Pente maximale asymptotique arithm´ etique et condi- condi-tions de positivit´e

kfk²_FS

pour tout f ∈ π_∗(SⁿE). La proposition 1.7.5 montre que, pour tout sous-OK-module F de π_∗(SⁿE),

µ(F,b k · k) =bµ(F,k · kFS)− 1 2[K:Q]log

n+r−1 n

. Par cons´equent, on a

µbmax(π∗(SⁿE),k · k) =bµmax(π∗(SⁿE),k · kFS)− 1 2[K:Q]log

n+r−1 n

. Par passage `a la limite on obtient

bµ^π_max(E) = lim

n→+∞

1

nµb_max(π_∗(SⁿE)).

2

3.2 Pente maximale asymptotique arithm´ etique et condi-tions de positivit´ e

Proposition 3.2.1 SoitLun fibr´e inversible hermitien sur X. 1) siµb^π_max(L)>0, alors µb^π_max(L^∨)<0;

2) siµb^π_max(L)<0 (resp.µb^π_max(L)≤0), alorsL n’a pas de section effective (resp. strictement effective) ;

3) siL est arithm´etiquement ample, alorsµb^π_max(L)>0.

D´emonstration. 1) Commeµb^π_max(O_X) = 0, on a

µb^π_max(L) +µb^π_max(L^∨)≤0.

Doncµb^π_max(L)>0 implique µb^π_max(L^∨)<0.

2) D’apr`es la remarque 1.7.22, L a une section effective (resp. strictement effective) si et seulement s’il existe un homomorphisme non-nul f : O_X → L tel que max

σ∈Σ∞

kf_Kk_σ,sup ≤ 1 (resp. max

σ∈Σ∞

kfKkσ,sup<1). D’apr`es la proposition 3.1.11 4), on obtient queµb^π_max(L)≥0 (resp.

µb^π_max(L)>0).

3) Soit M un fibr´e inversible hermitien sur SpecO_K tel que deg(Md ) >0. Comme L est arithm´etiquement ample, il existe n≥1 tel que π^∗(M^∨)⊗L^⊗n ait une section effectif. Cela implique que

µb^π_max(π^∗(M^∨)⊗L^⊗n) =nµb^π_max(L)−ddeg(M)≥0.

Doncbµ^π_max(L)>0. 2

Lemme 3.2.2 SoientL un fibr´e inversible hermitien sur X qui est arithm´etiquement ample etL un fibr´e inversible hermitien quelconque surX. Pour toutε >0, il existe un entiern≥1 et un homomorphisme injectif ϕ:L→L^⊗n tel que max

σ∈Σ∞

kϕKkσ,sup< ε.

D´emonstration. On d´emontre d’abord le cas o`u L=O<sub>X</sub>. CommeL est arithm´etiquement ample, il existe un entier m ≥ 1 tel que L<sup>⊗m</sup> a une section strictement effective. Soit ψ : O<sub>X</sub> → L<sup>⊗m</sup> l’homomorphisme correspondant `a la section. D’apr`es la remarque 1.7.22,

σ∈Σmax∞

kψKkσ,sup <1. Par cons´equent, il existe un entier p≥1 tel que max

σ∈Σ∞

kψ_K^⊗pkσ,sup < ε.

Autrement dit,ϕ=ψ^⊗p :O_X →L^⊗mp v´erifie la condition. Pour le cas g´en´eral, comme L est ample, il existe un entierq≥1 et un homomorphisme injectifη deLversL^⊗q. Soit α=

σ∈Σmax∞

kηKkσ,sup. Soientφ:O_X →L^⊗run homomorphisme injectif tel que max

σ∈Σ∞

kφKkσ,sup<

ε/αetϕ=η⊗φ. On a pour toutσ∈Σ_∞,kϕKkσ,sup≤ kηkσ,supkφkσ,sup< ε. 2

Lemme 3.2.3 Soient L un fibr´e inversible hermitien arithm´etiquement ample sur X et E un fibr´e vectoriel hermitien sur X. Pour tout nombreε >0 il existe deux entiersm, n≥1 et un homomorphisme injectifϕ:E→(L^⊗n)^⊕m tel que max

σ∈Σ∞

kϕ_Kk_σ,sup< ε.

