Nous déterminons les sous-espaces de Fischer des espaces symplectiques sur le corps à 2 éléments par induction sur la dimension (par dimension, nous enten dons dimension projective). Pour cela, nous aurons besoin d'une détermination explicite des sous-espaces jusqu'à la dimension 4; à ce stade, nous pourrons entamer l'induction, en distinguant dimension impaire et dimension paire. En effet, les espaces symplectiques ne peuvent être non dégénérés qu'en dimension impaire; toutefois, il est également intéressant de considérer en dimension paire les espaces symplectiques à dégénérescence minimale. Les résultats de ce chapitre sont rassemblés dans les théorèmes 1 et 2. L'intérêt de cette étude, considérée dans le cadre de la détermination des sous-espaces de Fischer hermi tiens est précisé par les propositions 17 (2.1) et 38 (3.5)
2.1. Généralités sur les espaces symplectiques sur GF(2).
Nous appelons espace symplectique sur .GF(2) un espace projectif sur GF(2) muni d'une polarité symplectique (ou-polarité nulle), c'est-à-dire une polarité ir telle que tout point p de l'espace appartienhe à son hyperplan polaire irCp).
Ayant fait choix d'un système de coordonnées dans PG(n, 2), on peut ramener l'équation de tt sous la fome canonique
... =
0Lorsque n = 2i - 1, cette équation représente une polarité non dégénérée, tandis que si n = 2i, la polarité présente une dégénérescence minimale et l'espace contient un unique point singulier, appelé noyau.
Un espace projectif symplectique S(n, 2) constitue un espace de Fischer Fj^(S^) dont les points sont les points de S(n, 2)
les droites de 3 points en sont les droites non isotropes (non auto-conjuguées) les droites de 2 points sont incluses dans les droites isotropes de
S(n, 2). Les symétries a sont les perspectivités (uniques) de centre p et d'aoce 'n'(p);
P
celles-ci conservent la polarité tt.
Le nombre de points de cet espace de Fischer est N=2“ -1=|s(n, 2)|
L'Squation ... -i- (+ ) = 0 (1)
est l'équation d'une variété hermitienne non dégénérée H de PG(n, U), pour n = 2i - 1 ou n = 2i, dans un système de coordonnées.
Proposition 17. Dans ce système de coordonnées, l'ensemble des points de à coor données sur GF(2) constitue un espace symplectique sur GF(2) à dégénérescence minimale.
35.-Démonstration.
Pour les points à coordonnées sur GF(2), la polarité hermitienne (1 ) se réduit à la polarité nulle suivante :
^1^2 ^2^1 + ^2i-1^2i ^2i-1 = ° ’ (2) :
ce qui correspond bien à un espace symplectique sur GF(2) non dégénéré en dimen sion impaire, et a degenerescence minimale (variété isolée de dimension O) en di mension paire.
'^6.-2.2. Sous-espaces de Fischer symplectiques en dimension ^ H.
Nous montrerons dans le cadre plus général des espaces de Fischer hermitiens que la connaissance des sous-espaces non connexes se déduit de celle des espaces connexes; nous pouvons donc sans perte de généralité nous limiter à étudier ceux-ci.
Pour déterminer les sous-espaces de Fischer symplectiques connexes de dimension n inférieure ou égale à en outre de leur détermination triviale en dimension 1 et 2, nous utiliserons un procédé de construction systématique des sous-espaces, basé sur le fait que tout espace de Fischer connexe de dimension n peut être engendré à partir d'un espace connexe plus petit de dimension inférieure ou éventuellement égale à n et d'un point extérieur.
Nous montrons que les sous-espaces de Fischer symplectiques connexes de dimension n < U sont les suivants :
n = 1 F = F^
n = 2 F = Fg(P^)
n = 3 F = Fg(Qp (*), F^q(q"),
n = 1, F =
(*) n'est pas connexe, mais il est utile de le considérer car il entre dans la famille Fj^(Q^) des espaces de Fischer extérieure à urje quadrique que nous
rencontrerons encore dans la suite.
