vectoriels et alg´ ebrisation II : cas arithm´ etique
4.4 Quelques exemples de cat´ egories de Harder-Narasimhan ordinaires ou arithm´ etiques
4.4.1 Exemples de cat´ egories de Harder-Narasimhan
La cat´egorie des faisceaux localement libres sur une courbe non-singuli`ere
Soient k un corps, C une courbe projective non-singuli`ere sur k, η le point g´en´erique de C etK le corps des fonctions m´eromorphes surC. On d´esigne parCoh(C) (resp. Vec(C)) la cat´egorie desOC-modules coh´erents (resp. localement libres de rang fini). La cat´egorieCoh(C) est ab´elienne. D’apr`es [76], on sait queVec(C) est une sous-cat´egorie exacte deCoh(C). Dans la section 1.3 on a associ´e `a chaque OC-module localement libre de rang fini E deux entiers deg(E) et rg(E). La proposition 1.3.2 1) montre que, si on d´esigne par E la classe des suites exactes dans Vec(C), alors deg et rg induisent des homomorphisme de K0(Vec(C),E) vers Z. D’autre part, pour tout OC-module localement libre E, rgE ≥ 0. La proposition 1.3.6 implique que l’axiom (HN1) est v´erifi´e. Enfin, si E et F sont deux OC-modules localement libres semi-stables et siϕ:E →F est un homomorphisme, alors l’imageG deϕdans F est unOC-module localement libre, et
µ(E) =µmin(E)≤µ(G)≤µmax(F) =µ(F).
Donc l’axiome (HN2) est aussi v´erifi´e. Par cons´equent, (Vec(C),E,deg,rg) est une cat´egorie de Harder-Narasimhan. Enfin on remarque que le foncteurE7→EK est un foncteur deVec(C) vers la cat´egorie des espaces vectoriels sur Kqui pr´eserve rg.
La cat´egorie des faisceaux sans torsion sur une vari´et´e polariz´ee
SoientX un sch´ema projectif et g´eom´etriquement normal sur le spectre d’un corps KetL unOX-module inversible ample. Soitdla dimension deX. On suppose qued≥1. On d´esigne parFST(X) la cat´egorie desOX-modules coh´erents sans torsion. Si
0 //E0 //E //E00 //0
est une suite exacte deOX-modules coh´erents et siE0 etE00sont sans torsion, alors il en est de mˆeme deE. Par cons´equent,FST(X) est une sous-cat´egorie exacte deCoh(X) — la cat´egorie ab´elienne desOX-modules coh´erents. SiE est un OX-module sans torsion, le degr´e de E est par d´efinition le nombre d’intersection degE :=c1(L)d−1c1(E). Si E est non-nul, on d´esigne parµ(E) le quotient degE/rgE. D’apr`es [69] (voir aussi [83]), si on d´esigne parE la classe des suites exactes
0 //E0 //E //E00 //0
dansCoh(X) telles queE0,EetE00sont tous sans torsion, alors (FST(X),E,deg,rg) est une cat´egorie de Harder-Narasimhan.
4.4.2 Exemples de cat´ egories de Harder-Narasimhan arithm´ etiques
La cat´egorie des fibr´es vectoriels hermitiens surSpecOK
Proposition 4.4.1 Soitϕ: E →F une application lin´eaire d’espaces vectoriels hermitiens.
Sikϕk ≤1, alors il existe une structure hermitienne surE⊕F telle que dans la d´ecomposition E (Id,ϕ)//E⊕F pr2 //F deϕ,(Id, ϕ) soit une inclusion8 et pr2 soit une projection orthogo-nale.
D´emonstration. Comme kϕk ≤ 1, on obtient kϕ∗k ≤ 1. Par cons´equent, on a kϕ∗ϕk ≤ 1 et kϕϕ∗k ≤1. Donc IdE−ϕ∗ϕet IdF−ϕϕ∗ sont des matrices hermitiennes `a valeurs propres positives. Par cons´equent, il existe deux endomorphismes hermitiens `a valeurs propres positives P et QdeE etF respectivement tels queP2= IdE−ϕ∗ϕetQ2= IdF−ϕϕ∗.
Si x est un vecteur propre de ϕϕ∗ de valeur propre λ, alors ϕ∗x est un vecteur propre deϕ∗ϕde mˆeme valeur propre. Par cons´equent, ϕ∗Qx=√
1−λϕ∗x=P ϕ∗x. Comme F est engendr´e par les vecteurs propres de ϕϕ∗, on a ϕ∗Q = P ϕ∗. D’apr`es la mˆeme raison on a Qϕ=ϕP. SoitR=
P ϕ∗ ϕ −Q
. AlorsRest hermitienne, et
R2=
P2+ϕ∗ϕ P ϕ∗−ϕ∗Q ϕP −Qϕ ϕϕ∗+Q2
= IdE⊕F.
Par cons´equent,R est une isom´etrie. Soiti:E→E⊕F l’application d’inclusion qui envoiex en
x 0
. Le diagramme
E ϕ //
i
F
E⊕F
R //E⊕F
pr2
OO
8`a savoir, l’image r´eciproque de la structure hermitienne surE⊕F par (Id, ϕ) et la structure hermitienne surEco¨ıncident.
est commutatif. Comme ϕ∗ϕ est auto-adjointe, il existe une base orthonorm´ee (xi)1≤i≤n de
o`uh·,·iest le produit hermitien la somme directe orthogonale. Alors pour tout (u, v)∈E×E, hτ(u), τ(v)i0=hSRi(u), SRi(v)i0=hRi(u), Ri(v)i=hi(u), i(v)i=hu, vi.
