Nous déterminons les sous-espaces de Fischer hermitiens par induction, en dis tinguant dimension paire et dimension impaire, (Par dimension nous entendons la dimension de l'espace projectif contenant l'espace de Fischer).
Comme hase de l'induction nous aurons besoin de la connaissance des sous-espaces jusqu'à la dimension 5; cette détermination nécessite de connaître les sous-espaces de Fischer hermitiens de dimension ^ 3, y compris lorsque la polarité est dégénérée.
Ces résultats nous permettront de démontrer quelques propositions générales qui seront appliquées en un premier temps à la détemination de sous-espaces de Fischer hermitiens en dimensions 4 et
5-A ce stade nous serons en possession des éléments suffisants pour entamer 1'induction.
Si nous nous bornons à rechercher les sous-espaces connexes, c'est que la dé termination de tous les sous-espaces d'une quadrique hermitienne repose sur cette étape.
En effet, les sous-espaces non connexes d'une quadrique hermitienne sont la réunion de leurs composantes connexes (situées dans des variétés 2 à 2 conjuguées) qui sont à leur tour des sous-espaces de quadriques hermitiennes.
De même les sous-espaces de dimension projective inférieure à n d'une quadrique hermitienne de PG(n, 4) sont en fait des sous-espaces de quadriques hermitiennes de dimension inférieure, éventuellement dégénérées.
En ce qui concerne les sous-espaces des quadriques hermitiennes dégénérées, leur détermination s'obtient, comme le montre la proposition 33 par celle des sous-espaces de dimension donnée d'une quadrique hermitienne non dégénérée de même dimension.
61
.-Nous appelons espace hermitien sur GF(U) un espace projectif sur GF(U) muni d'une polarité hermitienne ir, associée à une forme hermitienne
3.1. Généralités sur les espaces hermitiens sur GF(U).
2 a.. X. y. avec a.. = a.. ij Ji
(x X = X désigne l'automorphisme involutif de GF(it)).
Cet espace est dit non dégénéré si la matrice (a..) est de rang maximum. ^ J
Nous appelons quadrique hermitienne H d'un espace hermitien sirr GF(U) l'ensemble des points autoconjugués d'une telle polarité; son équation s'écrit
2 a. . X. X. = 0 . [31]
Ayant fait choix d'un système de coordonnées, on peut ramener l'équation non dégénérée de à l'une des formes suivantes, que nous utiliserons dans la suite.
n __ 2 X. X. = 0 i=0 ^ ^ (1) n __ 2 X. X. = 0 i<j " ' 0 f n/2 _ 2 x_. x^.., + x„. x_.., = 0 en dimension paire . „ 2i 2i+1 2i 2i+1 ^ 1=0 n-1/2 2 x^. x_.+ x„. x„.+ X X en dimension impaire . - 2i 2i+1 2i 2i+1 n n ^ 1=0 (2) (3)
Une quadrique hermitienne H de PG(n, U) constitue un espace de Fischer dont - les points sont les points de H
- les droites de 3 points sont les restrictions à H des sécantes à H
- les droites de 2 points Sont les paires de points des génératrices (de 5 points) de H,
62.
V P G A’, la symétrie est l'unique perspectivité non identique de centre et d'axe Tr(p) qui conserve H.
Le nombre de points de cet espace de Fischer est :
n+1 n
\H - (- 1)^+1] [42 _ (_ 1)^]
63.-3.2.1. Dimension 1.
Toute quadrique hermitienne non dégénérée de PG(l, 4) peut s'écrire sous la forme xy + xy = 0. Elle constitue un espace de Fischer F^ de 3 points,connexe.
Une quadrique hermitienne dégénérée de PG(1, 4) peut s'écrire xx = 0; elle constitue un espace de Fischer trivial F^ contenant un seul point.
3.2.2. Dimension 2.
3.2.2.1. Toute quadrique hermitienne {H^) non dégénérée de PG(2, 4) peut être représentée par une équation de la forme xy + xy + zz = 0. Elle constitue un espace de Fischer - nous abrégerons en F^ - dont la structure est iso morphe à la structure linéaire du plan affin d'ordre 3, AG(2, 3). F^ ne possède aucun sous-espace propre de dimension 2.