Remarque : F est éventuellement contenu dans un espace symplectique dégénéré.
2.2.1. Dimension 1.
37.-Uimonsion 2.
En raison de sa connexité F doit contenir au moins une droite D de 3 points, et un point p extérieur joint à au moins un point de cette droite; p, D > = Fg(Pj^). Comme le plan symplectique contient au total T points, dont le point isolé, il ne peut exister d'autre sous-espace de Fischer connexe.
2.2.3. Dimension 3.
2.2.3.1. Déterminons tout d'abord les sous-espaces F connexes; F doit donc contenir un sous-espace de dimension 2 connexe, c'est-à-dire que F doit contenir au moins un Fg(Pj^) et un point p extérieur au plan de ce F^, et joint à au moins un de ses 6 points; nous allons déterminer *^p, ^ •
Fg n it(p) peut être soit une droite de 2 points, soit une droite de 3 points
du Fg; elle n'est jamais vide car aucun point ne peut être joint aux 3 points d'une droite de 3 points : il n'existe pas d'espace F^ sur GF(2).
a. si Fg n it(p) est une droite de 2 points (a, b), nous montrons que
<P. Fg>=F,^.
En effet : le plan (p, a, b) est autoconjugué (et ceci ne peut se produire que SI la polarité ir est dégénérée dans l'espace à 3 dimensions : ou même S^).
Si nous notons (a, c, d), (b, c, f) (b, d, g) et (a, f, g) les droites de 3 points du Fg, nous voyons que les points c, d, f et g sont joints à p par une droite de 3 points; appelons c', d', f et g' les 3èmes points sur ces droites. Nous constatons que les points p, c, c', g, g' appartiennent à un espace Fg, dont le 6ème point (t) appartient à la droite (c, g') et à (c', g') ainsi qu'au plan (p, a, b). Par contre, les 3 autres points du plan (p, a, b) ne peuvent être obte nus par jonction à partir des précédents; ils constituent une droite de points iso lés qui ne fait pas partie de F, supposé connexe.
Nous avons donc p, Fg > = constitue des points de l'espace symplectique dégénéré, moins sa droite de points isolés.
b. si F^ n tt(p) est une droite de 3 points (a, b, c), nous montrons que
Notons (a, d, g), (b, d, f) et (c, g, f) les 3 autres droites de 3 points du Fg; le point p est joint aux points d, f et g pair une droite de 3 points et nous notons d', f et g' les 3êmes points sur ces droites.
L'ensemble de 10 points obtenus ainsi est stable par jonction, et par conséquent
V “
■'lo-Nous savons donc que tout espace de Fischer symplectique F connexe de dimension 3 contient F^^ ou il est clair dans le 1er cas qu'il ne peut contenir de point supplémentaire sans perdre sa connexité. Par contre, nous pouvons considérer que F contient un F^q et un point q extérieur. Quel que soit le point q choisi parmi
les 5 points restants de on constate aisément que ~ ^15^^3^'
2.2.3.2. A côté du sous-espace Fischer non connexe sans point isolé, points conjuguées.
^10^^"3^’ nous obtenons comme seul sous-espace de l'espace Fg(Q2), constitué de 2 droites de 3
2.2.H. Dimension h.
En suivant le même schéma de construction, nous devons a priori considérer 3 possibi-lités : 1 ) F contient <Fi2, q. >
2) F contient q >
3) F contient
<^15’ q >
où q est un point extérieur à l'espace projectif de dimension 3 contenant respecti vement F^^(S^), F^q(Q2) ou F^^(S2), sans etre totalement non adjacent à cet espace
^1.
2.2.U.I. Nous montrons d'abord que ^ = ^^10’ polarité TT
présente une dégénérescence minimale.
Démonstration.
