(N, 3).

On remarque que pour N impair, f"*^ est isomorphe à F .

La symétrie O , de centre p G (resp. F ) est la perspectivité (=^ l) de P

centre p, axe tt(p) - tr désigne la polarité induite par Qjj - qui conserve la quadrique Qj^.

1.6.7. Espaces hermitiens

Bien que nous décrirons ce type d'espace de Fischer de manière détaillée dans la suite, nous en donnons ici un bref aperçu, comme pour les autres classes impor­

tantes d'espaces de Fischer.

(31)

Les points sont ceux d'une quadrique hermitienne d'un espace projectif

J’G(N, h), et les droites de 3 points de l'espace de Fischer sont les restrictions ù dos ;;écarites de PG(N, H).

La symétrie o^, de centre ^ est à nouveau la perspectivité l) de centre p et d'axe 7r(p) - tt désigne la polarité hermitienne induite par - qui conserve H^.

Nous notons cet espace de Fischer; le nombre de points n est égal à - (- - (- D").

Remarquons que nous avons décrit en 4, 5» 6, 7 des espaces de Fischer associés à des polarités non dégénérées dans l'espace projectif; il est toute­

fois parfois utile de considérer des polarités dégénérées, ce que nous ferons dEuis la suite. La description des espaces de Fischer obtenus de la sorte n'offre pas de difficulté, et nous adopterons pour les distinguer des précédents une notation comportant un indice de dégénérescence :

i désignant la dimension de la variété de points singuliers.

(32)

23.-

1.7. Constructions d'espaces de Fischer.

1.7.1. Recouvrement triple d'un espace de paires.

Considérons un ensemble fi = {1 , 2, . . ., m} et {a. B» y} un ensemble de 3 élé­

ments. Nous savons que les points de l'espace de paires F = construit sur fi sont les paires {i, j} dans fi.

Les points du triple recouvrement de F, que nous noterons 3F, sont les couples ({i, j}, x), où X G {a, 6, y}» nous les noterons (ijx) pour plus de simplicité Les droites de 3 points sont de 2 espèces : les fibres {(i ja) (i j3) (iJY) ^ s't les triples {(ijx)(jky)(ikz)}, se projetant sur la droite {{ij}{jk}{ik}} dans F,

table ci-dessous : soit i {(ija) ( jka) (ikB)}

{(ija) ( jkB) (iky)}

{(ija) (jky) (ika)}

{(ijB) (jka) (iky)}

{(ijB) ( jkB) (ika)}

{(ijB) (jky) (ikB)}

{(ijy) (jka) (ika)}

{(ijy) (jkB) (ikB)}

{(ijy) (jky) (iky)}

(1)

Il est clair que l'espace décrit ci-dessus est un espace de Fischer, dont nous citons les premiers exemples : F^ = 3F^, F^g = 3Fg, F^^ = 3F^^ car nous les ren­

contrerons dans les prochains chapitres.

Il peut être intéressant de remarquai que l'on peut donner une image plus géométrique de la construction des triples recouvrements d'espaces de paires, de la manière suivante :

(33)

d:uu’- rd(n-l, )| ), i'oii:i i lir roii:: un t- K lii' il poiiil.s I i iu";ii rt'im'iil, indépen­

dants et joignons les 2 à 2 par les (g) droites projectives qu'ils déterminent.

Un h-plan H ne contenant aucun des points du n-uple considéré rencontre chacune de ces droites en un point, que nous pouvons noter {ijls avec i, j G E. Il

est clair que l'ensemble des points obtenus de la sorte peut être muni d'une sti*uc- ture d'espace de Fischer traduisant les relations d'adjacences dé­

crites en 6.3.

