1.8 Morphismes d’´ evaluation et alg´ ebricit´ e des sous-sch´ emas formels
1.8.1 Un crit` ere num´ erique d’alg´ ebricit´ e
Se existir um ciclo limite, na regi˜ao dentro dele dever´a existir necessariamente pelo menos um foco, um centro ou um n´o. Assim, se numa regi˜ao do espac¸o de fase n˜ao existir nenhum foco, centro ou n´o, podemos garantir que nessa regi˜ao n˜ao existe nenhum ciclo limite. Se o determinante da matriz jacobiana num ponto for negativo, o ´unico tipo de ponto fixo que poder´a existir ser´a um ponto de sela. Assim, se dentro de uma regi˜ao do espac¸o de fase o determinante da matriz jacobiana for negativo, nessa regi˜ao n˜ao poder´a existir nenhum ciclo limite.
8.3 Inexistˆencia de ciclos limite 131
Exemplo 8.2
Demonstre que o sistema
˙
x= y2− x
˙
y= y + x2+ yx3
n˜ao possui nenhum ciclo limite. Resoluc¸˜ao:
(%i11) f: [yˆ2-x, y+xˆ2+y*xˆ3]$ (%i12) solve(f);
produz unicamente uma soluc¸˜ao real, na origem. Assim, o ´unico ponto fixo ´e a origem. (%i13) vars: [x,y]$
(%i14) jacobi[i,j]:= diff(f[i],vars[j])$ (%i15) genmatrix(jacobi,2); [ - 1 2 y ] (%o15) [ ] [ 2 3 ] [ 3 x y + 2 x x + 1 ] (%i16) eigenvectors(ev(%,x=0,y=0)); (%o16) [[[- 1, 1], [1, 1]], [1, 0], [0, 1]]
a origem ´e um ponto de sela. Como n˜ao existe nenhum n´o, foco ou centro, n˜ao existe nenhum ciclo limite.
Um sistema gradiente tamb´em n˜ao admite a existˆencia de ciclos nem ciclos limite.
Exemplo 8.3 Diga se o sistema ˙ x= y + x3 ˙ y= x + y + y3
tem ciclos limite ou n˜ao. Resoluc¸˜ao:
∂(y + x3)
∂y = 1 =
∂(x + y + y3)
∂x
8.4
Referˆencias
Dynamical systems with applications using MAPLE(Lynch,2001).
8.5
Perguntas de escolha m ´ultipla
1. A equac¸˜ao de evoluc¸˜ao dum oscilador de van der Pol ´e:
¨
x+ ε(x2− 1) ˙x + x = 0
para quais valores do parˆametro ε a soluc¸˜ao aproxima-se sempre para um ciclo limite? A. para valores pequenos do parˆametro. B. para valores elevados do parˆametro. C. unicamente para um valor cr´ıtico do
parˆametro.
D. unicamente se o parˆametro for nulo. E. para qualquer valor do parˆametro. 2. Qual ´e um sistema f´ısico que ilustra o
fenˆomeno dos ciclos limite?
A. Um amortecedor de um autom´ovel. B. Uma corda numa guitarra, tocada com o
dedo.
C. Uma corda num violino, tocada com o arco.
D. Um paraquedas.
E. Um carrinho numa montanha russa. 3. Um sistema, no espac¸o de fase (x, y), tem
um ponto fixo em (2, 3). Ap´os uma mudanc¸a de vari´aveis para coordenadas polares (r, θ), com origem no ponto (2, 3), o sistema obtido
foi: ˙r = 2r, ˙θ = −3. O que ´e que podemos afirmar acerca do sistema?
A. Existe um ciclo limite `a volta de (2,3). B. (2,3) ´e um foco inst´avel.
C. (2,3) ´e um foco est´avel. D. (2,3) ´e um centro.
E. (2,3) ´e um ponto de sela.
4. Se um sistema dinˆamico cont´ınuo, de se- gunda ordem, n˜ao tiver nenhum ponto fixo, o que ´e que podemos afirmar sobre o sistema? A. ´e um sistema gradiente.
B. n˜ao pode ser um sistema gradiente. C. n˜ao pode ter ciclos limite.
D. deve ter algum ciclo limite.
E. n˜ao pode ser um sistema predador-presa. 5. As equac¸˜oes de um sistema dinˆamico cont´ınuo de segunda ordem, tˆem a forma seguinte em coordenadas polares: ˙r = (r − 1)(r − 3), ˙θ = 2. Quantos ciclos limites tem esse sistema? A. nenhum B. um C. dois D. trˆes E. quatro
8.6
Problemas
1. Para demonstrar que o sistema n˜ao-linear
˙
x= x − y − x3− xy2
˙
8.6 Problemas 133 tem um ciclo limite est´avel:
(a) Use coordenadas polares para transformar o sistema num sistema de segunda ordem para as vari´aveis r e θ (sugest˜ao: use o comando trigreduce para simplificar o resultado). (b) Desenhe o diagrama de fase para a equac¸˜ao de ˙r (r n˜ao pode ser negativo). Diga qual ser´a
o valor limite de r quando o tempo for suficientemente grande. (c) Escreva a equac¸˜ao do ciclo limite, em func¸˜ao das coordenadas (x,y). (d) Corrobore a sua resposta desenhando o retrato de fase no plano (x,y). 2. Demonstre que o sistema:
˙
x= y y˙= x
n˜ao tem nenhum ciclo limite. 3. O sistema de equac¸˜oes de R¨ossler
˙ x= −y − z ˙ y= x + 0.2 y ˙z = 0.2 + (x − c)z
tem ciclos limite em 3 dimens˜oes, para alguns valores do parˆametro c; isto ´e, depois de pas- sado um tempo suficientemente grande, as vari´aveis x, y e z descrevem ciclos que se repetem peri´odicamente.
