Un crit` ere num´ erique d’alg´ ebricit´ e

Soient K un corps, q : X → SpecK une vari´et´e alg´ebrique projective sur K, L unOX -module inversible ample,Y un sous-sch´ema ferm´e int`egre de X et Vb un sous-sch´ema formel ferm´e du compl´et´e formel XbY de X le long deY dont Y est le sch´ema de d´efinition. Si on d´esigne par Vi lei<sup>i`eme</sup> voisinage infinis´emal de Y dans Vb, alors on a des immersions ferm´ees successives :

Y =V₀⊂V₁⊂V₂· · · . L’espace localement annel´e sous-jacent `a Vb s’identifie `a lim

−→Vi. On d´esigne par ϕi : Vi → X l’immersion ferm´ee canonique, et parϕ:Vb → X le morphisme d’espaces localement annel´es induit par lesϕ_i.

Pour tout entierD >0, on d´efinit un espace vectoriel sur K ED:=q_∗L^⊗D=H⁰(X, L^⊗D)

qui est de dimension finie puisque X est propre sur K. Observons que l’espace topologique sous-jacent `aVb et auxViest|Y|, et l’application continue d’espaces topologiques sous-jacente

`

aϕi et `aϕest l’inclusion canonique|ϕ|:|Y| → |X|.

On a des homomorphismes canoniques

ηⁱ_D:ED=q_∗L^⊗D−→q_∗ϕ_i∗ϕ^∗_iL^⊗D=H⁰(|Y|, ϕ^∗_iL^⊗D), η_D:E_D=q_∗L^⊗D−→q_∗ϕ_∗ϕ^∗L^⊗D=H⁰(|Y|, ϕ^∗L^⊗D).

Le faisceau d’anneaux sous-jacent `a O

Vb est la limite projective des faisceauxOVi. Comme le syst`eme projectif (O<sub>Vi</sub>)<sub>i≥0</sub>de faisceaux d’anneaux satisfait `a la condition de Mittag-Leffler (cf.

[46] 0_III.13), on aϕ^∗L^⊗D∼= lim←−ϕ^∗_iL^⊗D. En particulier, on a H⁰(|Y|, ϕ^∗L^⊗D) = lim←−H⁰(|Y|, ϕ^∗_iL^⊗D), etηD= lim←−η_Dⁱ .

Pour tout i ∈ N, soit Ii+1 l’id´eal de OX d´efinissant le sous-sch´ema Vi. Soit I le noyau de l’homomorphisme canonique O

Vb → OY. C’est un id´eal coh´erent de O

Vb qui s’identifie canoniquement `a ϕ^∗I1. De plus, le noyau de l’homomorphisme canonique O

Vb → OV_i est par d´efinitionIⁱ⁺¹, qui s’identifie canoniquement `a (cf. [28] th´eor`eme 7.1)ϕ^∗Iⁱ⁺¹.

Lemme 1.8.1 Soient W une vari´et´e alg´ebrique projective sur SpecK et (L_i)_1≤i≤n une fa-mille de O_W-modules inversibles. Alors il existe une constante c > 0 telle que, pour tout (D1,· · · , Dn)∈Nⁿ, on ait

rg_KH⁰(W, L^⊗D₁ ¹⊗ · · · ⊗L^⊗D_n ⁿ)≤c(D1+· · ·+Dn)^dimW.

D´emonstration. SoitLunOW-module inversible ample. Il exists un entier strictement positif atel que, pour tout entier 1≤i≤n, leOW-moduleLi est isomorphe `a un sous-OW-module de L^⊗a. Par cons´equent, pour tout (D1,· · ·, Dn) ∈ Nⁿ, on a un homomorphisme injectif de L^⊗D₁ ¹ ⊗ · · · ⊗L^⊗D_n ⁿ vers L^{⊗a(D1+···+Dn)}. La proposition d´ecoule alors de la th´eorie des

po-lynˆomes de Hilbert. 2

Dans la suite du paragraphe, on suppose queY soit r´eguli`erement immerg´e dansVb,

c’est-`

a-dire que l’id´eal coh´erent IdeO

Vb soit localement engendr´e par une suite r´eguli`ere. Dans ce cas-l`a le fibr´e normal N(=NYVb) := (I/I²)^∨ est unOY-module localement libre de rang fini, et l’homomorphisme canonique deOY-alg`ebres

M

i≥0

SⁱN^∨−→M

i≥0

Iⁱ/Iⁱ⁺¹

est un isomorphisme (cf. [47] 0IV.15.1.9).