D'autre part, si l'on considère sur chacune des (2) droites ci-dessus, les 3 points qui ne font pas partie de l'ensemble E, on obtient les fibres de 3 points du triple recouvrement de l'espace de paires F, (P ), et l'on peut également tra-

ic n

duire les adjacences décrites en ( 1 ) dans ce paragraphe, pour achever de montrer qu'on a ainsi construit un espace de Fischer isomorphe à 3F, (P ).

xC tl

1.7.2. Recouvrement double d'un espace de Fischer sans plan de type F^.

Soient {a, b, c, ..., p, q} les points d'un espace de Fischer F ne conte­

nant aucun plan F^; à chacun de ces points nous associons de\ix nouveavix points : a^, a^, ... Les droites de 3 points sont définies comme suit : si {abc} est une droite de F, les droites par ^, et c^ sont {a^b^c^},

{a^b2C2}, {a^b^c^} et {a^b^c^}. Ces 4 droites constituent un plan de Fischer F^

recouvrement double de l'espace F^. Nous montrons que l'ensemble des points définis ainsi, et des droites de 3 points décrites ci-dessus constituent un espace de Fischer que nous notons 2F.

Proposition 11. L'espace 2F est un espace de Fischer.

Démonstration.

Il suffit de montrer que toute symétrie a , où p- ^ 2F, est un automorphisme i

pour la structure linéaire de 2F, autrement dit, que O (L) = L', L et L' étant des droites de 3 points. Ceci est évident si p^ 6 L; supposons donc

(34)

^ L et notons L = •

Distinguons 2 cas : 1°) si p est un des points a, b ou c, nous pouvons sans nuire à la généralité supposer que p = c. Comme les 6 points a^ .a^jb^ ,b2)P^ )P2 constituent un espace de Fischer F^, il est clair que O (L) = L'.

r> p^

2°) si p ^ {a, b, c}, le plan de Fischer engendre par p, a, b, c est soit F^ + F^, soit F^.

Dans le premier cas, p^ n'est pas adjacent à la droite donc O (L) = L.

Dans le second cas, nous pouvons supposer que p est adjacent à a et b et pas à c, et on vérifie aisément que pour tout choix possible des indices i, j, k, Z, l'image de L par est une droite de 3 points L' : (a^b^c^) = (x^y^c^), Op (a^b^c^) = (x^y^c^); ^ % (®'2^i'^2^ “ (^^1^2'^ *

Op (a^b^c^) = (x^y^c^); (a^b^c^) = (x^y^c^); (a^b^c^) = (x^y^c^) et

%2<'‘2’’i=2> ' <=',y2=2>

Nous pouvons remarquer à ce stade que l'espace de Fischer de 12 points introduit en 1.U est un recouvrement double : F^^ “

Proposition 12. Un espace de Fischer contenant au moins un plan F^ ne possède (réciproque) pas de recouvrement double.

Démonstration.

Il est évident que si F possède un recouvrement double 2F, tout sous-espace de Fischer S dans F possède un recouvrement double 2S C 2F.

Or un plan de Fischer F^ ne possède pas de recouvrement double; en effet, nous montrons que 2F^ n'est pas un espace de Fischer.

(35)

Notonn {abcdefijk} les 9 points de F^, disposés comme suit : On constate que

1.7.3. Recouvrement quadruple d'un espace de Fischer plongeable dans PG(n-1, h).

Etant donné un espace de Fischer F plongé dans l'espace projectif PG(n-1, U), nous construisons un espace de Fischer noté UF de la manière suivante.

Considérons un espace projectif PG(n, h), dont un h-plan tt contient F, et un point s extérieur à ir. Les points de UF sont les points des droites pro­

jectives joignant s aux points de F, dans tt; les droites de Uf sont définies comme suit : 2 points sur une même droite par s (génératrice) seront non adja­

cents, tandis que 2 points p et q sur des génératrices différentes seront ad­

jacents si et seulement si leurs projections p' et q' sont adjacentes dans F;

dans ce cas, le 3ème point r de la droite (p, q) est l'intersection de la droite projective (p, q) avec la 3ème génératrice du plan < s, p, q

Proposition 13. L'espace 4f est un espace de Fischer.

Démonstration.

Il suffit à nouveau de démontrer que ^p(L) “ L'» quelle que soit la droite de 3 points L de 4f, ne contenant pas p, et L' étant une droite de 3 points de 4f .