D´emonstration. CommeL est arithm´etiquement ample, il existe deux entiersp, m≥1 et un homomorphisme injectifψ:E→(L^⊗p)^⊕m. Soientα= max

σ∈Σ∞

kψKkσ,supetη :O_X →L^⊗q un homomorphisme injectif tels que max

σ∈Σ∞

kηKkσ,sup< ε/α, et queϕ=ψ⊗η:E→(L^⊗(p+q))^⊕m.

On a pour toutσ∈Σ_∞,kϕKkσ,sup< ε. 2

Remarque 3.2.4 Si on combine le lemme 3.2.3 et le lemme 3.1.2, on obtient que, pour tout fibr´e inversible hermitien Lsur X et tout fibr´e vectorielE surX, il existe une constante C telle que, pour tout entierD≥1, on aitbµ_max(π_∗(E⊗L^⊗D))≤CD. C’est un analogue de la proposition 2.2.5.

D´efinition 3.2.5 Soit E un fibr´e inversible hermitien sur X. On dit que E est faiblement positifsi pour tout fibr´e inversible hermitienLsurX, il existeλ >0 tel que, pour tout entier D > λet tout entier n > λD, on aitε(π_∗(E^∨⊗n⊗L^⊗D))>1, o`u ε est la plus petite norme d’un vecteur non-nul (cf. d´efinition 1.7.14).

Proposition 3.2.6 SoitE un fibr´e inversible hermitien surX. Les conditions suivantes sont

´equivalentes :

1) pour tout fibr´e inversible hermitien L et tout fibr´e vectoriel hermitien F sur X, il existe λ >0 tel que, pour tout entierD > λet tout entier n > λD, on ait

ε(π_∗(E^∨⊗n⊗L^⊗D⊗F))>1;

2) E est faiblement positif ;

3) il existe un fibr´e inversible hermitienL arithm´etiquement ample surX, un nombreλ >0 tel que, pour tout entierD > λ et tout entier n > λD, on ait

ε(π_∗(E^∨⊗n⊗L^⊗D))>1.

D´emonstration. “1)=⇒2)=⇒3)” sont triviaux.

“3)=⇒1)” : D’apr`es les lemmes 3.2.2 et 3.2.3, il existe trois entiersp, q, r≥1 ainsi que deux homomorphismes injectifsϕ:F →(L^⊗p)^⊕r et ψ:L→L^⊗q tels que max

σ∈Σ∞

kϕKkσ,sup <1 et max

σ∈Σ∞

kψKkσ,sup<1. Pour tout entierD≥1 on a un homomorphisme injectifφ_D=ψ^⊗D⊗ϕ deL^⊗D⊗F vers (L^⊗(Dq+p))^⊕r tel que max

σ∈Σ∞

kφD,Kkσ,sup <1. D’apr`es 3) il existeλ >0 tel que, pour tout entierD > λet tout entiern > λD, on aitε(π∗(E^∨⊗n⊗L^⊗(Dq+p)))>1. Par cons´equent, on aε(π_∗(E^∨⊗n⊗L^⊗(Dq+p))^⊕r)>1. Comme max

σ∈Σ∞

kφD,Kkσ,sup<1, on sait que

ε(π_∗(E^∨⊗n⊗L^⊗D⊗F))>1. 2

Th´eor`eme 3.2.7 SoitL un O_X-module inversible hermitien. Siµb^π_max(L^∨)< 0, alors L est faiblement positif. La r´eciproque est vraie lorsque L^∨_K est ample.

D´emonstration. “N´ecessit´e” : Commeµb^π_max(L^∨)<0, il existe une constanteε >0 et un fibr´e inversible hermitienL surX qui est arithm´etiquement ample tels queAm(L^∨,L)≤ −εpour tout entier m suffisamment grand. En remplacant L par une puissance convenable on peut supposer queµb^π_max(L^∨⊗L)≤µb^π_max(L)−ε. Soitλ > ε⁻¹bµ^π_max(L) une constante. Pour tout entierD≥1 et tout entiern≥λD, on a d’apr`es la proposition 3.1.11,

(n−D)µb^π_max(L) +bµ^π_max(L^∨⊗n⊗L^⊗D)≤µb^π_max((L^∨⊗L)^⊗n)≤n(µb^π_max(L)−ε).

Par cons´equent,

bµ^π_max(L^⊗n⊗L^⊗D)≤Dµb^π_max(L)−nε <0.

DoncL^∨⊗n⊗L^⊗D n’a pas de section effective.

