Mesure de probabilit´ e associ´ ee ` a une R -filtration

s<r

ϕ(E_s)⊂ \

s<r

F_s=F_r.

2

4.2.3 Mesure de probabilit´ e associ´ ee ` a une R -filtration

Dans ce sous-paragraphe, K d´esigne un corps commutatif, toutes les filtrations sont sup-pos´ees ˆetre desR-filtrations d’un espace vectoriel de rang fini surK (donc de longueur finie).

Probabilit´e associ´ee `a une filtration pour une base

D´efinition 4.2.10 Soit E un espace vectoriel de rang 0 < n < +∞ sur K, muni d’une filtration s´epar´ee et exhaustiveF. Sie= (e_i)_1≤i≤n est une base de E, on d´efinit une mesure de probabilit´e sur (la tribu bor´elienne de)R

µ_F,e:= 1 n

n

X

i=1

δ_λ(ei),

appel´ee la probabilit´e associ´ee`a la filtrationF et `a la basee. S’il n’y a aucune ambigu¨ıt´e, on note aussiµe au lieu deµ_F,e pour simplifier les notations.

Remarque 4.2.11 Avec les notations dans la definition 4.2.10, la proposition 4.2.6 montre queµ_F,e=µ_F^g,e.

D´efinition 4.2.12 Siµ1 etµ2sont deux mesures bor´eliennes born´ees surR, on dit queµ1est

`

a droite² deµ2si pour toute fonction croissante born´eef on a Z

R

f dµ1≥ Z

R

f dµ2,

not´eµ1µ2. On dit queµ1 eststrictement `a droite deµ2siµ1µ2 maisµ26µ1. Si µ1est `a droite deµ2, on dit aussi queµ2est `a gauchedeµ1, not´eµ2µ1. Base maximale, mesure associ´ee `a une filtration

D´efinition 4.2.13 SoitEun espace vectoriel de rang fini surK, muni d’une filtration s´epar´ee et exhaustive F. On dit qu’une base e de E est maximale si pour toute basee⁰ de E on a µ_eµ_e⁰.

Proposition 4.2.14 SoitEun espace vectoriel de rang fini surK, muni d’une filtrationFqui est s´epar´ee, exhaustive et continue `a gauche. Alors une basee= (e_i)_1≤i≤n deE est maximale si et seulement si pour tout nombre r´eelr,

card(e∩Er) = rgEr. D´emonstration. “=⇒” : Comme eest une base deE, on a

card(e∩Er)≤rgEr

pour toutr∈R. Supposons qu’il existe un nombre r´eel rtel que card(e∩Er)<rgEr.

SoitE_r⁰ le sous-espace vectoriel deErengendr´e pare∩Er, on a rgE_r⁰ <rgEr. Donc il existe e⁰∈Er\E_r⁰. Commeeest une base deE, il existe (ai)1≤i≤n∈Kⁿ tel que

e⁰=a₁e₁+· · ·+a_ne_n.

2C’est aussi ´equivalent `a dire que pour toutr∈R, Z

R

11_[r,+∞[dµ1≥ Z

R

11_[r,+∞[dµ2.

Commee⁰6∈E_r⁰, il existe un 1≤i≤ntel que ei 6∈Eret tel queai6= 0. Alors

Cela est absurde careest maximale.

“⇐=” : Pour tout nombre r´eelret toute basee⁰ deE, on a est une fonction croissante et born´ee, soit

g0(x) = 11_]−∞,a0[ lim

C’est une fonction croissante born´ee continue `a droite telle que Z

Soitν la mesure de Lebesgue-Stieljes d´efinie parg0, c’est-`a-dire la mesure bor´elienne surRtel que pour tout−∞< a < b <+∞,ν(]a, b]) =g0(b)−g0(a). Alors pour toutr∈R,

g0(x) = Z

11_]−∞,x]dν+ lim

y→−∞g(y).

D’apr`es le th´eor`eme de Fubini, Z

Proposition 4.2.15 Soit E un espace vectoriel de rang 0 < n < +∞ sur K, muni d’une filtration s´epar´ee et exhaustive F. Si e = (e1,· · · , en)^T est une base de E, alors il existe une matrice triangulaire A∈ Mn×n(K)avec diag(A) = (1,· · · ,1) telle queAesoit une base maximale deE.

D´emonstration. On raisonne par r´ecurrence sur le rang ndeE. Sin= 1, alors E_r=

(E, r≤λ(e₁), 0, r > λ(e1).

Donc on a

card(Er∩ {e1}) = rgEr. Autrement dit,eest d´ej`a une base maximale.

Traitons le cas o`un >1. SoitF l’espace quotientE/Ken, muni de la filtration image directe forte. Alorsee= ([e1],· · · ,[e<sub>n−1</sub>])<sup>T</sup> est une base deF, o`u [ei] est l’image canonique deei dans F (1≤i≤n−1). D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence on sait qu’il existeAe∈M(n−1)×(n−1)(K) avec diag(A) = (1,e · · ·,1) telle que

−

→α = (α1,· · · , αn) :=Aeee soit maximale.

