Sch´ emas de drapeaux

1.4.1 Quelques foncteurs repr´ esentables sur la cat´ egorie des sch´ emas

Dans ce sous-paragraphe, on fixe S un sch´ema et on d´esigne par SchS la cat´egorie des S-sch´emas.

On rappelle qu’un foncteur F : Sch^op_S →Ensest repr´esentable si et seulement s’il existe un S-sch´ema X et un isomorphisme naturel de F vers Hom(−, X). D’apr`es le th´eor`eme de Yoneda, siG:Sch^op_S →Ensest un autre foncteur, alors il y a une bijectionαG de Hom(F, G)

`

aG(X), o`u Hom(F, G) est l’ensemble des transformations naturelles deF `aG. En particulier Hom(F, F) = Hom(X, X) est en bijection avecF(X). L’´el´ement dans F(X) correspondant `a IdX est appel´e l’´el´ement universel. Si G: Sch^op_S → Ensest un foncteur et sif : F →Gest une transformation naturelle, alors αG envoie f en l’image de l’´el´ement universel dans G(X) parf.

On rappelle les d´efinitions de quelques foncteurs repr´esentables dans la suite de ce sous-paragraphe (sans d´emonstration). La r´ef´erence est [50] chap. I,§9.

Fibr´es vectoriels sur un sch´ema

SoitE unOS-module quasi-coh´erent, le foncteur Sch^op_S −→ Ens (ϕ:X →S) 7−→ Hom_OX(ϕ^∗E,OX)

est repr´esentable par le S-sch´ema V(E) = Spec(Sym(E)) qui est affine sur S, appel´e le fibr´e vectoriel sur S d´efini par E, o`u Sym(E) est la OS-alg`ebre sym´etrique engendr´ee par E. Si π : V(E) → S est le morphisme canonique, on d´esigne par s_univ : π^∗E → O_V(E) l’´el´ement universel. On pourrait le consid´erer comme une section de (π^∗E)^∨ sur V(E), et on l’appelle aussi lasection universelle.

On suppose que E soit un O_S-module localement libre de rang fini. Si f : X → S est un sch´ema sur S, toutS-morphisme de sch´emas ϕ:X →V(E) correspond `a une section de f^∗(E^∨) surX qui n’est rien d’autre queϕ^∗(suniv).

Si F est un OS-module quasi-coh´erent et siE est un OS-module localement libre de rang fini, on d´efinitHom(F, E) comme le sch´emaV(E^∨⊗ F). Il repr´esente le foncteur

(ϕ:X →S)7−→Hom_OX(ϕ^∗F, ϕ^∗E).

En particulier,Hom(E, E) est not´eEnd(E). On d´esigne parGL(E) le sous-sch´ema ouvert de End(E) qui repr´esente le sous-foncteur

(ϕ:X →S)7−→Aut_OX(ϕ^∗E).

Ce foncteur se rel`eve, par d´efinition mˆeme, en un foncteur `a valeurs dans la cat´egorie des groupes. En cons´equence,GL(E) est unS-sch´ema en groupes, appel´e legroupe lin´eaire g´en´eral relativement `a E. On a une action deGL(E) `a gauche sur V(E^∨) qui associe pour tout mor-phismeϕ:X →S `a chaque couple

(f, u)∈AutO_X(ϕ^∗E)×Γ(X, ϕ^∗E) l’´el´ementf(u)∈Γ(X, ϕ^∗E).

Si Gest un S-sch´ema en groupes, on appelle unerepr´esentationde GdansE tout homo-morphisme deS-sch´ema en groupes deGversGL(E). On a alors une action deGsur V(E^∨) induit par celle deGL(E).

Grassmanniennes

Si E est unOS-module quasi-coh´erent, le foncteur grass_n(E) : Sch^op_S −→ Ens

(ϕ:X →S) 7−→ {quotients localement libres de rangndeϕ^∗E}

est repr´esent´e par un S-sch´ema Grassn(E), appel´e la grassmannienne d’indice n de E. En particulier sin= 1,Grass1(E) est appel´e lefibr´e projectifdeE, not´eP(E). Le sch´emaGrassn(E) est s´epar´e sur S. Si E est unOS-module de type fini (resp. de pr´esentation finie), Grassn(E) est un S-sch´ema de type fini (resp. de pr´esentation finie). Tout homomorphisme surjectif de OS-modules quasi-coh´erentsg:E → E⁰ induit une immersion ferm´ee

Grass_n(g) :Grass_n(E⁰)−→Grass_n(E).