Tout point extérieur à détermine 3 tangentes et 2 sécantes à. H^. La polaire D du point p et les deux sécantes D' et D" par p, restreintes à en constituent une partition, correspondant à une direction de droites de AG(2, 3). Les trois points d'intersection des droites D, D', D" de PG(2, 4) forment un triple autoconjugué (x^, x^, x^) pour la polsirité ir; ce triple est déterminé par l'un quelconque de ses points.
Aux quatre directions de AG(2, 4) correspondent 4 tels triples autopolaires, qui forment une partition des 12 points de PG(2, 4) extérieurs à
3.2.2.2. L'équation d'une quadrique hermitienne dégénérée de PG(2, 4) peut s'écrire xy + xy = 0; elle constitue un espace de Fischer F^^ formé de 3 géné ratrices de 5 points concourantes en un point isolé p.
Tout point différent de p y est adjacent aux 8 points situés sur les deux géné ratrices qui ne le contiennent pas, et non adjacent aux points situés sur la géné ratrice qui le contient.
6h.~
possède deux types de sous-espaces propres connexes de dimension 2, et
^6
-^12 ~ ^13 ~ ^6 être considéré comme l'ensemble des points non sin guliers de la conique ayant leurs coordonnées sur le sous-corps GF(2).
Signalons également l'isomorphisme en tant qu'espaces de Fischer de F^^ st de l'espace de Fischer symplectique
3.2.3. Dimension 3.
3.2.3.1. Sous-espaces de Fischer d'une quadrique hermitienne proprement dite . Toute quadrique hermitienne non dégénérée de PG(3s peut être représentée par une équation de la forme xy + xy + zt + zt = 0. Elle constitue un espace de Fischer
Nous allons déterminer ses sous-espaces de Fischer (F) propres, connexes ou non, de dimension 3; pour cela, nous établirons les propositions suivantes, limitant le cardinal de F, et examinant systématiquement les sous-espaces engendrés à par tir de ceux de la dimension 2 avec des points extérieurs.
Lemme. Le nombre maximal de points d'un sous-espace de Fischer F propre, tridi mensionnel de peut dépasser 23.
Démons t r ation.
Il existe au moins une sécante à qui ne contient qu'un seul point de F; le faisceau de plans par cette sécante comprend deux plans sécants et trois plans tangents, contenant chacun un sous-espace de Fischer propre de dimension < 2; ces sous-espaces comprendront donc respectivement au maximum 3 et T points. Ainsi le nombre maximum de points de F sera 1 + 2(3 - 1) + 3(7 - 1) = 23.
3.2.3.1.1. Supposons que F contient au moins un sous-espace Notons P un point de F2^^(^^) extérieur à F^.
65.-Proposition 2h. < F^, p > = F^g = 3Fg(rj^).
Démonstration.
Notons a le plan projectif contenant F^, p ^ a.
Notons A la droite projective TfCp) H a, et A' sa restriction à notons B' et C les deux restrictions à de B et C qui sont parallèles à A' dans F^ (isomorphe à AG(2, 3). Le point p est adjacent axix 6 points de B' et C, non adjacent aux 3 points de A’. Ainsi, <p, B’> et <p, C ont une structure de F^ contenus respectivement dans les plans projectifs 3
et y.
La droite D = B Y est sécante à H^’, en effet, en supposant D tangente, on a D C Tr(p), et les trois droites A, B, C se rencontrent en un unique point, situé à l'intersection de a, B et y, ce qui est en contradiction avec la structure de F^ dans PG(3, - cf. 3.2.2.1.
Nous pouvons à présent montrer aisément que F possède au moins 18 points. Notons E' la parallèle à B' et D' dans B et F' la parallèle à C' et D' dans y. Les 6 droites projectives ABCDEF (dont A'B'C'D'E'F' sont les restrictions à H^) se coupent suivant quatre points non copleinaires, formant un quadruple autoconjugué x^ x^ Xj^ pour la polarité.
On voit ainsi que A'E'F' sont trois droites d'un quatrième F^, inclus dans le plan projectif ô.