Si on d´esigne parE_Dⁱ le noyau deηⁱ⁻¹_D , alors on a une suite d´ecroissante d’espaces vectoriels surK (en posantE⁰_D=ED)

ED=E⁰_D⊃E_D¹ ⊃E_D² ⊃ · · ·E_Dⁱ ⊃ · · · ⊃E_Dⁱ⁺¹⊃ · · ·. Soitp:P(N^∨)→Y le morphisme canonique, alors

H⁰(Y, L|^⊗D_Y ⊗SⁱN^∨) =H⁰(Y, L|^⊗D_Y ⊗p_∗O_P(N∨)(i))

=H⁰(Y, p_∗(p^∗L|^⊗D_Y ⊗ O_P(N∨)(i)))∼=H⁰(P(N^∨), p^∗L|^⊗D_Y ⊗ O_P(N∨)(i)).

Soit dla dimension deVb. Appliqu´e `a W =P(N^∨), qui est de dimensiond−1, le lemme pr´ec´edent montre qu’il existe une constantec >0 tel que

rg_KH⁰(P(N^∨), p^∗L|^⊗D_Y ⊗ O_P(N^∨)(i))≤c(i+D)^d−1, (1.24)

Donc on a la majoration

rg_K(E_Dⁱ /E_Dⁱ⁺¹)≤c(i+D)^d−1.

SoitZ la fermeture Zariski deVb dansX, c’est-`a-dire le plus petit sous-sch´ema ferm´e deX contenant tous lesVi. Le sous-sch´ema ferm´eZ deX est alors d´efini par l’id´ealJ = lim←−In. On a dimZ ≥dimVb car le compl´et´e formel Zb de Z le long de Y contient Vb. On dit queVb est alg´ebrique si on a l’´egalit´e des dimensions dimZ = dimVb.

Le noyau de η_D est ´egal `a

\

i≥0

E_Dⁱ =\

i≥0

H⁰(X, Ii+1⊗L^⊗D) =H⁰(X, J⊗L^⊗D).

On a une suite exacte

0 //H⁰(X, J⊗L^⊗D) //H⁰(X, L^⊗D) //H⁰(X,(OX/J)⊗L^⊗D) //H¹(X, J⊗L^⊗D). Comme L est un O_X-module inversible ample, H¹(X, J⊗L^⊗D) = 0 pour D suffisamment grand. Donc il existeD₀>0 tel que, pour toutD≥D₀, on ait

ED

\

i≥0

E_Dⁱ =H⁰(X,(OX/J)⊗L^⊗D) =H⁰(Z, ψ^∗L^⊗D), o`u ψ:Z →X est l’immersion ferm´ee canonique. Son rang est donc ´equivalent `a

deg_LZ dimZ!D^dimZ lorsqueD→+∞.

CommeIⁱ⁺¹ est le noyau deO

Vb → OVi, on a un isomorphisme canonique ϕ^∗_iL^⊗D∼= (ϕ^∗L^⊗D)⊗O

Vb (O

Vb/Iⁱ⁺¹).

Par cons´equent, on a une suite exacte 0 //ϕ^∗L^⊗D⊗O

Vb (Iⁱ/Iⁱ⁺¹) //ϕ^∗_iL^⊗D //ϕ^∗_i−1L^⊗D //0 qui induit en identifiantϕ^∗L^⊗D⊗_O

Vb SⁱN^∨ `aL|<sup>⊗D</sup><sub>Y</sub> ⊗<sub>OY</sub> S<sup>i</sup>N<sup>∨</sup>un diagramme commutatif dont la premi`ere ligne est exacte :

0 //H⁰(|Y|, L|^⊗D_Y ⊗SⁱN^∨) //H⁰(|Y|, ϕ^∗_iL^⊗D) //H⁰(|Y|, ϕ^∗_i−1L^⊗D)

E_D

ηⁱ_D

OO

η_Dⁱ⁻¹

55k

kk kk kk kk kk kk kk k

Si sest une section deL^⊗D sur X, alors sappartient `a E_Dⁱ = Kerηⁱ⁻¹_D si et seulement siηⁱ_D envoiesdans (l’image de)H⁰(|Y|, ϕ^∗L^⊗D⊗SⁱN^∨). Doncη_Dⁱ induit un homomorphisme

η_Dⁱ |_Ei

D :Eⁱ_D−→H⁰(|Y|, ϕ^∗L^⊗D⊗_O

Vb SⁱN^∨)

dont le noyau estE_Dⁱ⁺¹, puis un homomorphisme injectif d’espaces vectoriels surK γ_Dⁱ :E_Dⁱ /E_Dⁱ⁺¹−→H⁰(|Y|, L|^⊗D_Y ⊗SⁱN^∨).