Nous choisissons un système de coordonnées où la polarité symplectique ir s'écrit A Xg + Xg A Xj^ = 0, elle a pour unique point singulier le point x : (l 0 0 0 O). Considérons l'espace ^12^^3^ dans 1' d'équation Xj^ = 0. Dans cet E^, la polarité présente une dégénérescence, et contient une droite de points isolés
(1 0000), (000 1 0), (1 00 1 O). Les 12 points restants constituent l'espace F,2(s’).
Soit q un point extérieur à (xj^ = O), de coordonnées (q^ q^ q^ q.^ '^(q)
s'écrit x^q^ + l'intersection de iT(q) avec (xj^ = 0)
devient x^q^ + x^q^ + x^ = 0.
Nous avons donc a priori U cas à distinguer, selon le choix du point q : a) si q = q^ 1 1 q^ 1 , -iï(q) : x^ + x^ + = 0 b) q = q^ 0 1 q^ 1 , TT(q) : x^ + x^ = 0 c) d) q = q^ 1 0 q^ 1 , Tr(q) : X2 + = 0 q = q^ 0 0 q^ 1 , Tr(q) : x^ = 0
Il nous suffira d'examiner le résultat obtenu avec un seul représentant dans chacune de ces 4 classes, car ces classes sont des orbites pour le sous-groupe symplectique fixant le sous-espace
a) soit q = (0 1 1 0 1); q est joint aux 6 points (01000) du F (00100) (1 1000) (10100) (01110) (11110) 12
40.-ct (' nouveaux j)oinl,u (00 I O 1 ) (01001) (10101) (1 1001) (0001 1) (1001 1)
Ceux-ci par jonction entre eux et avec engendrent un seul nouveau point : (l 1 10 1) conjugué au Fg obtenu par intersection de avec iT(q.).
L'ensemble de 20 points obtenus est stable par jonction, et ainsi 0. ^ ~ ^2^ On peut aussi remarquer que F^q contient un sous-espace
l'isomor-phlsme
b) soit q=(0010l); q est joint aux 6 points (01000)
(1 1 000) (01 100) (001 10) (10110) (11100) du F^2 s't engendre (01101) (11101) (01001) (0 0 01 1 ) (1001 1) (11101)
on constate que les points obtenus sont les mêmes que ceux du cas précédent, et par conséquent < F^^, q > = 2F^q.
c) soit q = (O 1 00 1)
Etant donné que ce point est obtenu au cas a), nous obtenons la même conclusion, ainsi que pour le cas suivant.
in
V ^ 1 2
2.2. U. 1.2. Nous montrons à présent que <F^2(S2)» <1 ^ pola-rite TT présente une double dégénérescence dans l'espace : S^, contenant un plan de points isolés.
Démonstration.
Nous choisissons un système de coordonnées où la polarité symplectique tt s'écrit
A Xg = 0; elle a pour plan isolé le plan d'équations x^ = X2 = 0. Considé rons l'espace dans 1' d'équation X|^ = 0. Dans cet la polarité présente une dégénérescence simple, et contient Tine droite de points isolés
( 1 0 0 0 0), (0 0 0 1 0) et (10010). Les 12 points restants constituent l'espace
Soit q un point extérieur à E^ (xj^ = O), de coordonnées (q^ q^ q^ q^ 0.1^) > Tr(q) s'écrit x^q^ + =0 et l'intersection de Tr(q) avec x^ = 0 s'écrira ainsi : x^q2 + x^q^ = 0.
Nous avons donc a priori 3 cas à considérer selon le choix du point q : a) si II 0 1 1 ^3 1 > TT(q) : x^ + = 0 b) 0 II O ^ 1 0 ^3 ^ ’ •iï(q) : Xg = 0 c) II 0 0 1 ^3 1 , iT(q) : x^ = 0
(le cas où q = q^ 0 0 q^ 1 ne sera pas considéré : q isolé).