Les 6 droites (x., x.) sont sécantes à et la rencontrent en des points que l'on peut noter (i j X), (i j y), (i j v); on retrouve ainsi dans cet ensemble de l8 points la structure d'espace de Fischer décrite en 1.7.1. Donc < P, F^ > = F^g = 3Fg(P^)
Notons q un point de extérieur à ^i8‘
66.
-Démonstration.
Avec les notations de la proposition précédente, Tr(q) coupe chaque plan a, B, Y ou 6 suivant une droite sécante à donc ir(q) coupe F^g suivant
-
6
‘Par conséquent, q est joint à 12 points de ^13» st engendre avec eux 12 nouveaiix points. Or 18+12+1 dépasse la borne (23), et ainsi par le lemme énoncé en 3.2.3.1., < F^g, q > =
3.2.3.1.2. Supposons que F ne contient aucun Fp,mais contient au moins un F^. Notons p un point de extérieur au plan projectif contenant Fg.
Proposition 26. < Fg, p > =
Démonstration.
p ne peut être adjacent aux 3 points d'aucune droite de 3 points du Fg, car F ne peut contenir de F^. Par conséquent, p est totalement non adjacent à une droite de 3 points (x, y, z) du F^; en effet, si p était totalement non adjacent à une droite de 2 points du Fg, p serait aligné avec ces 2 points, ce qui contredirait l'hypothèse que p est extérieur au plan projectif du Fg.
Notons {a, b, c} les trois points restants, et {a', b', c'} les points qu'ils engendrent avec p.
< p, a, b > est un Fg où a (a,b,z) = (a',b',z); on en déduit que (a',b',z) O p
est une droite, et de la même manière on voit que (a',c',y) et (b'^c'^x) sont des droites. Toutes les paires de points adjacents sont connues et l'espace de Fischer F^q(P^) obtenu est de type décrit en 1.6.3.
Notons q un point de extérieur à F^q(P^).
Proposition 27- <F^q(P^), q> est soit F^^(Pg), soit
Démonstration.
contient 5 Fg, respectivement plongés dans les plans projectifs L'espace F
67.-tangents à a^, et .
Deux cas peuvent se produire : le plan iT(q) est confondu avec l'un des cinq plans a^, ou il est distinct de chacun d'eux.
a) Tr(q) =
q est l'unique point non adjacent aux six points du Fg inclus dans , et il est- adjacent aux quatre autres points du F^^ (engendré par ce Fg et le point p); notons k, t, m, n ces quatre points et k', Z', m', n' ceux qu'ils en gendrent avec q.
< P, k, £ > est un Fg où a (k, £, x) = (k', , x) qui est donc une droite; on reconnaît ainsi six droites de trois points joignant entre e\ix les points k*, £' , m' et n' .
Toutes les paires de points adjacents sont connues et l'espace de Fischer F^^(Pg) obtenu est du type décrit en 1.6.3.
b) •iï(q) ^
q est adjacent à au moins un point de chacun des cinq espaces Fg du 0^^ remarque que chaque plan contient 13 points de parmi eux 6
points du ^iQ» deux plans et se coupent suivant un F^ inclus à et par conséquent les cinq plans contiennent ensemble 5( 13 - 6) + 10 = 45 points de
On en déduit que q appartient à l'un d'eux; par exemple q G . Dans , <q, F6 >= F^2» et ce F^2 engendre avec un autre point du F^^ un espace contenant F^; par le lemme énoncé en 3.2.3.1., l'espace obtenu est
3.2.3.1.3. Supposons que F ne contient aucun F^, aucun Fg, mais contient un plan de Fischer F^ -i- F^.
F ne peut pas être connexe, et F^ constitue une droite isolée, les autres points de F appartiennent à la variété polaire de celle-ci, c'est-à-dire un autre F^. Dans ce cas, F = F^ F^.
68.-On constate aisément que ^3» P ^ ^l8’ 'n'(q) rencontre + F^ .pu non.
3.2.3.1.4. Supposons que F ne contient aucun F., aucun F^, auc\in F_ + F. ,
y b 3 I
mais contient un plan de Fischer 3F.j.
Il est clair que F ne peut pas être tri-dimensionnel.
