Un th´ eor` eme de Hartshorne

Cette section est une “relecture” dans notre cadre des r´esultats ´etablis par Hartshorne dans [53].

D´efinition 2.1.18 Si X est un sch´ema et siE est unOX-module coh´erent localement libre, on d´efinit

Γⁿ(E) =Sⁿ(E^∨)^∨.

Si n! est inversible sur X, alors Γⁿ(E) est (canoniquement) isomorphe `a SⁿE. Il n’en va pas ainsi en g´en´eral.

Proposition 2.1.19 Soient X un sch´ema et ϕ : E → F un homomorphisme surjectif de OX-modules localement libres de rang fini. Alors pour tout entier n ≥1, ϕ induit un homo-morphisme injectif

Sⁿ(ϕ^∨) :Sⁿ(F^∨)−→Sⁿ(E^∨) et un homomorphisme surjectif

Γⁿ(ϕ) : Γⁿ(E)−→Γⁿ(F).

D´emonstration. On noteH = Kerϕ. CommeF est localement libre, la suite exacte 0 //H //E ^ϕ //F //0

est localement scindable. DoncHest aussi localement libre, et on a une suite exacte localement scindable de fibr´es vectoriels

0 //F^{∨ ϕ}

∨ //E^∨ //H^∨ //0. Par cons´equent, on a pour toutx∈X

Sⁿ(E^∨)_x∼=

n

M

k=0

S^k(F^∨)_x⊗S^n−k(H^∨)_x. (2.1) Cela signifie que Sⁿ(F^∨) est localement une composante directe de Sⁿ(E^∨), i.e., l’homomo-phisme

Sⁿ(ϕ^∨) :Sⁿ(F^∨)−→Sⁿ(E^∨) est injectif. Par passage au dual, (2.1) donne

Sⁿ(E^∨)^∨_x ∼=

n

M

k=0

S^k(F^∨)^∨_x⊗S^n−k(H^∨)^∨_x.

Donc Γⁿ(F) est localement une composante directe de Γⁿ(E). Par cons´equent, l’homomor-phisme canonique Γⁿ(ϕ) : Γⁿ(E)→Γⁿ(F) est surjectif. 2

Lemme 2.1.20 SoientX un sch´ema projectif surk etE et F deux OX-modules localement libres de rang fini. Si E est ample, alors il existe un entier n0 >0 tel que, pour tout entier n≥n0,Sⁿ(E)⊗F soit ample.

D´emonstration. En effet, il existe un entier m0 >0 tel que S^m0(E)⊗F soit engendr´e par ses sections au-dessus deX. On suppose queϕ:O_X^⊕a →S^m0(E)⊗F soit un homomorphisme surjectif. D’autre part, il existe un entier d0 > 0 tel que, pour tout d ≥ d0, S^d(E) soit un faisceau localement libre de rang fini ample (cf. [52] et [6]). Enfin, pour tout entierd≥d0, on a un homorphisme surjectif

S^d(E)^⊕a −→S^d(E)⊗S^m0(E)⊗F.

Mais comme il existe un homomorphisme surjectif canonique deS^d(E)⊗S^m0(E) versS^d+m0(E), on voit queS^d+m0(E)⊗F est un quotient d’un fibr´e vectoriel ample, donc est aussi ample. 2

Lemme 2.1.21 Soit X une courbe alg´ebrique sur k. Si ϕ: F → G est un homomorphisme surjectif deOX-modules coh´erents, alorsϕinduit un homomorphisme surjectif de cohomologies de faisceaux

H¹(X,F)−→H¹(X,G).

D´emonstration. La suite exacte de faisceaux

0 //Kerϕ //F ^ϕ //G //0 induit une suite exacte de cohomologies

· · · //H¹(X,F) //H¹(X,G) //H²(X,Kerϕ) //0.

CommeX est une courbe,H²(X,Kerϕ) = 0. Donc l’homomorphismeH¹(X,F)→H¹(X,G)

est surjectif. 2

Remarque 2.1.22 Le lemme 2.1.21 reste vrai lorsque ϕ est suppos´e surjectif seulement au point g´en´erique. En effet, si on d´esinge parHl’image deF dansG et parK le conoyau deϕ, alors on a une suite exacte

0 //H //G //K //0.