Soitπ:E→F l’application canonique. Pour tout 1≤i≤n−1, choisissonse⁰_i∈E tel que λ(e⁰_i) = max

x∈π⁻¹(α_i)λ(x).

Cela est toujours possible car la fonction λne prend qu’un nombre fini de valeurs. Soit e⁰ = (e⁰₁,· · ·, e⁰_n−1, e_n)^T. On remarque quee⁰ s’´ecrit sous la forme Ae, o`u

A=

Ae ∗ 0 1

est une matrice triangulaire. Comme−→α est une base maximale, on a card(Fr∩ −→α) = rgFr

pour toutr∈R. D’autre part,e⁰_i∈Er impliqueαi=π(e⁰_i)∈Fr. D’o`u card(e⁰∩Er)≥

(rgF_r≥rgπ(E_r) = rgE_r, e_n6∈E_r, rgFr+ 1≥rgπ(Er) + 1 = rgEr, en∈Er. Donc on a toujours

card(Er∩e⁰) = rgEr,

i.e.,e⁰ est une base maximale. 2

Remarque 4.2.16 On peut aussi d´emontrer la proposition 4.2.15 de la mani`ere suivante : L’ensemble des drapeaux complets X de E est muni d’une action transitive de GLn(K) et s’identifie `a l’espace homog`ene GL<sub>n</sub>(K)/B, o`u B est le sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieurement (cf. [20]). La proposition r´esulte donc de la d´ecomposition de Bruhat³ d’une matrice inversible qui peut ˆetre consid´er´ee comme une version intrins`eque de l’´elimination gaussienne (cf. [16] chap II,§10, n^◦13).

3SiAest une matrice carr´ee inversible, alorsApeut ˆetre d´ecompos´ee en produit de trois matrices carr´ee A=P LU, o`uP est une matrice de permutation,Lest une matrice triangulaire inf´erieure etUest une matrice triangulaire sup´erieure.

Corollaire 4.2.17 Avec les notations de la proposition 4.2.15, il existe toujours une base maximale deE.

D´efinition 4.2.18 SoitEun espace vectoriel de rang fini surK, muni d’une filtration s´epar´ee et exhaustiveF. SiE6= 0, on appellemesure(de probabilit´e) associ´ee `a F pourE et on note µ<sub>F,E</sub> (ou simplement µ<sub>E</sub> s’il n’y a aucune ambigu¨ıt´e) la mesure de probabilit´e µ<sub>F,e</sub> sur R, o`u e est une base maximale quelconque deE. Si E est l’espace nul, alors µ_E est d´efinie par convention comme la mesure nulle. La proposition 4.2.14 montre que la mesureµ_F,E ne d´epend pas du choix de la base maximalee.

Remarque 4.2.19 SoitEun espace vectoriel de rang fini surK. La donn´ee d’uneR-filtration continue `a gaucheF surE est la mˆeme chose que la donn´ee d’un drapeau

E⁽⁰⁾(E⁽²⁾(· · ·(E⁽ⁿ⁾

et une suite strictement d´ecroissante (a_i)_1≤i≤n de nombres r´eels qui d´ecrit le lieu de sauts. On a

FrE=







E⁽⁰⁾, sir∈]a1,+∞[,

E⁽ⁱ⁾ sir∈]ai+1, ai], 1≤i < n, E⁽ⁿ⁾, sir∈]− ∞, an].

La filtrationF est s´epar´ee (resp. exhaustive) si et seulement siE⁽⁰⁾ ={0} (resp.E⁽ⁿ⁾=E).

LorsqueF est s´epar´ee et exhaustive, la mesure associ´ee `aF pourE est ´egale `a

n

X

i=1

rgE⁽ⁱ⁾−rgE⁽ⁱ⁻¹⁾ rgE δ_ai.

Remarque 4.2.20 SoitE un espace vectoriel de rang fini et non-nul surK, muni d’une R -filtration s´epar´ee, exhaustive et continue `a gaucheF. Pour toutx∈R, on a l’´egalit´e

1−rgEx

rgE =µ_E(]− ∞, x[).

La fonction de r´epartition de la distributionµE est donc F(x) = lim

y→x+1−rgE_y rgE . Proposition 4.2.21 Soit

0 //E^{0 ϕ} //E ^ψ //E⁰⁰ //0

une suite exacte courte d’espaces vectoriels de rang finie munis des R-filtrations continues `a gauche. On suppose v´erifi´ees les conditions suivantes :

i) l’espace E est non-nul et la filtration de E est s´epar´ee et exhaustive ; ii) la filtration deE⁰ est l’image r´eciproque par ϕde celle deE; iii) la filtration deE⁰⁰ est l’image directe forte parψ de celle deE.

Alors

1) les filtrations surE⁰ et surE⁰⁰ sont s´epar´ees et exhaustives ;

2) µE= 1 rgE

rgE⁰µE⁰+ rgE⁰⁰µE⁰⁰

.