3.2.3.2. Sous-espaces de Fischer d'une quadrique hermitienne possédant un point singulier.
Toute quadrique hermitienne dégénérée avec un unique point singulier dajis PG(3, 4) peut être représentée par une équation de la forme xy + xy + zz = 0. Elle constitue un espace de Fischer contient un point isolé s, et neuf génératrices par ce point; peut ainsi s'écrire • Tout point de est adjacent aux points non situés sur sa génératrice. On remarque que est isomorphe à 4F^, décrit en 1.7.3.
Proposition 28. Le seul sous-espace de Fischer propre, connexe, de dimension 3 de F^.^(^) est
Démonstration.
Considérons l'espace de Fischer F engendré par quatre points non isolés, non coplanaires, du F^.^(ff°). Au moins un des triples choisis parmi ces quatre points engendre, dans un plan qui ne passe pas par s, un plan de Fischer F^. Le quatrième point p, détemiine une génératrice, qui coupe F^ en p', unique point du F^ non adjacent à p.
Appelons L une droite du F^ contenant p', L' et L" ses deux parallèles; < L', p > est un F^ rencontré par le plan (L", s) en une droite de trois points disjointe de L".
Comme F comprend ainsi deux droites de trois points disjointes dans le plan (L", s), il doit y contenir un F^j^- jonction de ce F.^^ avec les autres points de F, on engendre ^35(^3).
69.-3.2.3.3. Gous-espaces de Fischer d'une quadriq,ue hermitienne possédant une droite singulière.
Toute quadrique hermitienne h]^ dégénérée suivant une droite de points singuliers dans PG(3, peut être représentée par une équation de la forme xy + xy = 0. Elle constitue un espace de Fischer qui contient une génératrice isolée g et trois plans projectifs par cette génératrice. Deux points sont adjacents si ils appartiennent à deux plans projectifs distincts, et non adjacents autrement. On remarque que isomorphe à •
Tout plan projectif ne contenant pas g coupe F^2(^3) suivant un espace Fi2=Fi2+F^ à deux dimensions.
Notons F un sous-espace de Fischer de dimension 3 de F (iï^).
3.2.3.3.1. Supposons que F contient un F^^ ^ de\ix dimensions, et notons p un point de non isolé et extérieur au
Proposition 29. < F^^» V > = F^^ Démonstration.
P et toute droite de trois points du F^^ engendrent un Fg, lequel engendre avec les autres points du F^^ un espace de Fischer F^^ = ^Fg. En effet, il est clair que F^j^ ^ ^ ^12’ ^ ^ * d'autre part toute droite de ce Fg, avec une génératrice du F^g, engendre un nouveau F^^, et donc < F^^» P ^ = F^^.
Un arg\iment semblable montre que :
Proposition 30. < q > = F^q{H^^)
On peut remarquer les isomorphismes suivants : F^j^ — SF^^ — ^Fg
''W - ^ ‘“'12
3.2.3.3.2. Supposons que F ne contient aucun F^^ bi-dimensionnel, mais contient un F^.
b
70.-Proposition 31. P ^ ~ tridimensionnel.
Démonstration.
Par un argument semblable à celui de la proposition 29> on voit que P ^ contient au moins 12 points.
On peut choisir le système de coordonnées pour que p et les six points du Fg soient à coordonnées sur GF(2). On en déduit que P ^ espace de Fischer connexe à coordonnées sur GF(2), c'est-à-dire F^^ “
3.2.3.3.3. Supposons que F ne contient aucun F-|2» aucun Fg. Dans ce cas, F ne peut pas être tri-dimensionnel.
71.-3.3. Propriétés des espaces de Fischer hermitiens.
Appelons F un sous-espace de Fischer propre, connexe, de dimension n d'une quadrique hermitienne non dégénérée de PG(n, U), et notons p un point quel conque de F.
L'ensemble F des points de F non adjacents à p constitue un espace de Fischer P
d'une quadrique hermitienne dégénérée de sommet p. On peut également consi dérer a) l'ensemble des droites de PG(n, 4) par p, qui constitue un espace
projectif
b) l'ensemble des droites isotropes par p, qui constitue une variété hermi tienne de cet espace projectif.
c) l'ensemble des droites isotropes par p contenant des points de F^, dont nous montrons qu'il constitue un sous-espace de Fischer de cette variété hermitienne.