“Suffisance” : Soit M un fibr´e inversible hermitien sur SpecOK tel que ddeg(M) > 0. Il existe une constanteλ >0 tel que, pour tout entierD > λ et tout entiern > λD, on ait

ε(π_∗(L^∨⊗n)⊗π^∗(M^⊗D))>1, µbmax(π_∗(L^∨⊗n⊗π^∗(M^⊗D))) =µbmax(π_∗(L^∨⊗n))+Ddeg(Md )≤1

2log(rg_Z(π_∗(L^∨⊗n)))+log|∆K| 2[K:Q]. Soit (Dn)_n≥1une suite telle que

i) Dn> λ pour tout entiern≥1 ; ii) Dn< n/λpournsuffisamment grand ; iii) lim

n→+∞

n Dn

=λ.

On a 1

nµbmax(π_∗(L^∨⊗n)) +Dn

n ddeg(M)≤ 1

2nlog(rg_Z(π_∗(L^∨⊗n))) + log|∆K| 2n[K:Q]. Par passage `a la limite on obtient

µb^π_max(L^∨)≤ −λ⁻¹ddeg(M)<0.

2 Remarque 3.2.8 Si on utilise la conventionε(0) = +∞etµbmax(0) =−∞, alors les r´esultats de 3.1.1 `a 3.1.3 sont encore valables pour un fibr´e inversible hermitien L quelconque. On en d´eduit donc l’existence d’une limite dans [−∞,+∞[ de la suite (<sub>n</sub><sup>1</sup>µbmax(π∗(L<sup>⊗n</sup>)))n≥1. Lorsque LK n’est pas ample, on sait seulement que cette limite est inf´erieure ou ´egale `a µb^π_max(L). De plus, la partie “suffisance” de la d´emonstration du th´eor`eme 3.2.7 montre aussitˆot que la positivit´e faible deL^∨implique la n´egativit´e de cette limite.

Proposition 3.2.9 SoientL et L deux fibr´es inversibles hermitiens surX. Si L est faible-ment positif, alors il existe deux nombres r´eelsa, λ⁰ >0 tels que, pour tout entier D > λ⁰ et tout entiern > λ⁰D, on ait ε(π_∗(L^∨⊗n⊗L^⊗D))≥e^an.

D´emonstration. D’apr`es le lemme 3.2.2 il suffit de d´emontrer la proposition pour le cas o`uL et L⊗L admettent au moins une section effective. SoitM un fibr´e inversible hermitien sur SpecOK tel que deg(Md )>0. Comme L est faiblement positif, il existe λ >0 tel que, pour tout entierD > λ et tout entiern > λD, on ait

ε(π_∗(L^∨⊗n⊗L^⊗D⊗π^∗(M)^⊗D))>1.

On fixe maitenant deux entiersD₀> λet n₀> λD₀. Pour tout entiern >0 on observe que ε(π_∗(L^∨⊗nn0⊗L^⊗nD0⊗π^∗(M)^⊗nD0))>1.

On en d´eduit

µbmax(π_∗(L^∨⊗nn0⊗L^⊗nD0))

=bµmax(π_∗(L^∨⊗nn0⊗L^⊗nD0⊗π^∗(M)^⊗nD0))−nD0ddeg(M)

≤ −nD0deg(Md ) +1

2log(rg_Z(π∗(L^∨⊗nn0⊗L^⊗nD0))) + log|∆K| 2[K:Q]. Par passage `a la limite on obtient

n→+∞lim 1

nbµmax(π∗(L^∨nn0⊗L^⊗nD0)) =− lim

n→+∞

1

nlogε(π∗(L^∨nn0⊗L^⊗nD0))≤ −D0ddeg(M).

Par cons´equent, il existe un nombre r´eela >0 et un entiern₁≥1 tels que ε(π_∗(L^∨nn0⊗L^⊗nD0))≥e^an

pour toutn≥n₁. CommeL a une section effective, et comme il existe un homomorphismeφ deL^∨ versL tel que max

σ∈Σ∞

kφKkσ,sup≤1, on obtient

ε(π∗(L^{∨⊗(nn0+l)}⊗L^⊗D))≥e^an

pour tout entierD₀≤D≤nD₀et tout entier 0≤l≤nD₀−D. On note λ0= max

n0,n0n1

D₀ , n²₀ D²₀ +2n0

D₀

Pour tout entier D ≥ D0 et tout entier m > λ0D, on a ε(π∗(L^∨⊗m⊗L^⊗D))≥ e^am/(n0+1) puisque dans ce cas-l`a, il existe deux entiersn≥n1 et 0≤l < nD0−Dtels quem=nn0+l.