Deux cas se présentent : 1°) si le plan projectif <p, L > contient s, dans ce plan on engendre un espace de Fischer F^^ (^f. i .l+.p^op, 10) et donc O (L) = L'

P 2°) si le plan projectif < p, L > ne contient pas s, les droites par s déterminent une bijection entre les points de 4F situés

V

(36)

27.-

dans le plan projectif < p, L > et les points de l'espace de Fischer dans 1T engendré par les projections de p et L, Cette bijection conserve la structure linéaire, et par conséquent l'intersection de UF avec le plan < p, L > est un espace de Fischer. Ceci implique que •

Comme exemple, nous pouvons citer l'espace de Fischer de 12 points, recouvre­

ment quadruple de l'espace F^ : ^^2 ~ ^^3'

1.7.4, Recouvrement triple d'un espace de Fischer plongeable dans PG(n-1 , 3).

En généralisant la construction précédente, on peut aussi construire un recouvrement triple d'un espace de Fischer F plongé dans l'espace projectif PG(n-1, 3). La construction est semblable à celle décrite en 7.3 avec une légère modification : 2 points p et q sur une même droite par s sont à présent adjacents et le 3ême point de la droite (p, q) est le 3ème point de la génératrice.

(37)

28.-

1.8. Quelques, rosultats f,ont'raux.

1.8.1. Proposition 1^4. Dans un espace de Fischer F, l'ensemble des points non adjacents â x G F est un sous-espace de Fischer de F Démonstration.

Considérons p et q non adjacents à x; nous montrons que p, q ^ est inclus dans l'ensemble des points non adjacents à x. C'est évident si p et q sont non adjacents; et si p ~ q, le Sème point r^ de la droite (p, q) est non adjacent à x en vertu de la proposition 8.

1.8.2. Proposition Si E est un espace linéaire à droites de 2 ou 3 points dont tout plan est isomorphe à l'un des plans

(l)j (2), (3) ou (U) de la proposition 8, E est un espace de Fischer.

Démonstration.

Il suffit de montrer que V p G F, la symétrie a est un automorphisme pour P

la structure linéaire de E, c'est-à-dire que - L' oû L et L' sont 2 droites de même cardinal. Or p, L > est un plan de Fischer ir par hy­

pothèse; donc a (L) = L' C TT P

Cette proposition nous procure d'ailleurs une nouvelle définition possible des espaces de Fischer. Remarquons que cette définition n'utilise pas de concept groupal; l'existence d'automorphismes découle de la structure même de F.

1.8.3. Proposition l6. Dans un espace Fischer F, toute chaîne de connexité

!

de longueur > 2 peut être réduite à une chaîne de longueur ^ 2.

(38)

29.-

Démonstration.

Nous voulons montrer que si a, b € F et qu'il existe {x^ G F, i = 0, 1, n a~x,x. ~x... et X ~b}, alors on a

o’ 1 1+1 n

soit a ~ b, (chaîne de longueur 1) soit 3cGF,a~c et b~c (chaîne de longueur 2)

Il suffira de montrer qu'une chaîne quelconque de longueur 3 peut être raccourcie et la proposition sera démontrée par une induction évidente.

Considérons donc la configuration suivante ;

Si b ~ X ou si a ~ y, c'est terminé.

Si b X et a. y on a < x,y,b > = Fg et < a,x,y > = Fg, ce qui se ainsi sur notre schéma :

traduit

Et nous voyons clairement qu'il existe c G F tel que a ~ c et b ~ c.

Supposons à présent qu'il existe une chaîne de longueur n > 3 entre les points a et b; chaque sous-chaîne de longueur 3 incluse dans cette chaîne pouvant être réduite à une chaîne de longueur 2, nous pouvons de proche en proche réduire la chaîne jusqu'à la longueur ?.. A ce stade, nous ne pouvons plus toujours ré­

duire à la simple adjacence, puisque le plan Fg constitue un contre-exemple.