Le crit`ere d’alg´ebricit´e ci-dessous ´etend celui ´etabli par J.-B. Bost (cf. [11] Lemma 2.4) lorsque dimY = 0.

Proposition 1.8.2 Si

D´emonstration. Soitλ >0 un entier, On a X Supposons queVb ne soit pas alg´ebrique. Alors dimZ > d, donc

lim sup

Commeλest arbitraire, on en d´eduit que lim inf La condition (1.25) est non seulement suffisante, mais encore “quasiment necessaire” pour l’alg´ebricit´e deVb. En effet, on peut d´emontrer que, siVb peut s’´ecrire comme le compl´et´e formel le long deY d’une sous-vari´et´e alg´ebrique deX contenantY, alorsE_Dⁱ /E_Dⁱ⁺¹= 0 lorsquei/D est suffisamment grand.

Lemme 1.8.3 Soient X une vari´et´e alg´ebrique projective sur un corps k, L un OX-module inversible ample, Y une sous-vari´et´e de X,π :Xe →X l’´eclatement de X le long deY et E le diviseur exceptionnel. Alors il existe un entier N > 0 tel que, pour tout entier n > N, le OXe-module inversible π^∗L^⊗n⊗ O(−E) soit ample.

D´emonstration. Soit I l’id´eal de Y dans X. Comme L est ample, il existe N ∈ N tel que L^⊗N ⊗I soit engendr´e par ses sections au-dessus deX. Soit

O_X^⊕a−→L^⊗N ⊗I

un homomorphisme surjectif. Il induit pour toutn > N un homomorphisme surjectif deOX -modules

Fn:= (L^⊗(n−N))^⊕a→L^⊗n⊗I.

On obtient alors un homomorphisme surjectif deOX-alg`ebres quasi-coh´erentes gradu´ees M

m≥0

S^m(F_n)−→ M

m≥0

L^⊗nm⊗I^m.

Par la construction Proj_X, cela induit une immersion ferm´ee i de Xe dans P(Fn) compatible avec projection surX et telle quei^∗(OF_n(1)) =π^∗L^⊗n⊗ O(−E). Comme n > N, Fn est un OX-module inversible ample. Par cons´equent,OF_n(1) est aussi ample. Enfin,π^∗L^⊗n⊗ O(−E) est ample car une immersion ferm´ee est un morphisme affine. 2

Proposition 1.8.4 On suppose queY soit r´eguli`erement immerg´e dans Vb et qu’il existe une sous-vari´et´e alg´ebrique Z deX contenant Y telle queVb =ZbY (la vari´et´eZ est donc ´egale `a la fermeture Zariski deVb dansX). Alors il existe un nombre r´eelλ >0 tel que, pour tout entier D > λ et tout entieri > λD, on ait E_Dⁱ/E_Dⁱ⁺¹= 0.

D´emonstration. SoientZel’´eclatement deZle long deY,v:Ze→Z le morphisme canonique, et E le diviseur exceptionnel. Soitdla dimension deZ. On noteL=v^∗(L|Z). Soitε(L, Y) la constante

sup{q∈Q| L ⊗ O(−qE) est ample}.

Cette constante est strictement positive grˆace au lemme 1.8.3. Pour toute sections∈E_Dⁱ non identiquement nulle surZ, le diviseur de Cartier surZe

v^∗div(s|Z)−iE est effectif. Sa classe dans CH_d−1(Z) este

(Dc₁(L)−ic₁(O(E)))∩[Z].e

Pour tout q ∈ Q tel que v^∗L|Z⊗ O(−qE) soit ample et tout entier 0 ≤ a < d, le degr´e de l’´el´ement

v∗(c1(L)^ac1(L ⊗ O(−qE))^d−a−1∩[v^∗div(s|Z)−iE])

de CH0(Z) est positif ou nul. Par ailleurs, on a

§1). La positivit´e de (1.26) devient Ddeg_L(Z)−(−q)^d−a−1ideg

1.8.2 Mod` eles des applications d’´ evaluation sur une base r´ eguli` ere de