Comme ϕ est surjectif au point g´en´erique, le support de K ne contient qu’un nombre fini de point, donc on a H¹(X,K) = 0. Par cons´equent, on a un homomorphisme surjectif de H¹(X,H) dans H¹(X,G). Enfin, comme on a un homomorphisme canonique surjectif de F versH, l’annulation de H¹(X,F) implique celle deH¹(X,H) compte tenu du lemme 2.1.21.

Cela conduit `a l’annulation deH<sup>1</sup>(X,G) d’apr`es la surjectivit´e deH¹(X,H)→H¹(X,G).

Lemme 2.1.23 Soient X une courbe projective sur k, E un OX-module localement libre de rang fini et non-nul surX etLunOX-module inversible ample. SiE est ample, alors il existe un entierλtel que, pour tout entierd > λ et tout entier n > λd, on ait

H¹(X, Sⁿ(E)⊗L^⊗−d) = 0.

D´emonstration. CommeE est ample, il existen₀ >0 tel que L^∨⊗Sⁿ⁰(E) soit ample. Par cons´equent,E⊕Sⁿ⁰(E)⊗L^∨est aussi ample. Donc il existem₀>0 tel que, pour toutm≥m₀, on ait

H¹(X, S^m(E⊕Sⁿ⁰(E)⊗L^∨)) = 0.

Notons que

S^m(E⊕Sⁿ⁰(E)⊗L^∨) = M

p+q=m

S^p(E)⊗S^q(Sⁿ⁰(E)⊗L^∨)

et queS^p+qn0(E)⊗L^⊗−q est un quotient deS^p(E)⊗S^q(Sⁿ⁰(E)⊗L^∨), donc, d’apr`es le lemme 2.1.21, on a

H¹(X, S^p+qn0(E)⊗L^⊗−q) = 0

pour toutp, q≥0 etp+q≥m0. 2

Lemme 2.1.24 Soient X un sch´ema projectif de dimension ≤ 1 sur k, E un OX-module localement libre de rang fini et non-nul sur X, L un OX-module inversible ample, et F un OX-module coh´erent. S’il existeλ >0tel que, pour tout entierd > λet tout entier n > λd, on ait

H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d) = 0,

alors il existe unλ⁰>0 tel que, pour tout entierd > λ⁰ et tout entiern > λ⁰d, on ait H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d⊗ F) = 0.

D´emonstration. CommeLest ample, il existe un entierd0>0 tel queL^⊗d0⊗ F soit engendr´e par ses sections au-dessus deX, i.e., il existe un homomorphisme surjectif (OX)^⊕a→L^⊗d0⊗ F qui induit un homomorphisme surjectif (L^⊗−d0)^⊕a→ F. Pour tout (n, d)∈N²on obtient donc un homomorphisme surjectif de faisceaux

ϕ: (Γⁿ(E)⊗L^⊗−(d+d0))^⊕a−→Γⁿ(E)⊗L^⊗−d⊗ F.

CommeX est de dimension≤1,ϕinduit un homomorphisme surjectif H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−(d+d0))^⊕a−→H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d⊗ F)

compte tenu du lemme 2.1.21. Notons qu’il existe un entier λ > d0 tel que, pour tout entier d > λ−d0 et tout entiern > λ(d+d0), on ait

H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−(d+d0)) = 0.

Par cons´equent, pour tout tel (n, d), on aH¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d⊗ F) = 0. Enfin, si on prend λ⁰ > 2λ, alors pour tout entier d > λ⁰ et tout entier n > λ⁰d on a d > 2λ > λ−d0 et n > λ⁰d >2λd > λd+d0λ. Donc on aH¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d⊗F) = 0. 2

Lemme 2.1.25 Soit f : X⁰ → X un morphisme fini et surjectif de sch´ema noeth´eriens int`egres. Si F est un OX-module coh´erent, alors il existe un OX⁰-module coh´erent G ainsi qu’un homomorphismeα:f_∗G → F qui est surjectif au point g´en´erique.

D´emonstration. SoitG⁰ =Hom_OX(f_∗OX⁰,F). CommeG⁰ est unf_∗OX⁰-module, il existe un OX⁰-module coh´erentG tel que f∗G =G⁰ (cf. [50] I.9.2.1 et I.9.2.6). Soitα:G⁰ → F l’homo-morphisme d’´evaluation en la section unit´e. Commef est surjectif,f∗OX⁰ est de rang>0 au point g´en´erique. Par cons´equent, αest surjectif au point g´en´erique. 2

Lemme 2.1.26 SoientX une courbe alg´ebrique projective et lisse sur un corpsk,E un OX -module localement libre de rang fini et non-nul etL un OX-module inversible ample. SiE est ample, alors il existe un entierλ tel que, pour tout entierd > λet tout entier n > λd, on ait

H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d) = 0.