a) soit q = 0 1 1 1 0 1; q est joint aux 8 points (O 1 0 0 O), (O 0 1 0 O) , (1 1 0 0 0), (1 0 1 0 0), (0 1 0 1 0), (0 0 1 1 0), (1 1 0 1 0) et (l 0 1 1 O)
du il engendre ainsi 8 nouveaux points (O 0 1 0 I), (01 001), (1 0101), (11001),(00111),(01011),(10111) et (11011). Ceux-ci
à leur tour engendrent 3 derniers points (IIIOI), (OIIII) et (il 111). L'ensemble de 24 points obtenu est stable par jonction et constitue l'espace de Fischer F^,^(S^) ^ 2F^2'
b) soit q = (0 1 0 1 1); comme ce point engendre avec F^^ 1® point précédent (01 1 1 0 1 ), le résultat sera identique : il en sera de même pour le choix
1+2.-de q = U 0 I 1 1) daiu'. le cas c) et nous en tirons les mêmes conclusions.
2.2.1+.2. Nous montrons que <F^q(Q2), q > est soit 2F^q, soit F^^(Qj^).
Démonstration.
Nous considérons 2 cas, selon que le point q est aligné avec le noyau (n) de la polarité et un point (q') du ^'iq» qu'il est aligné avec n et un point
q" extérieur à F-|q» c'est-à-dire appartenant à la quadrique
a) si q est aligné avec n et q' ^ ^10’ montrons que < ^io’ ^ ^ “ ^^10* Le point q est joint par une droite de 3 points aux points du F^^ qui sont joints au point q', et il est non joint aux autres; en effet ; dans le plan
(n, D) déterminé par le noyau et une droite de 2 points D par q dans la polarité est totalement dégénérée (S^) et donc q n'est pas joint aux points de D; par contre, dans le plan (n, D') déterminé par le noyau et une droite de 3 points par q' dans le ^-]q» polarité est simplement dégénérée
(5°), par conséquent l'espace de Fischer engendré par q et D est un espace Fg, isomorphe à 2F^, dédoublement de la droite D' du P^.r connexité du F’iqj c® processus se répète pour toutes les droites de 3 points
du F-|q> ®t il est donc clair que < F^^, q> = 2F^q.
b) si q est aligné avec n et q" G Q2(= nous montrons que
Le point q est joint par une droite de 3 points aux U points du F^^ a', b' c' et d' qui ne sont pas conjugués à q", et non joint aux points du Fg C F^q
qui est conjugué à q", pour des raisons analogues à celles développées en a). Les 4 points obtenus sur les droites de 3 points (q, a'), (q, b'), (q, c') et (q, d') que nous noterons a, b, c et d sont respectivement alignés avec le noyau n et les 4 points restants de Q^, que nous pouvons noter a", b", c" et d". L'ensemble de 15 points obtenu est stable par jonction et constitue
i+3.-un espace de Fischer F^^(Q^), extérieur de la quadrique déterminée par son noyau n et sa section hyperplane Q^.
2.2. U.3. Nous montrons que f <F^^(S2), q. > =
I
<^15(^4). ^1> Démonstration.L'intersection de irCq) avec F^^ est, selon que F^^ est tridimensionnel ou quadridimensionnel, un espace Fg + F^ situé dans un plan ou dans un E^; de toute manière on compte 8 points du F^^ joints par une droite de 3 points au point q, et engendrant avec celui-ci 8 nouveaux points; ceux-ci engendrent à leur tour 6 nouveaux points, situés sur les droites projectives (p, x) où
X est un des 6 points du F^ avec x q. Les 30 points obtenus consti tuent un espace de Fischer F^q = Ej^ - noyau = 2F^^.
2.2. h.k. Etant donné que d'une part, F^q s'étend de manière unique en un
espace de Fischer F^q et que d'autre part, ni ^30 peuvent s'éten
dre en sous-espaces connexes plus grands de dimension it, nous avons déterminé tous les sous-espaces connexes cherchés.
uu.-?.3. CouG-espaces de Fischer symplectiques en dimension n.