2

D´efinition 3.2.10 SoitE un fibr´e vectoriel hermitien sur X. On dit que E est faiblement positifsi pour tout fibr´e inversible hermitienLsurX, il existe deux nombres r´eelsa, λ >0 tel que, pour tout entierD > λet tout entiern≥λD, on aitε(π_∗(SⁿE^∨⊗L^⊗D))> e^an.

Proposition 3.2.11 SoitEun fibr´e vectoriel hermitien surX. Les conditions suivantes sont

´

equivalentes :

1) pour tout fibr´e inversible hermitien L et tout fibr´e vectoriel hermitien F sur X il existe deux nombres r´eelsa, λ >0 tel que, pour tout entierD > λ et tout entier n≥λD, on ait

ε(π_∗(SⁿE^∨⊗L^⊗D⊗F))> e^an; 2) E est faiblement positif ;

3) il existe un fibr´e inversible hermitien L arithm´etiquement ample sur X, deux nombres a, λ >0 tels que, pour tout entierD > λ et tout entier n≥λD, on ait

ε(π_∗(SⁿE^∨⊗L^⊗D))> e^an. D´emonstration. “1)=⇒2)=⇒3)” sont triviaux.

“3)=⇒1)” : D’apr`es les lemmes 3.2.2 et 3.2.3, il existe trois entiersp, q, r≥1 ainsi que deux homomorphismes injectifsϕ:F →(L^⊗p)^⊕r et ψ:L→L^⊗q tels que max

σ∈Σ∞

kϕKkσ,sup <1 et

σ∈Σmax∞

kψKkσ,sup<1. Pour tout entierD≥1 on a un homomorphisme injectifφD=ψ^⊗D⊗ϕ deL^⊗D⊗F vers (L^⊗(Dq+p))^⊕rtel que max

σ∈Σ∞

kφD,Kkσ,sup<1. D’apr`es 3) il existea, λ >0 tels que, pour tout entierD > λ et tout entiern > λD, on aitε(π_∗(SⁿE^∨⊗L^⊗(Dq+p)))> e^an. Par cons´equent, on a ε(π∗(SⁿE^∨⊗L^⊗(Dq+p))^⊕r)> e^an. Comme max

σ∈Σ∞

kφD,Kkσ,sup <1, on

sait queε(π_∗(SⁿE^∨⊗L^⊗D⊗F))> e^an. 2

Lemme 3.2.12 Soitp:Y →X un sch´ema projectif et plat surX tel que YK soit lisse sur SpecKet ´equidimensionnel de dimensiond. Soit de plusLun fibr´e inversible hermitien surY tel queLsoit ample relativement `apet tel que, pour chaque pointy∈X(C),c₁(L|p⁻¹(y))soit strictement positive. Alors il existe un fibr´e inversible hermitien M sur X tel queL⊗p^∗(M) soit arithm´etiquement ample.

D´emonstration. CommeX est projectif sur SpecOK, il existe un fibr´e inversible hermitien M1 tel queM1 soit ample et tel quec1(M1) soit strictement positive. Apr`es torsion deLpar une puissance tensorielle dep<sup>∗</sup>M1 on peut supposer que Lsoit ample et quec1(L) soit stric-tement positive. CommeLest ample, il existe une puissanceL<sup>⊗n</sup> de Lqui est engendr´ee par ses sections au-dessus deY. Plus pr´ecis´ement, il existemsections (si)<sub>1≤i≤m</sub>deL<sup>⊗n</sup>surY tel que l’homomorphisme (si)<sub>1≤i≤m</sub>:O<sub>Y</sub><sup>⊕m</sup>−→L<sup>⊗n</sup> soit surjectif. On d´esigne par hla m´etrique hermitienne surL<sup>⊗n</sup> qui provient de la m´etrique deL. Sia >0 est un nombre r´eel, on d´esigne parha la m´etrique hermitienne surL<sup>⊗n</sup> qui provient de la m´etrique deL⊗p<sup>∗</sup>(O<sub>X</sub>,k · ka), o`u k1xka =a pour tout x∈ X(C). On a la relation ksxkh_a = aⁿksxkh pour tout section s de L^⊗n. En choisissant una assez petit, on aksiksup,h_a <1 pour tout 1≤i≤m. Cela montre que (L⊗p^∗(O_X,k · ka))^⊗n est engendr´e par des sections strictement effectives. La remarque 1.7.24 montre que le fibr´e vectoriel hermitienL⊗p^∗(O_X,k · ka) est arithm´etiquement ample.