(39)

30.-

1.9. Groupes d'automorphismes et isomorphismes d'espaces de Fischer.

1.9.1. Ijf- f^roupe Aut F d'automorphismes d'un espace de Fischer F contient le groupe G engendré par les symétries O^, p G F; G est normal dans Aut F.

1.9.2. Exemples : groupes d'automorphismes des plans de Fischer.

1.9.2.1. Pour un plan F de type F^ + F^ ^ ~ ^ G SS I

G Sè C» X X C_

1.9.2.2. Pour un plan F de type F^ + F^,

1.9.2.3. Pour un plan F de type Fg,

Aut F S5 Sym 3 G SS D,

G SS X Aut F SS Sym U G SS Sym U

G SS Sym h (cf. Coxeter-Moser [7] ) 1.9.2.U. Pour un plan F de type F^, Aut F s GA2(3), d'ordre 9x8x6 = U32

G SS (C^ X d'ordre I8 GSSG.C^ d'ordre 5^ (cf. [T])

1.9.3. A titre d'exemple signalons que les groupes mentionnés dans le théo­

rème de Fischer apparaissent comme sous-groupes d'automorphismes des espaces de Fischer suivants :

(1) Syra(n) associés aux espaces de paires ^n(n-l)’ n > 2 on a Aut F G G.

2

(2) PS (2) associés aux espaces de Fischer symplectiques F(Sp _.)

(3) associés aux espaces de Fischer orthogonaux ^(^2n-1^ GF(2)

(h) PSU^()|) associés aux espaces de Fischer hermitiens

(40)

31.-

(5) associés aux espaces orthof^onaux sur GF(3).

(6) Fi^j, Fij3, Fiji^ correspondant à des espaces de Fischer exceptionnels de 3510»

31.671 et 306.936 points.

1.9.^. Isomorphismes d’espaces de Fischer.

Nous distinguerons l'isomorphisme des espaces de Fischer (abstraits) de l'isomor­

phisme d'espaces de Fischer plongés dans des espaces projectifs; en effet 2 es­

paces de Fischer isomorphes peuvent être plongés de manières non équivalentes dans des espaces projectifs, en particulier dans des espaces projectifs de dimensions différentes.

Nous citons ci-dessous les isomorphismes existant entre les espaces de Fischer rencontrés en 1.6. et 1.7.

De manière générale, on a les isomorphismes suivants :

^n^^2N-1 ) ^n^°2N^

- F„(sp aaP*' F^,(S^.p_3)

- F_^(qP) s» sP*' F„.(Vp.,)

- F (ffP) s F J n N' n' N-p-1'

En dehors des espaces non connexes ou de moins de U points, on a également les isomorphismes suivants :

- Fg(Pj^) ^ Fg(S°) — 2F^ — à l'extérieur d'une conique de PG(2, 3)

- -■'lo''*?

- F,5(83) a F,p(fl^) a 2Fg is I1F3

- l'extérieur d'une quadrique ovale de PG(3, 3)

(41)

32.

^28^^8^ ^28^S^

- F_^(Q^) — à l'intérieur d'une quadrique de PG(4, 3) 3d 5

- = à l'extérieur d'une quadrique de PG(U, 3)

Ces isomorphismes résultent des isomorphismes des groupes correspondants ainsi que de la classification des involutions de ceux-ci (v. Carter [6]),

(42)

CHAPITRE II. ESPACES SYMPLECTIQUES SUR GF(2)

Nous déterminons les sous-espaces de Fischer des espaces symplectiques sur le corps à 2 éléments par induction sur la dimension (par dimension, nous enten­

dons dimension projective). Pour cela, nous aurons besoin d'une détermination explicite des sous-espaces jusqu'à la dimension 4; à ce stade, nous pourrons entamer l'induction, en distinguant dimension impaire et dimension paire. En effet, les espaces symplectiques ne peuvent être non dégénérés qu'en dimension impaire; toutefois, il est également intéressant de considérer en dimension paire les espaces symplectiques à dégénérescence minimale. Les résultats de ce chapitre sont rassemblés dans les théorèmes 1 et 2. L'intérêt de cette étude, considérée dans le cadre de la détermination des sous-espaces de Fischer hermi­

tiens est précisé par les propositions 17 (2.1) et 38 (3.5)

(43)

2.1. Généralités sur les espaces symplectiques sur GF(2).

Nous appelons espace symplectique sur .GF(2) un espace projectif sur GF(2) muni d'une polarité symplectique (ou-polarité nulle), c'est-à-dire une polarité ir telle que tout point p de l'espace appartienhe à son hyperplan polaire irCp).