Pour déterminer les sous-espaces de Fischer symplectiques connexes de dimen sion n, nous utiliserons une induction sur la dimension 5)» connaissant les sous-espaces en dimension ^4 et en distinguant les 2 étapes suivantes :
a) à partir des sous-espaces de dimension 2n-1, déterminer ceux de dimension 2n b) à partir des sous-espaces de dimension 2n-1 et des résultats de a), déter
miner les sous sous-espaces de dimension 2n+1.
Nous obtiendrons ainsi les résultats suivants :
Théorème 1. Dans un espace symplectique PG(2n, 2) de dégénérescence minimale (concrétisée par le point isolé x), tout sous-espace de Fischer pro pre F, connexe et de dimension 2n est décrit par l'un des types suivants :
\(k+1 )^\+1 ^ k = 2n + 1, ^\(k+l)^^k+1^’ ^^k(k-1 )^^k^ ’ 2 2 2
FN(Q2n) ou F^(4) . (*)
Théorème 2. Dans un espace symplectique PG(2n-1, 2) non dégénéré, tout sous-espace de Fischer propre F, connexe et de dimension 2n-1 est décrit par l'un des types suivants :
k = 2n*l, ou . (•)
2 2
(*) Nous utilisons les notations introduites en 1.6 et 1.7; en outre les sous- espaces d'un même type sont tous conjugués entre eux.
X 2. s. I . retermination dos i-.oug-espaoo!-. do liiiiiension paire.
Dans un espace symplectique PG(:.’n, 2) de dégénérescence minimale, appelons le point singulier de l'espace et F un sous-espace de Fischer propre, connexe et de dimension 2n.
Pour déterminer la structure de F, nous utiliserons un lemme et 3 propositions.
2.3.1.1. Lemme. Si F est un sous-espace de Fischer connexe de dimension n, il existe un h-plan H ne comprenant pas x, qui coupe F suivant un sous-espace de Fischer de dimension n-1 connexe.
Démonstration.
F étant connexe, il existe au moins un espace de dimension 1 qui le rencon tre suivant un sous-espace connexe de dimension 1, c-à-d. une droite de 3 points. Supposons à présent, par hypothèse d'induction, qu'il existe un espace de dimension k qui rencontre F suivant un espace de Fischer connexe Fj^ de di mension k, avec 1 < k < n. F étant de dimension n, il existe un point p £ F, extérieur à Fj^; par connexité, p est joint à au moins un point de Fj^.
^ engendré
(sans quoi l'induction se termine ici), il existe un point q G F, q ^ E, et
iC • I
l'espace engendré par q et Ej^ ne comprend pas x; en effet, x> = et comme q ^ ,<Ej^, q>=5^<Ej^, x>.
Si le point q est joint à un point de F^^, notre induction est terminée; par contre si q n'est joint à aucun point de Fj^ il existe un point s ^ F, joint à q et joint à un point r de Fj^. Supposons que Ej^, s > 3 x (sans quoi l'induction est terminée); mais comme r est non adjacent à q et adjacent à s, il doit être adjacent au 3ème point de la droite (q, s), noté v. Donc
Ej^, V > est un espace satisfaisant la propriété d'induction.
En vertu des résultats qui précèdent (2.2, et lemme ci-dessus), et par hypothèse d'induction, nous pourrons supposer que H rencontre F suivant un espace de
U6.-paires k = 2n + 1 , ou ^k(k+i)’ suivant un extérieur de quadrique 2 2
^N^'^
2n
-1^ '
2.3. 1.2. Proposition 18. Si un h-plan H extérieur à x coupe F suivant Fk(j^_1 ) (Pj^) (k = 2n + 1), l'espace F est soit
2
Démonstration.
En vertu de la connexité de F, il existe un point p G - H, adjacent à au moins un point de ^k(k-l)^^k^' Considérons les différents espaces engendrés
2 . . . V
Il est possible de choisir un système de coordonnées où la polarité tt s'écrit
2 x_. A X. = 0 i<j 1 J
> j ^ {O, 1, ...» 2n} 2n
où H a pour équation = 2 x. = 0 i=0 ^
où le point x a pour coordonnées : (1 1 ... 1 1 )
et les points de ^k(k-l)^^k^ : (1 1 0 ... O) ainsi que celles obtenues par
2
permutations des 2n+1 coordonnées entre elles.