Enfin, le noyau de pr2 est stable par S, donc les images directes de h·,·i0 et de h·,·ipar pr2
sont les mˆemes. 2
SoitKun corps de nombres. On d´esigne parVec(OK) la cat´egorie desOK-module locale-ment libre de rang fini. Si on d´esigne parE la classe des suites exactes courtes deOK-modules dansVec(OK), alors (Vec(OK),E) est une cat´egorie exacte. Pour toutOK-module localement libre de rang fini E, on d´esigne parA(E) l’ensemble des m´etriques hermitiennes surE(C). Si i :F →E est un sous-OX-module satur´e de E on a une application i∗ : A(E)→ A(F) qui envoie une m´etrique hermitiennehsur E(C) vers la restriction dehsur F(C). Siπ:E →G est un homomorphisme surjectif de OK-modules localement libres, on a une application π∗ : A(E)→A(G) qui envoie une m´etrique hermitienne hsurE(C) vers la m´etrique quotient de h sur G(C). Le triplet (Vec(OK),E, A) satisfait aux axiomes dans la d´efinition 4.3.23, donc est une cat´egorie exacte arithm´etique. Les objets arithm´etiques dans cette cat´egorie exacte arithm´etique sont les fibr´es vectoriels hermitiens sur SpecOK.
Soient E et F deux fibr´es vectoriels hermitiens. Siϕ: E →F est un homomorphisme de OK-module compatible aux structures arithm´etiques, alors pour tout plongement σ:K→C on akϕkσ ≤1. R´eciproquement soitϕ: E→ F un homomorphisme deOK-modules tel que pour tout plongement σ : K → C on ait kϕkσ ≤ 1. Soient j = (Id, ϕ) : E → E⊕F et π : E⊕F → F la deuxi`eme projection. D’apr`es la proposition 4.4.1, pour tout plongement σ:K →C, il existe un produit scalaire hermitien sur (E⊕F)σ tel que jσ :Eσ →(E⊕F)σ
soit un sous-espace hermitien et tel queπσ : (E⊕F)σ→Fσsoit un quotient hermitien. Cette construction est stable par la conjugaison complexe car les m´etriques hermitiennes surE(C) et sur F(C) le sont. On a donc trouv´e une m´etrique hermitienneh sur (E⊕F)(C) telle que
(E⊕F, h) soit un fibr´e vectoriel hermitien sur SpecOK de telle sorte que j :E →(E⊕F, h) soit un sous-fibr´e vectoriel hermtien et queπ: (E⊕F, h)→F soit un fibr´e vectoriel hermitien quotient. Par cons´equent, ϕest compatible aux structures arithm´etiques.
SiEetFsont deux fibr´es vectoriels hermtiens sur SpecOK,ϕ:E→F un homomorphisme non-nul compatible aux structures arithm´etiques. D’apr`es l’in´egalit´e de pentes, on a
µbmin(E)≤µbmax(F) + 1 [K:Q]
X
p∈Σf
logkϕkp+ 1 [K:Q]
X
σ∈Σ∞
logkϕkσ≤µbmax(F).
En particulier, siE et F sont semi-stables et si µ(E)b >bµ(F), il n’y a pas d’homomorphisme non-nul deEversF qui soit compatible aux structures arithm´etiques. Ainsi on a construit une cat´egorie de Harder-Narasimhan arithm´etique (Vec(OK),E, A,ddeg,rg). D’autre part, on a un foncteur deVec(OK) vers la cat´egorie des espace vectoriel de rang fini surKqui envoie E en EK. De plus, ce foncteur pr´eserve la fonction de rang.
Si E est un fibr´e vectoriel hermitien sur SpecOK, on sait d´efinir le polygone de Harder-Narasimhan deE (cf. le sous-paragraphe 4.3.3).
Soient E et F deux fibr´es vectoriels hermitiens sur SpecOK,ϕ:EK →FK un homomor-phisme non-nul d’espaces vectoriels surK. On rappelle que la hauteur deϕest par d´efinition la valeur
h(ϕ) = 1 [K:Q]
X
p∈Σf
logkϕkp+ 1 [K:Q]
X
σ∈Σ∞
logkϕkσ.
Le lemme du produit montre que, si a∈ K est un ´el´ement non-nul, alors h(ϕ) =h(aϕ). En fait, il existe un ´el´ement non-nul a∈ OK tel queaϕadmette un rel`evement Φ :E →F. Soit (Eλ)λ∈R (resp. (Fλ)λ∈R) la filtration de Harder-Narasimhan de E (resp.F). Soit Eλ0 l’image de Eλ dans F par Φ. D’apr`es l’in´egalit´e de pentes on a µbmin(Eλ) ≤ bµmin(E0λ) +h(ϕ). Par cons´equent, on a µbmin(Eλ0) ≥λ−h(ϕ), et donc la restriction de ϕsur Eλ,K se factorise par Fλ−h(ϕ),K.