Soitπ:Grassn(E)→Sle morphisme canonique. L’´el´ement universel du foncteur grass_n(E) est un quotient de rang ndeπ^∗E, appel´e lemodule universel. Soit ϕ:X →S un morphisme de sch´ema. Tout S-morphismef deX versGrass_n(E) correspond par le th´eor`eme de Yoneda

`

a un ´epimorphisme deϕ^∗E versf^∗F_univ, o`uF_univ est un module universel surGrass_n(E).

Si E est un O_S-module quasi-coh´erent et si f :E →F est un ´epimorphisme, o`u F est un O_S-module localement libre de rangn, on a un ´epimorphisme

Λⁿf : ΛⁿE −→ΛⁿF

de OS-modules. Cette construction est fonctorielle au sens suivant : si ϕ : T → S est un morphisme de sch´emas, alors Λⁿϕ^∗E=ϕ^∗(ΛⁿE), Λⁿϕ^∗F =ϕ^∗(ΛⁿF), et Λⁿ(ϕ^∗f) =ϕ^∗(Λⁿf).

On obtient ainsi une transformation naturelle de grass_n(E) vers grass₁(ΛⁿE) qui induit un morphisme de sch´emas$_E :Grass_n(E)→P(ΛⁿE), appel´e lemorphisme de Pl¨ucker. En fait, le morphisme de Pl¨ucker est une immersion ferm´ee. Par cons´equent, si E est un O_S-module de type fini,Grassn(E) est unS-sch´ema projectif sur S (cf. [45] II.5.5.2).

Sch´emas de drapeaux

Soient E unO_S-module quasi-coh´erent etm= (m_i)_1≤i≤p une suite strictement croissante d’entiers positifs ou nuls. On appelledrapeau de typem deE toute suite (Ei)_1≤i≤p telle que 1) pour tout entier 1≤i≤p,Ei soit un quotient localement libre de rangmi deE;

2) pour tout entier 1≤i < p, la projection canonique deE versEi se factorise par Ei+1 (de fa¸con unique puisque l’homomorphisme canoniqueE →Ei+1 est un ´epimorphisme).

Siϕ:X →S est un morphisme de sch´ema et siD = (E_i)_1≤i≤p est un drapeau de typem de E, alorsϕ^∗D^def= (ϕ^∗E_i)_1≤i≤p est un drapeau de typemde ϕ^∗E, appel´e l’image r´eciproque de D parϕ.

On d´esigne par Drap_m(E) l’ensemble des drapeaux de typemduO_S-module quasi-coh´erent E. Le foncteur

drap_m(E) : Sch^op_S −→ Ens (ϕ:X→S) 7−→ Drap_m(ϕ^∗E)

est repr´esent´e par unS-sch´ema, not´eDrap_m(E), appel´e lesch´ema de drapeauxde typemdeE.

On a une transformation naturelle canonique de drap_m(E) vers

p

Y

i=1

grass_mi(E) qui induit une immersion ferm´ee

i^m_E :Drap_m(E)−→Y

m∈mS

Grassm(E). (1.5)

Par cons´equent, siE est un OS-module quasi-coh´erent et de type fini, alors Drap_m(E) est un S-sch´ema projectif (cf. [45] II.5.5.5).

Si π :E → E⁰ est un ´epimorphisme deOS-modules quasi-coh´erents, alors on a une trans-formation naturelle canonique de drap_m(E⁰) vers drap_m(E) qui induit une immersion ferm´ee

Drap_m(π) :Drap_m(E⁰)−→Drap_m(E).

Sim⁰est une sous-suite dem, on a une transformation naturelle de drap_m(E) vers drap_m0(E) qui associe pour tout morphisme de sch´emas ϕ : X → S `a tout drapeau (Ei)1≤i≤p de ϕ^∗E la sous-suite de (Ei)1≤i≤p des quotients correspondant aux indices dans m. Cela induit un morphisme de sch´emas

p^m,m_E ⁰ :Drap_m(E)−→Drap_m0(E), appel´e le morphisme de restriction. Si on d´esigne par

π_E^m,m0 :Y

m∈mS

Grassm(E)−→ Y

S m⁰∈m⁰

Grassm⁰(E) la projection canonique, on a

π_E^m,m0◦i^m_E =i^m_E⁰◦p^m,m_E ⁰.