Comme p H, p a un nombre impair de coordonnées égales à 1 .
2er_cas : p ; (l 0 ... 0), ir(p) s'écrit x^ + x^, + ... + x^^^ = 0.
Dans ce cas il est clair que < p, ^k(k+1 ) ^^k+1 ^
coordon-2
~2
nées des points de ^ étant (1 1 0 . .. O), (O 1 1 ... 1 1) ainsi
que celles obtenues par permutations des 2n+1 coordonnées.
2ème cas : p ; (l 1 1 ...» 0 0 0 ...), tt(p) s'écrit x. + x. . J J ^ ^ (j ) ... (2n)
+ ... + X
2n
(on remarquera que ce cas nécessite l'existence d'au moins 6 coordonnées c-à-d. une dimension ^5).
47.-l'on:’. i il('fl Ml:-. Il-:; l'i'ilil.:; ;;ii i v;ui I -llil l’i p;u' p l'I. I'' , i ^ ^ ^’u )
K ^ K ■ I J K q : ( ! 0 ... 0, 1 0 ... O) p+q : (O 1 ... 1, 1 0 ... 0) r : (0 1 0 ... 0, 0 1 0 ... 0) g \(k-1 )^^k^ 2 p+q+r : (OOI ... 1, 1 1 0 ... O) s : (0 0 1 0 ... 0, 0 0 1 0 ... 0) g \(k-i p+q+r+s: (0001...1,11 10...o) ^ Or (p+q+r+s) +p=(l 1 1 0 ... 0, 1 1 10 ...0)gpnH 2
Cette situation étant en contradiction avec les hypothèses, nous éliminons ce cas et tous ceux pour lesquels p possède au moins 3 coordonnées nulles (et plus d'une coordonnée égale à 1)„
3ème cas :p . (1 1 ... 100),Tr(p) s'écrit ^2n-1 ^2n ~
Dans ce cas, il est clair que < p, \(k-1 )^^k^ >= ^ (Pj^), les coordonnées 2 2
des points de cet espace étant (1 1 0 ... 0), (O 0 1 ... l) ainsi que celles obtenues par permutations des 2n+1 coordonnées.
Nous avons donc épuisé tous les cas possibles, et terminons ainsi la démons tration de la proposition l8.
2.3. 1.3. Proposition 19. Si un h-plan H extérieur à x coupe F suivant Fj^(k+i )(Pk+i ) (k = 2n + 1), l'espace F est soit
2
^\(k+l)^Vl^ ^63^%^
2
Démonstration.
Nous conservons le système de coordonnées adopté en 2.3.1.1; en vertu de la conne xité de F, il existe un point p g H, adjacent à au moins un point de
48.-^k(k+1)^^k+1^‘ précédemment, considérons les différents espaces engendrés
P’ \(k+l)^^k+1^ ^
2er_cas : p : (1 0 ... O), tt(p) s'écrit ^2 ^2n ~ si q = (1 0 1 ... 1) € \(k+l)(Pk+l)» P + d=(0 01 ... 1)GF-H
2
si r = (1 1 0 ... 0) e Fk(k+1)^\+1^’ p + r=(0 1 0 ... 0)eF-H
et nous constatons que les points obtenus sont les projections de points de \(k+l)^^k+1^ à partir du point isolé x.
Par conséquent < p, > • 2 2 2|me_cas :p ,(l 1 10...0),Tr(p) s'écrit x^ + Xj^ + + x_ =0 2n si a = (1 0 0 1 0 ... 0) e Fk(k+1)^\+1^’ P + a = (0 1 1 1 0 0) si b = (0 1 0 0 1 0 ... 0) k(k+1k+1 2 ),P + a + b= (001110...0)GF si c = (0 0 1 0 0 1 0 ... 0) e \(k+i )(Fk+1 P + a + b + c = (0 0 0 1 1 1 0 .. . O) ^F
or (p + a + b + c) + p =(1 1 1 1 1 1 0 ... O) est un point de H, sans appartenir à ^k(k+1)^^k+1^ (sauf en dimension 6), ce qui entraîne une contradiction.