D´emonstration. En rempla¸cantk par sa clˆoture alg´ebrique, on peut supposer quek soit un corps parfait. Si la caract´eristique dekest nulle, on aSⁿ(E)∼= Γⁿ(E). Le lemme r´esulte alors du lemme 2.1.23. Si la caract´eristique dekestp >0, commeE est ample etX est une courbe, E estp-ample (cf. [52] 7.3). Donc il existe un entierb >0 tel que (F_X^∗)^bE⊗L^∨ soit engendr´e par ses sections au-dessus deX, i.e., il existe un entiera≥1 et un homomorphisme surjectif

O^⊕a_X −→(F_X^∗)^bE⊗L^∨

qui induit un homomorphisme surjectifL^⊕a−→(F_X^∗)^bE. Pour tout entiern≥0, Γⁿ(L^⊕a)∼= (L^⊗n)^⊕(^n+a−1n )∼=Sⁿ(L^⊕a).

D’apr`es le lemme 2.1.23, il existe un entier λ tel que, pour tout entier d > λ et tout entier n > λd, on ait

H¹(X,Γⁿ(L^⊕a)⊗((F_X^∗)^bL)^⊗−d) = 0.

D’apr`es la proposition 2.1.19, l’homomorphisme surjectif L^⊕a → (F_X^∗)^bE induit pour tout n∈Nun homomorphisme surjectif

Γⁿ(L^⊕a)−→Γⁿ((F_X^∗)^bE), et donc un homomorphisme surjectif

Γⁿ(L^⊕a)⊗((F_X^∗)^bL)^⊗−d −→(F_X^∗)^b(Γⁿ(E)⊗L^⊗−d).

Compte tenu du lemme 2.1.21, on a donc pour toutd > λet toutn > λd H¹(X,(F_X^∗)^b(Γⁿ(E)⊗L^⊗−d)) = 0.

D’apr`es le lemme 2.1.25, il existe un O<sub>X</sub>-module coh´erentG ainsi qu’un homomorphisme α: (F<sub>X∗</sub>)<sup>b</sup>G → OX surjectif au point g´en´erique. D’apr`es le lemme 2.1.24 appliqu´e au OX-module localement libre (F_X^∗)^bE et au fibr´e inversible ample (F_X^∗)^bL(∼=L^⊗pb), il existeλ⁰>0 tel que, pour tout entierd > λ⁰ et tout entiern > λ⁰d, on ait

H¹(X,G ⊗(F_X^∗)^b(Γⁿ(E)⊗L^⊗−d)) = 0. (2.2) Comme Γⁿ(E)⊗L^⊗−d est localement libre de rang fini, on a l’isomorphisme canonique

(F_X∗)^bG ⊗Γⁿ(E)⊗L^⊗−d−→^∼ (F_X∗)^b(G ⊗(F_X^∗)^b(Γⁿ(E)⊗L^⊗−d)).

Le morphismeF_X :X →X ´etant fini, on a donc l’´egalit´e de groupes de cohomologie : H¹(X,(F_X∗)^b(G ⊗(F_X^∗)^b(Γⁿ(E)⊗L^⊗−d))) =H¹(X,G ⊗(F_X^∗)^b(Γⁿ(E)⊗L^⊗−d)).

Par cons´equent, l’annulation du groupe de cohomologie (2.2) montre que H¹(X,(F_X∗)^bG ⊗Γⁿ(E)⊗L^⊗−d) = 0.

Comme on a une surjection au point g´en´erique (F_X∗)^bG → OX, on en d´eduit que H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d) = 0

compte tenu de la remarque 2.1.22. 2

Th´eor`eme 2.1.27 (cf. [53] lemma 6.1) SoientX une courbe alg´ebrique non-singuli`ere pro-jective surk, E un fibr´e vectoriel de rangr >0 sur X,L un OX-module inversible ample, et F un OX-module coh´erent. Si E est ample, alors il existe un entierλtel que, pour tout entier d > λ et tout entiern > λd, on ait

H¹(X,Γⁿ(E)⊗L^⊗−d⊗ F) = 0.

D´emonstration. C’est une cons´equence imm´ediate du lemme 2.1.24 et du lemme 2.1.26. 2