Si on d´esigne par π le morphisme canonique de Drap_m(E) vers S. L’´el´ement universel du foncteur repr´esentable drap_m(E) est alors un drapeau de typem de π^∗E, not´e Duniv. Si ϕ : X → S est un morphisme de sch´emas, alors tout S-morphisme f de X vers Drap_m(E) correspond par le th´eor`eme de Yoneda au drapeauf^∗Duniv.

Si ϕ:X→S est un morphisme de sch´emas et siσ est un automorphisme deϕ^∗E, alors σ induit une application de l’ensemble Drap_m(ϕ^∗E) vers lui-mˆeme. On obtient ainsi une action de Aut(ϕ^∗E) sur Drap_m(ϕ^∗E). Cette action est fonctorielle par rapport `a ϕ. On a donc une action du sch´ema en groupesGL(E) surDrap_m(E).

1.4.2 Faisceaux inversibles sur les sch´ emas de drapeaux

Soient S un sch´ema,E est unOS-module localement libre de rang fini. Si on d´esigne par π : P(E) → S le morphisme canonique, alors M

n≥0

π_∗O(n) s’identifie `a l’alg`ebre sym´etrique Sym(E) deE. De plus, E7−→Sym(E) est un foncteur de la cat´egorie des OS-modules quasi-coh´erents vers la cat´egorie des OS-alg`ebres quasi-coh´erentes. Le S-sch´ema P(E) peut ˆetre consid´er´e comme le sch´ema des drapeaux de type (1) deE. Il est donc naturel de proposer les autres liens entre des foncteurs de la cat´egorie desOS-modules quasi-coh´erents vers la cat´egorie desOS-alg`ebres quasi-coh´erentes et des images directes de certaines alg`ebres sur des sch´emas de drapeaux. En effet, dans [87] et [88], Towber a d´efini l’alg`ebre des formesd’unR-module E, o`uR est un anneau commutatif unif`ere. Il a expliqu´e que c’est un foncteur de la cat´egorie desR-modules vers celle desR-alg`ebres. D’autre part, ce foncteur commute aux localisations, donc induit un foncteur deO<sub>S</sub>-modules versO<sub>S</sub>-alg`ebres. Enfin, siR est un corps et siE est de type fini, alors cette “alg`ebre des formes” est en fait l’alg`ebre des coordonn´ees de la vari´et´e des drapeaux complets de E. On r´esumera dans ce sous-paragraphe les r´esultats de Towber.

Le livre de Fulton et de Harris [33] (Lecture 6) est aussi une bonne r´ef´erence.

Sym´etrie de Young et alg`ebre des formes

SoientRun anneau etE unR-module. On d´esigne par Λ₊

REl’alg`ebre commutative unif`ere (dont l’op´erateur de la multiplication est not´ee ∗) sur R librement engendr´ee par Λ⁺_RE = M

n≥1

Λⁿ_RE, modulo la relation suivante (appel´ee la sym´etrie de Young) :

pour tous entiers p ≥ q ≥ r > 0, si (x1,· · ·, xp) et (y1,· · · , yq) sont deux collections d’´el´ements dansE, alors

(x₁∧ · · · ∧x_p)∗(y₁∧ · · · ∧y_q)

= X

1≤i1<···<ir≤q

(x₁∧ · · · ∧x_i1−1∧y₁∧x_i1+1∧ · · · ∧x_ir−1∧ · · · ∧y_r∧x_ir+1∧ · · · ∧x_p)

∗(x_i1∧ · · · ∧x_ir∧y_r+1∧ · · · ∧y_q).