Nous noterons V et appellerons espace quotient ce dernier espace. Nous démontrerons dans ce paragraphe quelques propositions relatives à V, F ,
F et aux sous-espaces de Fischer des variétés hermitiennes dégénérées.
Considérons quadrique hermitienne dégénérée de PG(n, 4), de variété sin gulière de dimension q. L'ensemble des variétés linéaires de dimension q+1 contenant a une structure d'espace projectif à n-q-1 dimensions.
Proposition 32. Les variétés linéaires à q+1 dimensions totalement isotropes contenant constituent une variété hermitienne E' proprement dite de PG(n-q-1, 4).
Démonstration.
Dans PG(n, 4), l'équation d'une quadrique hermitienne peut être ramenée à
1'équation
p<n
r X. X. =
i=0 ^ "
72.-elle aura pour variété singulière (V ) : x = x, = ... = x = 0,
q O 1 P ’
q = n - P - 1 .
En particulier est proprement dite si p=n et q=-1.
de dimension
Les variétés linéaires contenant V et de dimension n-p sont déterminées
q.
par la variété singulière et un point extérieur que l'on peut écrire (x^ x^ ... x^ 0 ... 0) avec x^ non simultanément nuis pour i = 0, 1, ...,p. Par consé quent, ces variétés linéaires constituent un espace projectif à p dimensions. Parmi celles-ci les variétés linéaires totalement isotropes sont déterminées par la variété singulière et un point extérieur, sur la quadrique H , qui peut
P
s'écrire (x x, ... x 0 ... 0) avec X x. x. = 0. ° ' P i=0 " "
Par conséquent ces variétés linéaires constituent une quadrique hermitienne H' .
Proposition 33. Si F est un espace de Fischer de les variétés linéaires de dimension q+1 contenant et des points de F forment un espace de Fischer F' de H'.
Démonstration.
Parmi les variétés linéaires qui constituent la quadrique hermitienne H' , celles qui contiennent des points de F sont engendrées par la variété singulière
et un point de F. Nous pouvons les considérer comme "points" de H' et nous allons montrer que ces "points" forment un sous-espace de Fischer F' de E' . En effet, considérons p' G F'; à p' correspond au moins un point p de F. Or V p £ F, est un automorphisme de F, dont l'action se traduit dans H'
par a ,. P
Par conséquent est un automorphisme de F' et F' est un espace de Fischer.
Conséquence.
Il résulte de ce qui précède que la détermination de F pourra être obtenue en 2 temps; tout d'abord on détermine F' (sous-espace de Fischer d'une quadrique hermitienne non dégénérée et de dimension inférieure) ensuite on procède à une
73.-"dé-projection" semblablo à. celle utü icée quadruple d'un espace de P'ischer).
On remarque que le nombre de points de F par une puissance 2.
précédemment, ( ra'couvremtînt double.
est égal à celui de F' multiplie
Dans le but de montrer que l'ensemble des points non adjacents â un point d'un espace de Fischer connexe d'une quadrique hermitienne non dégénérée est un sous-espace de Fischer connexe, nous allons établir les 3 propriétés suivantes.
Proposition 3^. Si F est un sous-espace de Fischer connexe de (non dégé néré), ne peut pas être constitué d'un ensemble de points isolés.
Démonstration. Supposons que F
^o
Dans ce cas, V i, j ^ {O, r ~ P ..
P2
1
,
, p, } ensemble de points non adjacents 2 à 2. k}, ona F =F ,et Vr^F-F on a
P. P.
P,-Donc l'espace F est constitué de blocs de k points non adjacents 2 à 2, chaque point d'un bloc étant adjacent à tout point d'un autre bloc.
Nous montrons que le quotient de F par ses blocs ne peut qu'avoir structure de F^ ( 1 ) ou F^ (2); en effet, considérons 2 points a et b dans 2 blocs différents, ils déterminent un point c aligné avec eirx, dans un troisième bloc. Si F contient d'autres blocs, prenons d dans un de ces blocs; <a, b, c, d> engendre un F^ dont les 9 points appartiennent à 9 blocs distincts. S'il exis tait un bloc supplémentaire, on y choisirait un point e, et e serait joint aux 9 points d'un F^, ce qui est impossible dans une quadrique hermitienne.