2
Cas particulier de la dimension 6 : tous les points de coordonnées
(1 1 10 1 1 1) appartenant à Fj^(k+i ) ^^k+1 ^ ’ nous n'avons plus de contradiction;
au total, les 63 points obtenus dans < p, Fj^(^+1)^^k+1^ ^ constituent un espace de Fischer ^63 “ ^63^^6^
L'équation de la quadrique s'écrira 2 x- x. = 0. Ko •=
Ce cas n'est pas en contradiction avec le cas général, car il est expliqué par l'isomorphisme exceptionnel ^28(^8^ -FoA(Qt ), ce qui l'inclut dans la proposition
28'"^5' 20 (en 2L 3. 1.4. ).
U9.-3ème cas 0...0), tt(p) : x„. .,+ x^. x„ =0
--- • > 2i+1 2i+2 2n
X ... x_. x^..,x^
O 2i 2i+1 2n
Nous pouvons procéder dans ce cas comme pour le 2ème cas, et nous obtenons une même contradiction, sauf 1°) en dimension 6 (déjà traité)
2°) si P = (1 1 ... 1 0 0) 3°) si P = X, point isolé.
Uème cas : p . (1 1 ... 10 0), ir(p) : x„ . + x^ =0
si a =( 1 1 ... 1 0 1 ) S ^k(k+1 ) ^^k+1 nous nous
re-2
trouvons dans un cas similaire au 1er cas traité; ainsi,
2 2 Ceci termine la démonstration de la proposition 19.
2.3.1. U. Proposition 20. Si un h-plan H extérieur à x coupe F suivant
+ i
Fj^i(Q2n-i)» l'espace F est soit F^jCC^^) soit
Démonstration.
On remarque que - H est la réunion de {x} et de 2 familles disjointes de points : (a) les points extérieurs au cône de sommet x et de section Q2n-1
(3) les points extérieurs à la quadrique de noyau x et de section
^2n-1■
Nous allons montrer que si F contient un point de type (a) - respectivement (3) - il contient aussi tous les autres points de ce type.
a) Notons a^ et a^ deux points distincts de type a, et a!j et a^ leurs projections par x dans H; a^ et a^ appartiennent à F. Nous montrons que si a^ £ F, a^ ^ F également.
50.-En effet : par connexité de F, il existe une droite de 3 points par a^ , conte nue dans F; notons p* l'intersection de cette droite avec H.
1°) supposons p' ^ a.'^.
- si la dimension du sous-espace de Fischer < , a^, , a^, p' est 2, la droite (a^, p') contient a^; ainsi £ F.
- si la dimension de < a^, a^, a!j, a^, p' > est 3, la polarité doit y induire une droite (x, y, z) de points singuliers, et le seul sous-espace possible est F^2(S2)- Dans ce sous-espace, nous constatons que a^ est engendré par p', a^, a^, a^, et donc que a^ ^ F.
2°) supposons p' = a^.
Dans ce cas, < a^, a^, a!j , ^ ^st de dimension 2 et possède une structure de Fg(P); ainsi a^ ^ F.
b) Notons b^ et b^ deux points distincts de type B, et b!j et b^ leurs projections par x dans H; b^ et b^ n'appartiennent pas à F.
Nous montrons que si b^ G F, appartient à F également.
En effet : la droite » ^2^ peut être soit sécante soit génératrice de ^2n-1' 1°) supposons (bî, b', bl) sécante à
123 2n-1
Par conséquent la polarité tt présente \me dégénérescence minimale dans le plan
(x, b^ , b^, b^) et Tr(b^) est la droite projective (x, Donc (b^» b^ , b^) est une droite de 3 points et b^ ^ F.