L’alg`ebre Λ<sub>+R</sub>E est appel´ee l’alg`ebre des formes de E. Le module Λ⁺_RE est la somme di-recte desR-modules Λⁿ_RE (n∈Z>0), on a naturellement une N^⊕Z>0-graduation sur l’alg`ebre R[Λ<sup>+</sup><sub>R</sub>E], o`uN^⊕Z>0 est le sous-ensemble deN^Z>0 des suites nulles presque partout. Comme la sym´etrie de Young dans R[Λ⁺_RE] est homog`enes pour cette graduation, l’alg`ebre des formes Λ₊

RE est canoniquement munie d’une N^⊕Z>0-graduation¹. Si αest un ´el´ement dans N^⊕N, on d´esigne par S^αRE la composante d’indiceαde Λ₊

RE. En particulier, si E est projectif de rang r, alors ΛⁿE = 0 pour tout n > r, on obtient donc une N^r graduation sur Λ₊

RE. On a par exempleS^(n,0,···R ^,0)E=SⁿEet S^(1,···R ^,1)E= d´etE.

Comme les foncteurs de localisation sont exacts, et commutent aux produits sym´etriques et produits ext´erieurs, on obtient que pour tout α ∈ N^⊕Z>0, le foncteur S^α commute aux localisations. Par cons´equent, si X est un sch´ema et si α∈ N^⊕Z>0, alors on peut d´efinir un foncteurS^αde la cat´egorie desOX-modules quasi-coh´erents dans elle-mˆeme.

Faisceaux inversibles sur les sch´emas de drapeaux

Soient S un sch´ema etE un OS-module localement libre de rang r. Soitm = (mi)_1≤i≤n une suite strictement croissante d’entiers positifs. Dans ce sous-paragraphe on d´esigne par D le sch´ema des drapeaux de type mdeE. On d´esigne parπ:D→S le morphisme canonique.

Sur le sch´emaDon a un drapeau universel deπ^∗E: π^∗E= En+1

fn+1 //En

f_n //E_n−1 //· · · ^f3 //E2

f₂ //E1

f₁ //0.

Pour tout entier 1≤i≤n+ 1, on d´esigne par Li le faisceau inversible Li = d´et (Kerfi). En combinant lesS-morphismes (1.5) et le produit fibr´e des morphismes de Pl¨ucker, on obtient une immersion ferm´eef de DdansP :=P(Λ^m1E)× · · · ×P(Λ^mnE). Pour tout 1≤i≤n on noteP_i=P(Λ^miE) et g_i:P →P_i lai<sup>`eme</sup> projection. Si (a<sub>i</sub>)<sub>1≤i≤n</sub> est une famille de nombres strictement positifs, alors le faisceau inversible (g<sub>1</sub>f)<sup>∗</sup>O<sub>P1</sub>(a<sub>1</sub>)⊗ · · · ⊗(g<sub>n</sub>f)<sup>∗</sup>O<sub>Pn</sub>(a<sub>n</sub>) est ample relativement `a π. D’autre part, on aL₁ = (g₁f)^∗O_P1(1) et pour tout entier 2≤i≤non a la relationLi= (gif)^∗OP_i(1)⊗(g_i−1f)^∗OP_i−1(−1). Enfin, on aL1⊗L2⊗· · ·⊗Ln+1=π^∗(d´et (E)).

Par cons´equent, si pour toute suite d’entiers a = (ai)_1≤i≤n+1 on d´esigne par L^a le faisceau (L^⊗a₁ ¹⊗ · · · ⊗L^⊗a_n+1ⁿ⁺¹)^∨, alorsL^aest ample relativement `aπlorsqueaest une suite strictement croissante.

D’apr`es [27] III §4 n^◦7, lorsque S est le spectre d’un corps, alors le groupe Pic(D) est librement engendr´e parL1,· · ·, Ln.

Images directes de faisceaux inversibles sur les sch´emas de drapeaux complets SoientX un sch´ema etE unO_X-module de rang fini. On d´esigne parrle rang deE. Soit π:D→X le sch´ema des drapeaux complets (`a savoir, les drapeaux de type (1,· · ·, r)). Pour

1La graduation que l’on consid`ere ici est la mˆeme chose que celle dans [87] ou celle dans [33], mais le choix de l’ensemble des indices est diff´erent.

tout entier 1≤i≤ron d´esigne parPileX-sch´emaP(ΛⁱE). Soitf :D→P :=P1×X· · ·×XPr

qui est munie d’uneN^r-graduation. L’image directe deA parπs’identifie `a l’alg`ebre des formes deE.