Ayant fait choix d'un système de coordonnées dans PG(n, 2), on peut ramener l'équation de tt sous la fome canonique

... =

0

Lorsque n = 2i - 1, cette équation représente une polarité non dégénérée, tandis que si n = 2i, la polarité présente une dégénérescence minimale et l'espace contient un unique point singulier, appelé noyau.

Un espace projectif symplectique S(n, 2) constitue un espace de Fischer Fj^(S^) dont les points sont les points de S(n, 2)

les droites de 3 points en sont les droites non isotropes (non auto- conjuguées) les droites de 2 points sont incluses dans les droites isotropes de

S(n, 2).

Les symétries a sont les perspectivités (uniques) de centre p et d'aoce 'n'(p);

P

celles-ci conservent la polarité tt.

Le nombre de points de cet espace de Fischer est N=2“ -1=|s(n, 2)|

L'Squation ... -i- (+ ) = 0 (1)

est l'équation d'une variété hermitienne non dégénérée H de PG(n, U), pour n = 2i - 1 ou n = 2i, dans un système de coordonnées.

Proposition 17. Dans ce système de coordonnées, l'ensemble des points de à coor­

données sur GF(2) constitue un espace symplectique sur GF(2) à dégénérescence minimale.

(44)

35.-

Démonstration.

Pour les points à coordonnées sur GF(2), la polarité hermitienne (1 ) se réduit à la polarité nulle suivante :

^1^2 ^2^1 + ^2i-1^2i ^2i-1 = ° ’ (2) :

ce qui correspond bien à un espace symplectique sur GF(2) non dégénéré en dimen­

sion impaire, et a degenerescence minimale (variété isolée de dimension O) en di­

mension paire.

(45)

'^6.-

2.2. Sous-espaces de Fischer symplectiques en dimension ^ H.

Nous montrerons dans le cadre plus général des espaces de Fischer hermitiens que la connaissance des sous-espaces non connexes se déduit de celle des espaces connexes; nous pouvons donc sans perte de généralité nous limiter à étudier ceux-ci.

Pour déterminer les sous-espaces de Fischer symplectiques connexes de dimension n inférieure ou égale à en outre de leur détermination triviale en dimension 1 et 2, nous utiliserons un procédé de construction systématique des sous-espaces, basé sur le fait que tout espace de Fischer connexe de dimension n peut être engendré à partir d'un espace connexe plus petit de dimension inférieure ou éventuellement égale à n et d'un point extérieur.

Nous montrons que les sous-espaces de Fischer symplectiques connexes de dimension n < U sont les suivants :

n = 1 F = F^

n = 2 F = Fg(P^)

n = 3 F = Fg(Qp (*), F^q(q"),

n = 1, F =

(*) n'est pas connexe, mais il est utile de le considérer car il entre dans la famille Fj^(Q^) des espaces de Fischer extérieure à urje quadrique que nous rencontrerons encore dans la suite.

Remarque : F est éventuellement contenu dans un espace symplectique dégénéré.

2.2.1. Dimension 1.

Comme F est connexe, il contient au moins une droite de 3 points. Donc F = F^.

(46)

37.-

Uimonsion 2.

En raison de sa connexité F doit contenir au moins une droite D de 3 points, et un point p extérieur joint à au moins un point de cette droite; p, D > = Fg(Pj^).

Comme le plan symplectique contient au total T points, dont le point isolé, il ne peut exister d'autre sous-espace de Fischer connexe.

