Structure hermitienne sur un fibr´ e vectoriel holomorphe

Les r´ef´erences sont [26] et [89].

On appelle fibr´e vectoriel holomorphe sur (X,O^an_X) tout O_X^an-module localement libre de rang fini. On appelle fibr´e inversible holomorphe sur (X,O^an_X) tout O_X^an-module localement libre de rang 1.

Soient X une vari´et´e analytique compacte etE un fibr´e vectoriel holomorphe sur X. On appellestructure hermitienne(oum´etrique hermitienne) surEtout homomorphisme ponctuel³ de faisceaux d’ensembles sous-jacentsh: (O^diff_X,

C⊗E)×(O^diff_X,

C⊗E)→ O^diff_X,

C de telle sorte que pour tout x ∈ X, l’homomorphisme induit hx : Ex×Ex → C soit un produit hermitien.

Lorsquehen est ainsi, on dit que le coupleE = (E, h) est unfibr´e vectoriel hermitien surX.

Les constructions alg´ebriques sur les produits hermitiens introduits dans le sous-paragraphe pr´ec´edent se g´en´eralisent naturellement aux structures hermitiennes. On peut donc construire par exemple la somme directe ou le produit tensoriel de fibr´es vectoriels hermitiens etc.

On appelle mesure de Lebesgue toute mesure bor´elienne λ sur X telle que, pour toute carte localeV deX, la mesure induite surV soit ´equivalente `a la mesure de Lebesgue, et sa d´eriv´ee de Radon-Nikodym par rapport `a la mesure de Lebesgue soit une fonction lisse. Grˆace

`

a la d´ecomposition de l’unit´e en somme localement finie de fonctions lisses on sait qu’il existe toujours une mesure de Lebesgue surX. De plus, siXest compacte, toute mesure de Lebesgue est de masse totale finie. On appellemesure de probabililt´e de LebesguesurX toute mesure de Lebesgue surX qui a pour masse totale 1.

SoientX une vari´et´e analytique compacte etEun fibr´e vectoriel holomorphe sur X. L’en-semble Γ(X, E) des sections holomorphes deEau-dessus deX est un espace de dimension finie surC. Si on choisit une structure hermitiennehsurE et une probabilit´e de Lebesgue surX, on obtient une famille de normes sur Γ(X, E), notamment :

1) pour tout 1≤p <+∞et toute sections∈Γ(X, E), kskh,λ,L^p=

Z

X

hsx, sxi

p 2

hdλ(x) _p¹

; 2) pour toute sections∈Γ(X, E),

kskh,sup= sup

x∈X

hsx, sxi_h¹² .

Cette derni`ere ne d´epend pas du choix de la probabilit´e de Lebesgueλ. D’autre part,k · kh,λ,L²

correspond `a un produit hermitien sur Γ(X, E). Par cons´equent, l’espace Γ(X, E), muni de ce produit hermitien, est un espace hermitien. Commeλest une mesure de probabilit´e, l’in´egalit´e de H¨older montre que pour tous les 1≤p < p⁰<+∞et toute sections∈Γ(X, E),

kskh,λ,L^p≤ ksk_h,λ,Lp0 ≤ kskh,sup.

Si aucune ambigu¨ıt´e ne se produit sur la structure hermitienne et sur la probabilit´e de Lebesgue, on notek · k_Lp(resp.k · k_sup) au lieu dek · k_h,λ,Lp (resp.k · k_h,sup) pour simplifier les notations.

On rappelle ici une in´egalit´e due `a Gromov qui compare la normek · ksup et la normek · k_L2

(cf. [38] lemma 30 ou [84] VIII.2.5 lemma 2)

3`a savoir, si (s, t) et (s⁰, t⁰) sont deux sections de (O^diff_X,

C⊗E)×(O^diff_X,

C⊗E) dont les restrictions sur la fibre au-dessus dexse co¨ıncident, alorsh(s, t)x =h(s⁰, t⁰)x sur la fibre (O^diff_X,

C)x∼=C. Attention : ici le mot “fibre surx” repr´esente l’image r´eciproque par l’application d’inclusion ({x},C)→(X,O^diff_X,C).