(a) Use o programa rk para encontrar a soluc¸˜ao do sistema com c = 3 e condic¸˜oes iniciais x(0) = z(0) = 0, y(0) = 4, no intervalo 0 ≤ t ≤ 200; use 5000 passos (∆t = 0.04). (b) Usando unicamente o intervalo 160 ≤ t ≤ 200 da soluc¸˜ao encontrada na al´ınea anterior,
desenhe os gr´aficos de y em func¸˜ao de x e x em func¸˜ao de t.
Cap´ıtulo 9
Coexistˆencia de duas esp´ecies
x(t) = n´umero de elementos da esp´ecie 1, no instante t. Positiva. y(t) = n´umero de elementos da esp´ecie 2, no instante t. Positiva. A taxa de aumento das populac¸˜oes das duas esp´ecies ser˜ao:
˙ x x ˙ y y (9.1)
e as equac¸˜oes de evoluc¸˜ao do sistema dever˜ao ter a forma geral:
˙
x= x f (x, y)
˙
y= y g(x, y) (9.2)
f ´e a soma da taxa de natalidade da esp´ecie 1, menos a sua taxa de mortalidade. g ´e a soma da
taxa de natalidade da esp´ecie 2, menos a sua taxa de mortalidade.
Como x e y s˜ao positivas, as componentes da velocidade de fase s˜ao proporcionais a f e g. Na ausˆencia de elementos da outra esp´ecie, para cada uma dessas func¸˜oes costuma usar-se uma das 3 seguintes func¸˜oes (a e b s˜ao constantes):
1. f (x, 0) = a > 0 aumento exponencial da populac¸˜ao. 2. f (x, 0) = −a < 0 extinc¸˜ao exponencial da populac¸˜ao.
3. f (x, 0) = a − bx a> 0 b> 0 modelo log´ıstico; populac¸˜ao com limite a/b.
9.1
Sistemas predador-presa
Uma das esp´ecies, admitimos que a 2, s˜ao predadores que se alimentam da esp´ecie 1 (presas). O aumento do n´umero de presas, faz aumentar a taxa de crescimento da populac¸˜ao de predadores: g(x, y) ´e crescente em func¸˜ao de x.
O aumento do n´umero de predadores, faz diminuir a taxa de crescimento da populac¸˜ao de presas:
Presas Predadores f f f f g g g g
Figura 9.1: Poss´ıvel ciclo num sistema predador-presa.
Essas duas condic¸˜oes fazem com que seja poss´ıvel a existˆencia de ciclos: mas, naturalmente dever´a existir um foco ou centro dentro do ciclo.
A origem tamb´em ´e um ponto fixo. Como sobre cada um dos eixos coordenados a velocidade de fase ´e na mesma direcc¸˜ao do eixo, a origem e quaisquer outros pontos fixos nos eixos dever˜ao ser n´os ou pontos de sela. Se um desses pontos for est´avel, implica uma soluc¸˜ao onde uma das populac¸˜oes atinge um limite (modelo log´ıstico) e a outra extingue-se.
Um ciclo n˜ao ´e uma situac¸˜ao muito realista neste caso. Mais realista ser´a um ciclo limite.
Exemplo 9.1
Analise o modelo de Holling-Tanner: ˙ x= x1 −x 7 − 6xy 7 + 7x ˙ y= 0.2y1 − y 2x
Resoluc¸˜ao: x representa uma populac¸˜ao de presas, com crescimento log´ıstico, e y ´e a populac¸˜ao de predadores, com crescimento log´ıstico.
(%i1) f: [x*(1-x/7) -6*x*y/(7+7*x), 0.2*y*(1-y/2/x)]$ (%i2) fixos: solve(f);
(%o2) [[y = 0, x = 0], [y = 0, x = - 1], [y = 0, x = 7], [y = - 14, x = - 7], [y = 2, x = 1]]
existem 3 pontos fixos: (0,0), (7,0) e (1,2). (%i3) vars: [x,y]$
(%i4) jac[i,j] := diff(f[i],vars[j])$ (%i5) a: genmatrix(jac,2)$
(%i6) eigenvectors(ev(a,fixos[3])),numer;
9.1 Sistemas predador-presa 137
Figura 9.2: Retrato de fase do modelo de Holling-Tanner.
o ponto fixo em (7,0) ´e um ponto de sela. A matriz jacobiana na origem n˜ao pode ser calculada por substituic¸˜ao directa, porque aparecem denominadores igauis a zero; por enquanto, adiaremos a an´alise de estabilidade da origem.
Com
eigenvectors(ev(a,fixos[5]))
descobrimos que o ponto (1,2) ´e um foco repulsivo.
A traject´oria que sai do ponto de sela (7,0), na direcc¸˜ao do vector (-1,1.6), aproxima-se do foco repulsivo; assim, dever´a existir um ciclo limite est´avel `a volta do foco inst´avel.
Para desenhar o retrato de fase usamos:
(%i7) load("plotdf")$
(%i8) plotdf(f,[xradius,5.1],[xcenter,5],
[yradius,4.1],[ycenter,4]);
usou-se 5.1 e 4.1, para evitar os denominadores nulos no eixo dos y.
O ciclo limite aparece indicado a preto. No eixo dos y h´a uma descontinuidade na derivada de y e, por isso, n˜ao existem traject´orias nesse eixo, mas para x > 0 a origem comporta-se como um ponto de sela.