2.2.3. Dimension 3.

2.2.3.1. Déterminons tout d'abord les sous-espaces F connexes; F doit donc contenir un sous-espace de dimension 2 connexe, c'est-à-dire que F doit contenir au moins un Fg(Pj^) et un point p extérieur au plan de ce F^, et joint à au moins un de ses 6 points; nous allons déterminer *^p, ^ •

Fg n it(p) peut être soit une droite de 2 points, soit une droite de 3 points du Fg; elle n'est jamais vide car aucun point ne peut être joint aux 3 points d'une droite de 3 points : il n'existe pas d'espace F^ sur GF(2).

a. si Fg n it(p) est une droite de 2 points (a, b), nous montrons que

<P. Fg>=F,^.

En effet : le plan (p, a, b) est autoconjugué (et ceci ne peut se produire que SI la polarité ir est dégénérée dans l'espace à 3 dimensions : ou même S^).

Si nous notons (a, c, d), (b, c, f) (b, d, g) et (a, f, g) les droites de 3 points du Fg, nous voyons que les points c, d, f et g sont joints à p par une droite de 3 points; appelons c', d', f et g' les 3èmes points sur ces droites. Nous constatons que les points p, c, c', g, g' appartiennent à un espace Fg, dont le 6ème point (t) appartient à la droite (c, g') et à (c', g') ainsi qu'au plan (p, a, b). Par contre, les 3 autres points du plan (p, a, b) ne peuvent être obte­

nus par jonction à partir des précédents; ils constituent une droite de points iso­

lés qui ne fait pas partie de F, supposé connexe.

(47)

Nous avons donc p, Fg > = constitue des points de l'espace symplectique dégénéré, moins sa droite de points isolés.

b. si F^ n tt(p) est une droite de 3 points (a, b, c), nous montrons que

Notons (a, d, g), (b, d, f) et (c, g, f) les 3 autres droites de 3 points du Fg; le point p est joint aux points d, f et g pair une droite de 3 points et nous notons d', f et g' les 3êmes points sur ces droites.

L'ensemble de 10 points obtenus ainsi est stable par jonction, et par conséquent V “ ■'lo-

Nous savons donc que tout espace de Fischer symplectique F connexe de dimension 3 contient F^^ ou il est clair dans le 1er cas qu'il ne peut contenir de point supplémentaire sans perdre sa connexité. Par contre, nous pouvons considérer que F contient un F^q et un point q extérieur. Quel que soit le point q choisi parmi les 5 points restants de on constate aisément que ~ ^15^^3^'

2.2.3.2. A côté du sous-espace Fischer non connexe sans point isolé, points conjuguées.

^10^^"3^’ nous obtenons comme seul sous-espace de l'espace Fg(Q2), constitué de 2 droites de 3

2.2.H. Dimension h.

En suivant le même schéma de construction, nous devons a priori considérer 3 possibi- lités : 1 ) F contient <Fi2, q. >

2) F contient q >

3) F contient

<^15’ q >

où q est un point extérieur à l'espace projectif de dimension 3 contenant respecti­

vement F^^(S^), F^q(Q2) ou F^^(S2), sans etre totalement non adjacent à cet espace de Fischer.

(48)

^1.

2.2.U.I. Nous montrons d'abord que ^ = ^^10’ polarité TT présente une dégénérescence minimale.

Démonstration.

Nous choisissons un système de coordonnées où la polarité symplectique ir s'écrit A Xg + Xg A Xj^ = 0, elle a pour unique point singulier le point x : (l 0 0 0 O).

Considérons l'espace ^12^^3^ dans 1' d'équation Xj^ = 0. Dans cet E^, la polarité présente une dégénérescence, et contient une droite de points isolés

(1 0000), (000 1 0), (1 00 1 O). Les 12 points restants constituent l'espace F,2(s’).

Soit q un point extérieur à (xj^ = O), de coordonnées (q^ q^ q^ q.^ '^(q) s'écrit x^q^ + l'intersection de iT(q) avec (xj^ = 0) devient x^q^ + x^q^ + x^ = 0.