Th´eor`eme 1.6.6 (Gromov) SoientX une vari´et´e analytique complexe compacte,E un fibr´e vectoriel hermitien sur X, L un fibr´e inversible hermitien surX, et λ une probabilit´e de Le-besgue sur X. Alors il existe une constante postive C > 0 qui d´epend de X,λ, E et L telle que, pour tout entierD >0 et toute sections∈Γ(X, E⊗L^⊗D), on ait

ksksup≤CD^dksk_L2, o`udest la dimension complexe deX.

D´emonstration. CommeX est compacte, elle n’a qu’un nombre fini de composantes connexes (X_i)_1≤i≤r. De plus, on a

Γ(X, E⊗L^⊗D) =

r

M

i=1

Γ(Xi, E⊗L^⊗D),

et c’est une somme directe orthogonale par rapport `a la normeL<sup>2</sup>. On est ramen´e donc au cas o`u X est connexe. Toutes les cartes deX ont donc pour dimension complexed.

Soit (U_α)_α∈I un recouvrement fini⁴ deX par les ouverts non-vides satisfaisant aux condi-tions suivantes :

1) pour toutα∈I il existe une application biholomorpheϕα deUαvers la boule B3={z∈C^d| |z|<3}

deC^d,

2) pour toutα∈I les restrictions deE et deLsurU_αsont libres.

3) si on d´esigne par

B₁={z∈B| |z|<1} ⊂B₃ la boule unit´e ouverte, les ouvertsϕ⁻¹_α (B1) recouvrentX.

Pour toutα∈Ion d´esigne pargα la d´eriv´ee de Radon-Nikodym gα=dϕα∗(λ|U_α)

dη ,

o`u η est la mesure de Lebesgue sur B3. C’est une fonction lisse sur B3. D’autre part, si on d´esigne parEα(resp.Lα) le fibr´e vectoriel surB3l’image direct de E|U_α (resp.L|U_α) parϕα, alors la structure hermitienne deE (resp.L) induit (par ϕα) une structure hermitienne h, i surEα (resp.Lα). Sisest une section de E⊗L^⊗D au-dessusX, alors

ksk²_L2 = Z

X

ksxk²dλ(x)≥ Z

U_α

ksxkdλ(x) = Z

B₃

k(ϕα∗s|Uα)zkgα(z)dη(z).

CommeEα est libre surB3, en identifiant Eα `a (O_B^an

3)^⊕rgE par une trivialisation choisie on obtient une autre structure hermitienneh, i_αsurEα. Comme toutes les normes sur un espace vectoriel de rang fini sont ´equivalentes, il existe deux nombres positifsC1, C2>0 tels que pour toutz∈B2={z∈B | |z|<2} et toute section lisseudeO_B^diff

3,C⊗Eαau-dessus de B3, on ait C1kuzkα≤ kuzk ≤C2kuzkα.

4Cela est toujours possible carX est compacte.

D’autre part, en choisissant une trivialisation,Lαs’identifie `aO^an_B

3. On obtient donc une struc-ture hermitienneh, i_αsurLαvia la trivialisation. Il existe alors une fonction lisse strictement positivepsurB3 telle que pour toute sectionv deLαau-dessus deB3 et toutz∈B3

kv_zk=p(z)kv_zk_α. Si D ≥ 0 est un entier, alors Eα⊗L^⊗D_α = ϕ_α∗(E|U_α ⊗L|^⊗D_U

α) est isomorphe `a (O^an_B

3)^⊕rgE via le produit tensoriel des trivialisations deE et deL comme ci-dessus. On obtient donc une structure hermitienneh, i_αau-dessus qui provient de cette trivialisation produit tensoriel. En fait, pour toute section lisse t de Eα⊗L^⊗D_α au-dessus de B3 et tout point z ∈ B2, on a la comparaison suivante :

C1ktzkαp(z)^D≤ ktzk ≤C2ktzkαp(z)^D.