Notons P la dimension d'un bloc de F, q un point de
Dans le cas (l) envisagé ci-dessus, » 9. ^ U = F, donc la di mension de chaque bloc est p et la dimension de F est p + 1 = n; les blocs engendrent donc des variétés linéaires isotropes de dimension n-1 .
74.-Dans le cas (2), nous devons utiliser un autre point q' ^ pour engendrer F; donc les blocs engendrent des variétés linéaires isotropes de dimension n-2.
Or dans une quadrique hermitienne non dégénérée la dimension maximum des variétés linéaires isotropes est ^ 2 ^^ ’
n ““ 1
Comme n-2 (a fortiori n-1 ) est supérieur à [—^^ ^ et qu'en dimension n < 3 il n'existe aucun espace de Fischer connexe d'une qua drique hermitienne non dégénérée dont le F soit constitué de points isolés,
P nous obtenons une contradiction.
Proposition 3$. Si F est connexe, de dimension n et tel que droite de 3 points {a, b, c}, la dimension de
F contient une P
P U F est n-1 . P
Démonstration.
Si cette proposition est en défaut, nous pouvons supposer qu'il existe F connexe, satisfaisant les hypothèses et tel que dim(p U F^) = n - 2.
Considérons un ensemble de points, générateur minimal de P F^, comprenant p a et b; complétons-le en un ensemble générateur de F par des points de
F - (p U Fp), que nous notons r, s, ..., z. Remarquons qu'il existe au moins 2 points r et s dans ce complément puisque dim(p U F ) = n - 2 et dim F = n.
P
La section de F, <p, a, b, r, s> doit donc être un espace de Fischer connexe de dimension 4, tel que p F^ y soit de dimension 2, ce qui est impos sible, au vu de la liste des sous-espaces de Fischer de dimension 4.
Proposition 36. Si F est un sous-espace de Fischer connexe de dimension n de tel que F^ contient une droite de 3 points, F^ ne peut contenir aucun point isolé.
Démonstration.
n
Supposons que F^ comprend un point isolé q, et notons A l'ensemble des autres points de F .
T?.-tt(p) n TUq) contiont. p, q et A; donc la dimension de n-2, ce qui contredit la proposition précédente.
r
P est maximum
Théorème 3■ Si F est un sous-espace connexe de dimension n d'une quadrique her mitienne non dégénérée, V p ^ F, est connexe.
Démonstration.
Si Fp est non connexe, chacune de ses composantes connexes contient au moins une droite de 3 points; notons A et B deux telles droites, A >/’ B, r un point de F extérieur à p U F^, r ~ A, r ~ B, et considérons l'espace connexe F' = <p. A, B, r>, de dimension 5*
Dans cet espace, F = F_ + F_ = V ; en effet, si F contenait des points
p 3 3 p P
supplémentaires, nécessairement combinaisons linéaires de p avec A (resp. B), et engendrant avec A (resp. B) un Fg ou un ^12’ 1'ensemble V^, pour b S B (resp. V^, a G a) contiendrait ce Fg ou ce ^12» impossible (puisque F' est connexe, Vx,yGF'ona V =V).
Montrons à présent que F' doit contenir F^ + F^ + F^, constitué par A, B et une droite C, uniquement déterminée.
et par conséquent F^ contient notamment ^2’ contredit que
"’b ^ ^3 "
ï(>.-Montrons enfin que F' — + F^, non connexe, et que nous sonimes en contradiction avec notre hypothèse.
Si F' contient un point r supplémentaire, considérons l'espace <A, B, r >; il est contenu dans une section de dimension non dégénérée de (en effet, par 1' engendré par A et B, les h-plans tangents à ont pour pôle un point de C; or Vx^c, F^ = AUb, donc r ^ it(x).)
Donc < A, B, r > est un sous-espace connexe de ~ 0^ les seuls sous-espaces connexes de sont F^q et qui ne correspondent pas à la structure de F'.
Cette dernière contradiction achève de prouver que doit être connexe.