Nous avons donc a priori U cas à distinguer, selon le choix du point q : a) si q = q^ 1 1 q^ 1 , -iï(q) : x^ + x^ + = 0

b) q = q^ 0 1 q^ 1 , TT(q) : x^ + x^ = 0 c)

d)

q = q^ 1 0 q^ 1 , Tr(q) : X2 + = 0 q = q^ 0 0 q^ 1 , Tr(q) : x^ = 0

Il nous suffira d'examiner le résultat obtenu avec un seul représentant dans chacune de ces 4 classes, car ces classes sont des orbites pour le sous-groupe symplectique fixant le sous-espace

a) soit q = (0 1 1 0 1); q est joint aux 6 points (01000) du F (00100)

(1 1000) (10100) (01110) (11110)

12

(49)

40.-

ct (' nouveaux j)oinl,u (00 I O 1 ) (01001) (10101) (1 1001) (0001 1) (1001 1)

Ceux-ci par jonction entre eux et avec engendrent un seul nouveau point : (l 1 10 1) conjugué au Fg obtenu par intersection de avec iT(q.).

L'ensemble de 20 points obtenus est stable par jonction, et ainsi 0. ^ ~ ^2^

On peut aussi remarquer que F^q contient un sous-espace l'isomor- phlsme

b) soit q=(0010l); q est joint aux 6 points (01000) (1 1 000) (01 100) (001 10) (10110) (11100) du F^2 s't engendre (01101)

(11101) (01001) (0 0 01 1 ) (1001 1) (11101)

on constate que les points obtenus sont les mêmes que ceux du cas précédent, et par conséquent < F^^, q > = 2F^q.

c) soit q = (O 1 00 1)

Etant donné que ce point est obtenu au cas a), nous obtenons la même conclusion, ainsi que pour le cas suivant.

d) soit q = (0 0 0 1 1) .

(50)

in

V ^ 1 2

2.2. U. 1.2. Nous montrons à présent que <F^2(S2)» <1 ^ pola- rite TT présente une double dégénérescence dans l'espace : S^, contenant un plan de points isolés.

Démonstration.

Nous choisissons un système de coordonnées où la polarité symplectique tt s'écrit A Xg = 0; elle a pour plan isolé le plan d'équations x^ = X2 = 0. Considé­

rons l'espace dans 1' d'équation X|^ = 0. Dans cet la polarité présente une dégénérescence simple, et contient Tine droite de points isolés

( 1 0 0 0 0), (0 0 0 1 0) et (10010). Les 12 points restants constituent l'espace

Soit q un point extérieur à E^ (xj^ = O), de coordonnées (q^ q^ q^ q^ 0.1^) >

Tr(q) s'écrit x^q^ + =0 et l'intersection de Tr(q) avec x^ = 0 s'écrira ainsi : x^q2 + x^q^ = 0.

Nous avons donc a priori 3 cas à considérer selon le choix du point q : a) si II

0 1 1 ^3 1 > TT(q) : x^ + = 0 b) 0^ II O 1 0

^3 ^ ’ •iï(q) : Xg = 0

c) II

0 0 1 ^3 1 , iT(q) : x^ = 0

(le cas où q = q^ 0 0 q^ 1 ne sera pas considéré : q isolé).

a) soit q = 0 1 1 1 0 1; q est joint aux 8 points (O 1 0 0 O), (O 0 1 0 O) , (1 1 0 0 0), (1 0 1 0 0), (0 1 0 1 0), (0 0 1 1 0), (1 1 0 1 0) et (l 0 1 1 O)

du il engendre ainsi 8 nouveaux points (O 0 1 0 I), (01 001), (1 0101), (11001),(00111),(01011),(10111) et (11011). Ceux-ci

à leur tour engendrent 3 derniers points (IIIOI), (OIIII) et (il 111).

L'ensemble de 24 points obtenu est stable par jonction et constitue l'espace de Fischer F^,^(S^) ^ 2F^2'

b) soit q = (0 1 0 1 1); comme ce point engendre avec F^^ 1® point précédent (01 1 1 0 1 ), le résultat sera identique : il en sera de même pour le choix

Figure

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Références

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