2

Remarque 3.2.13 Le lemme 3.2.12 montre en particulier que surX il existe un fibr´e inver-sible arithm´etiquement ample. En effet, comme le morphismeπ:X →SpecOKest projectif, il existe un faisceau inversible ampleLsurX. Par cons´equent, pour tout plongementσdeKdans C,Lσ est un faisceau inversible ample surXσ(C). En rempla¸cantLpar l’une de ses puissances tensorielles on peut supposer queLsoit tr`es ample. On choisit un produit hermitien quelconque surE =H⁰(Xσ(C), L_σ). L’image r´eciproque de la m´etrique de Fubini-Study surP(E) par le plongement canonique deXσ(C) dansP(E) donne une m´etrique hermitienne strictement po-sitive surL_σ. Enfin, si on applique le lemme 3.2.12 au morphismeπ:X →SpecOK, on sait qu’il existe un fibr´e inversible hermitienM sur SpecO_Ktel queπ^∗M⊗Lsoit arithm´etiquement ample.

Proposition 3.2.14 Soit E un fibr´e vectoriel hermitien sur X. On d´esigne par L le fibr´e inversibleOE^∨(−1)sur P(E^∨), muni de la m´etrique duale de la m´etrique de Fubini-Study sur OE^∨(1). Alors E est faiblement positif sur X si et seulement si L est faiblement positif sur P(E^∨).

D´emonstration. On d´esigne parp:P :=P(E^∨)→ X le morphisme canonique et par r le rang deE.

“⇐=” : On suppose queMest unO_X-module inversible hermitien. CommeLest faiblement positif, il existe deux nombresa, λ >0 tels que, pour tout entierD > λet tout entiern > λD, on ait

ε((πp)_∗(L^∨⊗n⊗p^∗(M)^⊗D)> e^an. Par cons´equent

ε(π_∗(SⁿE^∨⊗M^⊗D)) =

n+r−1 n

¹₂

ε((πp)_∗(L^∨⊗n⊗p^∗(M)^⊗D)> e^an.

“=⇒” : Le faisceauL^∨=O_P(1) est ample relativement `ap. De plus, la m´etrique de Fubini-Study surL^∨ est strictement positive sur les fibres. Par cons´equent, il existe un fibr´e vectoriel hermitien M sur X tel que L := L^∨⊗p^∗(M) soit arithm´etiquement ample (cf. le lemme 3.2.12).

Comme E est faiblement positif, il existe deux nombre r´eels a, λ >0 tels que, pour tout entierD > λet tout entiern > λD, on ait

ε(π_∗(SⁿE^∨⊗M^⊗D))> e^an. Autrement dit,

ε((πp)∗(L^∨⊗n⊗p^∗(M)^⊗D)) =ε((πp)∗(L^{∨⊗(n−D)}⊗L^⊗D))> e^an

n+r−1 n

−¹₂

. Soitn0∈Ntel que, pour tout n > n0, on ait

e^an

n+r−1 n

−¹₂

>1.

Soitλ⁰ = max(n0, λ), alors pour tout entierD > λ⁰ et n > λ⁰D on a ε((πp)_∗(L^∨⊗n⊗L^⊗D))>1.

DoncLest faiblement positif. 2

Th´eor`eme 3.2.15 SoitE un fibr´e vectoriel hermitien sur X. Siµb^π_max(E^∨)<0, alorsE est faiblement positif. La r´eciproque est vraie lorsque E_K^∨ est ample.

D´emonstration. Soient p : P(E^∨) → X le morphisme canonique et L le fibr´e inversible OE^∨(−1) muni de la m´etrique duale de celle de Fubini-Study surOE^∨(1).

“=⇒” : Comme µb^π_max(E^∨) = bµ^πp_max(L^∨)< 0 le fibr´e inversible hermitienL est faiblement positif, donc il en est de mˆeme deE.

“⇐=” : Si Eest faiblement positif, il en est de mˆeme deL. D’autre part, siE_K^∨ est ample, alorsL^∨_Kest aussi ample. D’apr`es le th´eor`eme 3.2.7 on sait queµb^π_max(E^∨) =µb^πp_max(L^∨)<0. 2

3.3 Etude du probl` ´ eme d’alg´ ebricit´ e via les mod` eles sur

Dans le document TH`ESE DE DOCTORAT (Page 95-101)