D´emonstration. 1) SiGest un espace vectoriel de rang fini muni d’uneR-filtration, la filtration de Gest s´epar´ee et exhaustive si et seulement si la fonctionλ:G\ {0} →R∪ {±∞} prend valeurs dans un intervalle born´e deR(voir la proposition 4.2.3 4) et la proposition 4.2.4). Ceci

´

etant, d’apr`es la proposition 4.2.8, si la filtration deE est s´epar´ee et exhaustive, alors il en est de mˆeme des filtrations deE⁰ etE⁰⁰.

2) Soite⁰ = (e⁰_i)_1≤i≤n (resp.e⁰⁰= (e⁰⁰_j)_1≤j≤m) une base maximale deE⁰ (resp.E⁰⁰). Soit e= (ϕ(e⁰₁),· · ·, ϕ(e⁰_n), e_n+1,· · ·, e_n+m)

une base deEtelle que⁴pour tout 1≤j≤m,ψ(en+j) =e⁰⁰_j etλ(en+j) =λ(e⁰⁰_j). Par d´efinition on sait que

µe= 1 rgE

rgE⁰µe⁰+ rgE⁰⁰µe⁰⁰

. Il suffit donc de v´erifier que eest une base maximale.

Soitrun nombre r´eel. D’abord on a

card({ϕ(e⁰₁),· · ·ϕ(e⁰_n)} ∩E_r) = card(e⁰∩E_r⁰) = rgE_r⁰. (4.2) D’autre part, sien+j∈Er, alorsλ(e⁰⁰_j) =λ(en+j)≥r, donce⁰⁰_j ∈E_r⁰⁰. Par cons´equent

card({en+1,· · · , en+m} ∩Er)≥card(e⁰⁰∩E_r⁰⁰) = rg(E⁰⁰_r)≥rg(ψ(Er)). (4.3) La somme des in´egalit´es (4.2) et (4.3) donne

card(e∩Er)≥rg(E_r⁰) + rg(ψ(Er)) = rgEr,

donceest bien une base maximale. 2

Esp´erance, variance et corr´elation

Soit V un espace vectoriel de rang fini et non-nul surK. Si F est une filtration s´epar´ee, exhaustive et continue `a gauche sur V, alors elle d´etermine une probabilit´e de Radon sur R. On d´esigne parE[F] (resp. var(F)) l’int´egrale

E[F] = Z

R

xdµ_F,V (resp.

Z

R

x−E[F]²

)dµ_F,V, (4.4)

appel´ee l’esp´erance (resp. lavariance) deF.

SoitF= (F⁽ⁱ⁾)1≤i≤n une famille de filtrations s´epar´ees, exhaustives et continues `a gauche surV. On consid`ere la fonctionGsurRⁿ suivante :

G(x₁,· · ·, x_n) = 1−rg(Fx⁽¹⁾₁ V ∩ · · · ∩ Fx⁽ⁿ⁾_n V)

rgV .

La fonctionGd´etermine⁵une mesure de probabilit´eµ_F,V surRⁿtelle que pour toutes familles de nombres r´eels (a⁽⁰⁾_i )_1≤i≤n et (a⁽¹⁾_i )_1≤i≤n telles quea⁽⁰⁾_i ≥a⁽¹⁾_i pour tout 1≤i≤n, on ait

µ_F,V(]a⁽¹⁾₁ , a⁽⁰⁾₁ ]× · · · ×]a⁽¹⁾_n , a⁽⁰⁾_n ]) = X

α:Ξ→{0,1}

(−1)^|α|G(a^α(1)₁ ,· · ·, a^α(n)_n ),

4Cela est toujours possible grˆace `a la proposition 4.2.3 4) et la proposition 4.2.9 2)

5Voir le th´eor`eme 2.25 de [60] pour une d´emonstration. Il faut faire attention que la fonction G ici est continue `a gauche pour chaque variablexi.

o`u Ξ = {1,· · ·, n}. Si on d´esigne parπi :Rⁿ → Rles n projections, alors on a π_i∗(µ_F,V) = µ_Fi,V, autrement dit,µ_Fi,V sont les distributions marginales deµ_F,V. Toutefois, la mesureµ_F,V

est un invariant plus fin de la familleF= (F⁽ⁱ⁾)1≤i≤n que la famille de mesures (µ_F(i),V)1≤i≤n

qui d´ecrit les “correlations” entre ces filtrations.

Si on consid`ere la situation de deux filtrations s´epar´es, exhaustives et continues `a gauche F etG surV, il est naturel de d´efinir leurcovariancecomme

cov(F,G) = Z

R²

x−E[F]

y−E[G]

dµ_(F,G),V. (4.5)

On d´efinit leproduit scalaire(cf. [86]§6) deF et de Gle nombre hF,Gi:=

Z

R²

xydµ_(F,G),V. (4.6)

On a la relation cov(F,G) =hF,Gi −E[F]E[G].

Dans le document TH`ESE DE DOCTORAT (Page 120-126)