2°) supposons (b!j, b^, b^) génératrice de Qpn-1 ’
Notons bj'^ un point de Qpn-I (^2’ ^4^ soient sécantes à
'^2n-1 ■ déduit que bj^ G F et enfin b^ ^ F.
2.3.1.5- En résiuné, si les sections de F par H sont de type
^k(k-1)^\^’ Fj^.(Q2^_^), l'espace de Fischer F est de
2 2
l'un des types suivants : ^k(k+1)^\+1 2 (a) ^^k(k+l)^^k+1^’ 2 (b)
■'u<«
2n) ''
b<
4>
(a) (b) (c) (c) exceptionnel si 2n = 6
52.-P. i.',’. I)rt(?rmlrifition (1er, r.our.-ci'.paoc;:'. do dimension imfiHÎro.
Dans un espauo syiiiploctiiiiu' IXlll'n+l, ;') non doc;onoro, appeion;; K un sous-espace de Fischer propre, connexe et de dimension 2n+1.
Pour déterminer la structure de F, nous utiliserons les 3 propositions 21 , 22 et 23, ainsi que le lemme démontré en 2.3.1, qui nous permet de dire que si F est connexe de dimension 2n+1, il existe une variété de codimensicn 2, E, où la restriction de la polarité est non dégénérée, coupant F suivant un sous-espace de Fischer de dimension 2n-1 connexe. '■
En vertu des résultats énoncés en 2.2 et 2.3.1, et par hypothèse d'induction, nous pouvons supposer que E rencontre F suivant un espace de paires
± 2
k = 2n + 1 ou ^k(k+l ) ^^k+1 ^ suivant un extérieur de quadrique ^N^^pn-1 )
2.3.2.1. Proposition 21. Si E, sous-espace non dégénéré de dimension 2n-1 ,
coupe F suivant (k = 2n + 1), l'espace
2
F est soit soit ^(k+2)(k+3)^^k+3^
Démonstration.
Considérons le faisceau d'hyperplans déterminé par E, d'équations x^^ = = 0 et leurs points singuliers x^ : (1 1 ... 101)
H. : x_ =0 1 2n "2 • ”2n * *2n+l = ° "*3 ■ '‘2n.1 “ ° x^ : (0 ... 0 1 1) x^ : (1 ... 1 O) Dans chacun de ces h-plans la section de F peut être :
\(k.1)<’’k.D- E, avec éventuelle adjonction
2 2 2
(a) (3) (y)
du point isolé de 1'h-plan.
53.-1
°
a a.Ci
3 3° a YB X
5° B Y 6° Y Y A A Y A Y Y avi'c A = a, B ou y avec A = B ou y 1er cas : a aNous choisissons un système de coordonnées de manière que :
- dans , les points de ) (^^+1 ^ auront poiir coordonnées (O ... 0 1), 2
(1 0 ... 0 0 1), (1 10... 0 O) et (10... 0 0) ainsi que ceux obtenus en permutant les 2n premières coordonnées,
- dans H^, les points de ^k(k+l)^\+1^ auront pour coordonnées (l 1 0 ... 0 O) 2
(l 0 ... 0 0), (0 ... 0 1
o)
et (l 0 ... 1 0) ainsi que ceux obtenus en per mutant les 2n premières coordonnées, ce que nous noterons désormais en souli gnant les coordonnées fixes.a) Un seul point supplémentaire est engendré par jonction des points considérés ci-dessus : (10... 10)+(l0...0l)= x^, point isolé de Hg et l'ensemble de points ainsi obtenu constitue un espace de Fischer ^(1^+2) (k+1 ) ^^k+2^ ’
2 respondant au cas A = Y*
b) Considérons à présent que A = a; nous obtenons ainsi dans les points de F, c+l)^^k+1^ de coordonnées (0 1 ... 1 j_1_) et (l 1 ... I).
k(k+1)
2
Il est clair que par jonction, nous obtiendrons également les points isolés de