Soit (e1,· · · , er) une base de Γ(B3, Eα⊗L^⊗D_α ) correspondant `a la trivialisation. Si sest une section dans Γ(X, E⊗L^⊗D), alorsϕα∗(s|Uα) s’´ecrit sous la forme

ϕ_α∗(s|_Uα) =f₁e₁+· · ·+f_re_r,

o`u f1,· · · , frsont des fonctions holomorphes surB3. D’autre part, on a k(ϕ_α∗s|_Uα)_zk²_α=|f₁(z)|²+· · ·+|f_r(z)|².

Comme gα est une fonction continue et strictement positive sur B3, il existe une constante C3>0 telle quegα(z)≥C3 pour toutz∈B2. Commepest une fonction continue surB3, la fonction

T p: (z, w)7−→ p(w)²−p(z)²

|w−z|

est alors d´efinie et continue surB₃×B₃ priv´e le diagonale. De plus, commepest de typeC¹, T padmet un unique prolongement continu surB₃×B₃. Donc il existe une constanteC₄>0 telle que pour tout (z, w)∈B₂×B₂on ait

T p(z, w)≤C4.

D’autre part,pest strictement positive surB₃, donc il existeC₅∈]0, C4[ tel que p(w)² ≥C₅ pour toutw∈B₂. On a donc pour tout (z, w)∈B₂×B₂,

p(z)²≥p(w)²(1−C6|w−z|), o`u C6=C4/C5. Par cons´equent, on a pour toutw∈B1,

ksk²_L2 ≥ Z

|z−w|≤1

k(ϕα∗s|U_α)zk²gα(z)dη(z)

≥ Z

|z−w|≤1/C₆

C₁²k(ϕ_α∗s|_Uα)_zk²_αp(z)^2Dg_α(z)dη(z)

≥C₁C₃p(w)^2D Z

|z−w|≤1/C6

(1−C₆|z−w|)^D

r

X

i=1

|f_i(z)|²dη(z).

Comme fi est holomorphe sur B3, |fi|² est une fonction sous-harmonique. Par cons´equent, pour tout 0< a≤1, si on d´esigne parσla mesure de Lebesgue sur{z∈B3| |z−w|=a}, on a

Z

|z−w|=a

|fi(z)|²dσ(z)≥ 2dπ^da^2d−1

Γ(d+ 1) |fi(w)|²,

d’o`u

Dans ce sous-paragraphe on fixe une vari´et´e analytique complexe X. On suppose que X soit ´equidimensionnelle et de dimension complexen.

Connexions et courbures des fibr´es holomorphes

D´efinition 1.6.7 Si E est un fibr´e vectoriel holomorphe sur X, on appelle connexion sur E tout homomorphisme deC-modulesD:O^diff_X,C⊗E→Ω¹_X⊗Etel que

D(f s) =df⊗s+f Ds (1.13)

pour tout f ∈A⁰(U) et tout s∈A⁰(U, E). Comme Ω¹_X = Ω^1,0_X ⊕Ω^0,1_X , on d´esigne parD^1,0: O^diff_X,C⊗E→Ω^1,0_X ⊗E et D^0,1:O^diff_X,C⊗E→Ω^0,1_X ⊗E les deux projections deD.

Remarque 1.6.8 L’´egalit´e (1.13) implique deux “formules de Leibniz” pour D^1,0 et D^1,0, respectivement : pour toutf ∈A⁰(U) et touts∈A⁰(U, E),

D^1,0(f s) =∂f⊗s+f D^1,0(s), (1.14) D^0,1(f s) =∂f⊗s+f D^0,1(s). (1.15) Remarque 1.6.9 Soient E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X, D une connexion sur E, alorsDdefinit un op´erateurD: Ω^q_X,C⊗E−→Ω^q+1_X,C⊗E tel que, pour toutα∈A^q(U) et tout s∈A⁰(U, E), on aitD(α∧s) =dα∧s+ (−1)^qα∧Ds. De mˆeme, les op´erateursD^1,0 et D^0,1 se prolongent en des op´erateurs sur ΛΩX,C⊗E de bidegr´es (1,0) et (0,1) respectivement. On a encore la relationD=D^1,0+D^0,1 pour les opr´erateurs prolong´es. Enfin, les op´erateursD², (D^1,0)²et (D^0,1)² sont ΛΩX,C-lin´eaires.